利用導(dǎo)數(shù)求極值最值（精講） 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng) 提升精講精練 （含答案解析）

4.3利用導(dǎo)數(shù)求極值最值（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一無參函數(shù)的極值（點(diǎn)）【例1】（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)）函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，所以在上，遞減，在上，遞增，所以極小值點(diǎn)為.故選：B【一隅三反】1．（2022·天津·耀華中學(xué)）已知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為3，且是的極值點(diǎn)，則函數(shù)的另一個極值點(diǎn)為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，由題意有，解得，所以，令，解得或，所以函數(shù)的另一個極值點(diǎn)為．故選：A．2．（2022·天津·崇化中學(xué)）函數(shù)有（

）A．極大值為5，無極小值 B．極小值為，無極大值C．極大值為5，極小值為 D．極大值為5，極小值為【答案】A【解析】,由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取得極大值，無極小值.故選：A3．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）（多選）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋堑臉O小值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．是的最小值點(diǎn)B．是的極大值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn)D．是的極大值點(diǎn)【答案】BD【解析】對A，是的極小值點(diǎn)，不一定是最小值點(diǎn)，故A錯誤；對B，因函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)，故B正確；對C，因函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)，故C錯誤；對D，因函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是的極大值點(diǎn)，故D正確.故選：BD.考點(diǎn)二已知極值（點(diǎn)）求參數(shù)【例2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，導(dǎo)函數(shù).因?yàn)樵谏霞扔袠O大值又有極小值，所以在內(nèi)應(yīng)有兩個不同的異號實(shí)數(shù)根．，解得：，實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：C．【例2-2】（2022·陜西）已知函數(shù)，若是的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，令，若，則，此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，這與是的極小值點(diǎn)矛盾，故舍去.若，可知是的極大值點(diǎn)，故不符合題意.若，，此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知是的極大值點(diǎn)，故不符合題意.當(dāng)，，，此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知是的極小值點(diǎn)，符合題意.若，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，舍去.綜上可知：故選：B【一隅三反】1．（2022·廣東·惠來縣第一中學(xué)）若函數(shù)在處有極值，則（

）A． B．C． D．a(chǎn)不存在【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，故又函數(shù)在處有極值，故，解得.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：B.2．（2022·河南）已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個極值點(diǎn)，所以有兩個不同的解，且在零點(diǎn)的兩側(cè)符號異號.，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故不可能有兩個零點(diǎn).當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減，所以，即，.當(dāng)時，，故在上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，，所以在上有一個零點(diǎn)，綜上，，故選：D.3．（2022·江西鷹潭）已知函數(shù)的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】又因?yàn)楫?dāng)時取得極大值，當(dāng)時取得極小值，可得、是方程的兩個根，根據(jù)一元二次方程根的分布可得即：作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示（不包括邊界），可求出邊界交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，根據(jù)傾斜角的變化，可得故選:B4．（2022·河南洛陽·三模（理））若函數(shù)在上有且僅有6個極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】設(shè)，則當(dāng)時，由在上有且僅有6個極值點(diǎn)，則在上有且僅有6個極值點(diǎn).如圖由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得解得，所以正整數(shù)的值為3故選：B考點(diǎn)三無參函數(shù)的最值【例3】（2022·全國·高考真題（文））函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D【一隅三反】1．（2022·海南華僑中學(xué)）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上遞增 B．函數(shù)無極小值C．函數(shù)只有一個極大值 D．函數(shù)在上最大值為3【答案】C【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，所以?dāng)或時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值，即，，又，，故函數(shù)在上最大值為；故選：C2．（2022·四川省成都市新都一中）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______．【答案】【解析】對求導(dǎo)，可得：故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增可得：，，可得：故在區(qū)間上的最大值為故答案為：3．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校）對任意，存在，使得，則的最小值為_____.【答案】【解析】由得：，令，則，；，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故答案為：.考點(diǎn)四已知最值求參數(shù)【例4-1】（2022·全國·高考真題（理））當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.【例4-2】（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以將函?shù)的圖象向左平移個單位，可得，令，解得即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又由函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)，則的最大值為.故選：A.【一隅三反】1．（2022·江西省豐城中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，若函數(shù)在上有最小值，即在先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設(shè)切點(diǎn)是，，則切線方程是：，將代入切線方程得：，故切點(diǎn)是，切線的斜率是1，只需即可，解得，即，故選：D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，?gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．當(dāng)時，，從四個選項(xiàng)均為負(fù)，考慮，此時有，兩邊取對數(shù)得：，所以令，則，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無最大值，此時無解，綜上：故a的最小值是．故選：C3．（2022·河南洛陽）若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．【答案】C【解析】設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程分別為、，即、，有，整理得，設(shè)，則，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，如圖，由圖可知，即k的最大值為.故選：C.4（2022·吉林·延邊二中）若函數(shù)最小值為，最小值為，則+=（

）A．-2 B．0 C．2 D．-4【答案】A【解析】由題意知：、定義域均為；，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，，使得，此時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；；令，則，令，解得：，令，解得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，，，使得，，即，，，；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；的極小值，，；.故選：A.考點(diǎn)五最值極值綜合運(yùn)用【例5】（2022·浙江嘉興）已知函數(shù)．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若存在，對與任意的，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)當(dāng)時，，故，故在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得．(2)由題意知有且只有一個根且有正有負(fù)．構(gòu)建，則①當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以有一個零點(diǎn)，即為的一個極值點(diǎn)；②當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，即無極值點(diǎn)；③當(dāng)時，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，若，則即.當(dāng)時，，當(dāng)時，,設(shè)，故，故在上為增函數(shù)，故，故，故當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，此時有兩個極值點(diǎn)．當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，即無極值點(diǎn)；綜上所述：．(3)由題意知，對與任意的，使得恒成立，則，又要使取到最小值，則．當(dāng)時，，故，所以的最小值為e；當(dāng)時，當(dāng)時，，所以無最小值，即無最小值；當(dāng)時，由（2）得只有一個零點(diǎn)，即且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時，因，所以代入得，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時，所以的最小值為．【一隅三反】1．（2022·河北·石家莊二中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，；(2)若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)由題意得，則，當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，∴，設(shè)，在上是增函數(shù)，∴，∴當(dāng)時，．(2)，且，令，得或a，①當(dāng)時，則，單調(diào)遞減，函數(shù)沒有極值；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴在取得極大值，在取得極小值，則；③當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴在取得極大值，在取得極小值，由得：，綜上，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值時，a的取值范圍為．2．（2022·四川省成都市新都一中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，若對任意，恒成立，求b的取值范圍；(2)若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意，在上恒成立，即，設(shè)，對稱軸為，開口向上，所以當(dāng)時，，則．(2)，且，令，得或a．①當(dāng)時，則，單調(diào)遞減，函數(shù)沒有極值；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．∴在取得極大值，在取得極小值，則；③當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．∴在取得極大值，在取得極小值，由得：．綜上，函數(shù)在上存在極大值時，a的取值范圍為．3．（2022·全國·哈師大附中）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，；(2)若在上單調(diào)遞減，求整數(shù)a的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)當(dāng)時，，，，，令，則，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，又，，據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一零點(diǎn)，使得，所