空間向量及其運(yùn)算（課時(shí)訓(xùn)練） 【含答案】 高二數(shù)學(xué)上學(xué)期對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

空間向量及其運(yùn)算A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：．故選：B2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】可先畫出正方體，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則計(jì)算各式，再進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，，所以A錯(cuò)誤；，所以B正確；，所以C錯(cuò)誤；，所以D錯(cuò)誤；故選：B．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是空間一個(gè)基底，，，一定可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個(gè)不共線，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【詳解】由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量（）+（）＝2，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底．故選：C．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減法公式，對(duì)向量進(jìn)行分解，進(jìn)而求出，，的值.【詳解】，故，，，即故選：.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】G是等邊的重心，可得，再由，可得，而，從而可以將用表示出，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)槿忮F是正三棱錐，G是的重心，所以，因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以為，故選：B6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知O、A、B、C為空間四點(diǎn)，且對(duì)空間中任意一個(gè)向量，若存在唯一的一組實(shí)數(shù)、、，使得不成立，則（

）A．、、共線 B．、共線C．、共線 D．O、A、B、C四點(diǎn)共面【答案】D【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷．【詳解】由空間向量基本定理，對(duì)空間中任意一個(gè)向量，若存在唯一的一組實(shí)數(shù)、、，使得不成立，則是共面向量，因此四點(diǎn)四點(diǎn)共面，故選：D．7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)則下列向量與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.8．（2021·遼寧·高二階段練習(xí)）在三棱錐中，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用基底分別表示向量、，再利用空間向量的減法可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，因此，.故選：B.9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因?yàn)椋驗(yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，則，因此，因此，.故選：C.10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)M，則M為BC中點(diǎn),利用空間向量的運(yùn)算法則求得，即得.【詳解】如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)M,則M為BC中點(diǎn)，)=,.因?yàn)樗?3(),∴

.則，∴

，，，故選：A.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．－1 B． C． D．【答案】D【分析】先求出與的坐標(biāo)，再由與互相垂直，可得，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得，故選：D12．（2023·河南·鄭州市第九中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．x=1，y=-1【答案】B【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】向量，則，，因，于是得，解得，所以.故選：B13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，且與互相垂直，則k的值為（

）A．－2 B．－ C． D．2【答案】A【分析】由題意，由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可得答案.【詳解】由與互相垂直，則，解得故選：A14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.故選：A.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，若，則實(shí)數(shù)x的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：D16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再由夾角公式求解即可.【詳解】由，解得，所以，，所以，因?yàn)?，所?故選：C17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，則在的方向上的數(shù)量投影為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由數(shù)量投影的公式求解即可.【詳解】由題意知：在的方向上的數(shù)量投影為.故選：C.18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)椋瑒t，解得，即，所以，，因此，.故選：D.19．（2021·安徽省潛山第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出與的坐標(biāo)，依題意，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，解得；故選：C20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）的相等向量是______；（2）的相反向量是______；（3）的共線向量（平行向量）為______；（4）模為的向量是______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.【答案】

，，

，，，

，，，；

，，，，，，，

不共面【分析】（1）利用相等向量的定義直接判斷；（2）利用相反向量的定義直接判斷；（3）利用共線向量的定義直接判斷；（4）求出長(zhǎng)方體左、右兩側(cè)的面的對(duì)角線，直接判斷；（5）利用共面向量的定義判斷.【詳解】（1）與相等的向量有，，.（2）的相反向量為，，.（3）的共線向量（平行向量）為，，，.（4）由于長(zhǎng)方體左、右兩側(cè)的面的對(duì)角線長(zhǎng)均為，故模為的向量有，，，，，，，.（5）因?yàn)?，向量，，有一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，所以向量，，不共面.故答案為：（1），，；（2），，；（3），，，；（4），，，，，，，；（5）不共面.21．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱、、上分別有一點(diǎn)、、，且滿足，，，若、、、四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)__________．【答案】##【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的等價(jià)條件以及，可得出關(guān)于的兩個(gè)表達(dá)式，可得出關(guān)于的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?、、、四點(diǎn)共面，則存在、使得，所以，，所以，，因?yàn)?，即，所以，，因?yàn)?，即，所以，，可得，解?故答案為：.22．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量可作為空間的一組基底，若，且在基底下滿足，則__．【答案】2【分析】根據(jù)題意利用向量相等列出方程組求出的值．【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得故答案為?．23．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量___________.【答案】【分析】設(shè)，然后整理解方程組即可.【詳解】設(shè)，即有，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以有，所以.故答案為：24．（2022·全國(guó)·高一）如圖，在三棱柱中，M為的中點(diǎn)，若，，，則______．（用、、表示）【答案】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合題意，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，.故答案為：.25．（2022·江蘇常州·高二期中）已知是所在平面外一點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的值為____________.【答案】【分析】由可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用空間向量的減法可求得、、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，，，，因此，.故答案為：.26．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正方體中，點(diǎn)是上底面的中心，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，利用表示出，由此可得的值.【詳解】，，，，.故答案為：.27．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是______．（填序號(hào)）①，，；

②，，；③，，；

④，，．【答案】③【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷可得；【詳解】解：由空間向量基本定理得：對(duì)于①，，所以，，三個(gè)向量共面；對(duì)于②，，所以，，三個(gè)向量共面；對(duì)于③，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，所以與不共線，所以，也不共線，且與、共面，與、共面，又、、三個(gè)向量不共面，所以，，不共面，故，，可以作為一組基底；對(duì)于④，，所以，，三個(gè)向量共面，故答案為：③．28．（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已如向量，，可作為空間的一組基底，若，且在基底下滿足，則___________.【答案】2【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合求解即可.【詳解】解在基底下滿足，所以，因?yàn)椋?，解得，所以故答案為?9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則_______.【答案】6【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】由，，得，，..故答案為：.30．（2022·四川成都·高二期中（理））已知向量，，若與互相垂直，則___________.【答案】【分析】利用向量垂直數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】由題設(shè)可知：，因?yàn)榕c互相垂直，所以，即：，解得：，故答案為：31．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線OA上移動(dòng)，則點(diǎn)P坐標(biāo)可設(shè)為___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量共線設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由于在直線上移動(dòng)，所以.故答案為：32．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若、，P是AB上一點(diǎn)且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的共線定理，得出，再由向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】設(shè)，由題意得，，，即，解得：故答案為：．33．（2022·甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)高二期中（理））已知向量，，．若，則______．【答案】【分析】通過(guò)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求出，再結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故答案為?

B組能力提升34．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）以下關(guān)于向量的說(shuō)法正確的有（

）A．若＝，則＝B．若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓C．若＝－且＝－，則=D．若與共線，與共線，則與共線【答案】AC【分析】根據(jù)向量的基本概念和性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球，故B錯(cuò)誤；若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；若與共線，與共線，則當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷與的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：AC.35．（2022·山東威?！じ叨谀ǘ噙x題）金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個(gè)碳原子，都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來(lái)看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說(shuō)，圖2中有，若正四面體的棱長(zhǎng)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】沿四面體的兩條側(cè)棱和高，切出一塊幾何體如下圖，計(jì)算所需線段長(zhǎng)度，即可計(jì)算相關(guān)向量的模長(zhǎng)，和，內(nèi)積.【詳解】如下圖所示，O是頂點(diǎn)A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面體的高，OB是下底面的外接圓半徑，OM是下底面內(nèi)切圓的半徑，則，，，對(duì)于A：由于，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)榈酌鍮CD，底面BCD，所以，所以，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：BCD36．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，，，能得到，，，四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】方法一：根據(jù)向量共面定理可得存在唯一一組數(shù)，使得，可得，根據(jù)選項(xiàng)依次列方程組求解可判斷.方法二：根據(jù)共面定理的推論可得.【詳解】方法一：若，，，四點(diǎn)共面，則存在唯一一組數(shù)，使得，則，整理可得，對(duì)A，若，則，方程組無(wú)解，不能得到，，，四點(diǎn)共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則，解得，符合，可以得到，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)C，若，則，解得，符合，可以得到，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)D，若，則，方程組無(wú)解，不能得到，，，四點(diǎn)共面，故D錯(cuò)誤.故選：BC.方法二：根據(jù)共面定理的推論可得，若，，，四點(diǎn)共面，則對(duì)于空間中任意一點(diǎn)，有，且滿足，則由選項(xiàng)可得只有BC滿足.故選：BC.37．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）(多選)如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．AC1=6B．AC1⊥DBC．向量與的夾角是60°D．BD1與AC所成角的余弦值為【答案】AB【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可.【詳解】因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，所以·=·=·=6×6×cos60°=18，(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，則||=|++|=6，所以A正確；·=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0，所以B正確；顯然△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D=60°.因?yàn)?，且向量與的夾角是120°，所以與的夾角是120°，所以C不正確；因?yàn)?+-=+，所以||==6，||==6，·=(+-)·(+)=36，所以cos<>===，所以D不正確.故選:AB.38．（2022·廣東梅州·高二期末）（多選題）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．存在唯一的點(diǎn)滿足D．存在點(diǎn)滿足【答案】AC【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點(diǎn)，可設(shè)，且，，進(jìn)而對(duì)BCD各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，對(duì)于B，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然，只有時(shí)，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故不存在點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC39．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為【答案】BD【分析】利用向量垂直，平行的坐標(biāo)關(guān)系判斷A，B，根據(jù)向量夾角公式判斷C，根據(jù)投影向量和投影數(shù)量的關(guān)系計(jì)算求解判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，不垂直，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以，B對(duì)，因?yàn)?，所以，所以不是鈍角，C錯(cuò)，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄?，D對(duì)，故選：BD.40．（2021·廣東·汕頭市潮陽(yáng)區(qū)河溪中學(xué)高二期中）（多選題）已知直線、的方向向量分別是，若且，則的值可以是（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】BC【分析】根據(jù)向量的垂直和模，列出方程，解方程可得答案.【詳解】由得：，即，①由得：，②①②聯(lián)立解得：，或故x+y的值可以是1或-1，故選：BC41．（2022·福建福州·高二期末）（多選題）已知空間向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量，可由，解得答案.【詳解】由可得：，即，解得，又|b故選：AC.42．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習(xí)）（多選題）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若非零向量，，滿足，，則有B．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則C．空間向量，夾角的余弦值為D．已知，，若與垂直，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A：與的位置關(guān)系不確定，根據(jù)空間向量基本定理判斷B，根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C，求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】解：對(duì)于A，若非零向量滿足，則與的位置關(guān)系不確定，也有可能平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若向量與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則只能兩個(gè)向量是共線向量，故，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，即，解得，故D正確；故選：BCD43．（2021·遼寧葫蘆島·高二階段練習(xí)）（多選題）已知點(diǎn)，，向量，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】由題知，再依次求?？膳袛郃，B選項(xiàng)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示解方程即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，得，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC44．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)25(2)或【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算與數(shù)量積公式求解即可；（2）根據(jù)垂直的數(shù)量積表示，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式求解即可（1）因?yàn)?，，故，，故?），，，因?yàn)?，故，即，故，即，故?5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，且.記.(1)求與y軸正方向的夾