高三數(shù)學第16講圓錐曲線有關性質的探究與證明

2021屆高中總復習·第2輪湖南學海文化傳播有限責任公司本課件主要使用工具為office2003，Mathtype5.0,幾何畫板4.0,flashplayer10.0?數(shù)學〔理科·湖南〕1直線與圓錐曲線專題四圓錐曲線有關性質的探究與證明第16講2

1.橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質有：范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、漸近線等.對不同的曲線以及焦點在不同坐標軸上的同類曲線，其幾何性質既有共同點也有不同點，應用時要加以區(qū)分.

2.圓錐曲線與其對稱軸的交點叫做頂點.橢圓有兩條對稱軸，兩個焦點和四個頂點;雙曲線有兩條對稱軸，兩個焦點和兩個頂點;拋物線只有一條對稱軸，一個焦點和一個頂點.雙曲線有兩條漸近線，橢圓和拋物線沒有漸近線.

3.圓錐曲線上一點到焦點的距離叫做焦半徑，它等于該點到相應準線的距離與曲線的離心率之積.橢圓上一點所對應的兩條焦半徑之和等于橢圓的長軸長，雙曲線上一點所對應的兩條焦半徑之差的絕對值等于雙曲線的實軸長.34.設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，那么橢圓上的點到橢圓中心的最大距離為a，最小距離為b，橢圓上的點到一個焦點的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.5.在圓錐曲線中，過焦點的弦叫做焦點弦，過焦點且垂直于焦點所在對稱軸的弦叫做圓錐曲線的通徑.橢圓和拋物線的通徑是最短的焦點弦，雙曲線的通徑是端點在同一支的焦點弦中最短的一條.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2＝2px的焦點弦的兩個端點，那么y1y2＝－p2.6.實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為41.(2021·湖北卷)如下圖，“嫦娥一號〞探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行.假設用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出以下式子：①a1+c1=a2+c2；②a1-c1=a2-c2；③c1a2>a1c2；④其中正確式子的序號是()A.①③B.②③C.①④D.②④5解析對橢圓Ⅰ，有|PF|＝a1－c1;對橢圓Ⅱ，有|PF|＝a2－c2，所以a1-c1=a2-c2.顯然，b1＞b2，那么a12-c12>a22-c22，即a12+c22>a22+c12.因為a1-c1=a2-c2，即a1+c2=a2+c1，所以(a1+c2)2=(a2+c1)2，即a12+c22+2a1c2=a22+c12+2a2c1，于是a1c2<a2c1.所以②③正確，應選B.長半軸長a，短半軸長b和半焦距c是橢圓的三個特征數(shù)，通過數(shù)形結合找出三者的內在聯(lián)系，再轉化為目標問題，是此題的解題策略.感悟62.(2021·安微卷)點P(x0,y0)在橢圓上,x0=acosβ,y0=bsinβ,直線l2與直線l1:垂直,O為坐標原點,直線OP的傾斜角為α,直線l2的傾斜角為γ.證明：(1)點P是橢圓與直線l1的惟一交點；(2)tanα,tanβ,tanγ構成等比數(shù)列.解析

(1)證法1：由得代入橢圓方程得7將代入上式，得x2-2acosβ·x+a2cos2β=0，從而x=acosβ.因此，方程組有惟一解即l1與橢圓有惟一交點P.證法2：顯然P是橢圓與l1的交點，假設是橢圓與l1的交點，代入l1的方程得cosβcosβ1+sinβsinβ1=1,即cos(β-β1)=1,β=β1，故P與Q重合.8證法3：在第一象限內，由可得橢圓在點P處切線的斜率切線方程為即因此，l1就是橢圓在點P處的切線.根據(jù)橢圓切線的性質，P是橢圓與直線l1的惟一交點.9

(2)由題設l1的斜率為l2的斜率為由此得tanαtanγ=tan2β≠0,所以tanα,tanβ,tanγ構成等比數(shù)列.此題反映了橢圓的兩個一般性質，其中第一個結論的本質是直線l1與橢圓相切，因而可以證明直線l1的方程與橢圓方程所組成的方程組有且只有一組解.題設中將點P的坐標用參數(shù)形式表示，其意圖是引領解題過程進行三角運算，使得運算量大大減少，表達了一種解題技巧.感悟10(2021·江西卷改編)如圖，圓G∶(x-2)2+y2=r2是橢圓的內接△ABC的內切圓,其中A為橢圓的左頂點.〔1〕證明：圓G的半徑r為定值；〔2〕過點M(0,1)作圓G的兩條切線，交橢圓于E,F兩點，證明：直線EF與圓G相切．考點一

例1證明圓錐曲線的幾何性質11〔1〕利用相似三角形的性質建立一個關于r的方程，解方程可求得r的值.〔2〕先求點E，F(xiàn)的坐標，再求直線EF的方程，然后證明圓心G到直線EF的距離等于圓的半徑.思路解析〔1〕因為AG是∠BAC的平分線，點在橢圓上，那么點B，C關于x軸對稱.設點B(2+r,y0)，BC交x軸于H，過圓心G作GD⊥AB于D，那么|GD|=r，|AD|=36-r2，|AG|＝6，|HB|＝y(tǒng)0.12所以圓心G(2,0)到直線EF的距離故直線EF與圓G相切．點評證明定值問題，一般轉化為求值問題來解決；證明直線與圓相切，一般轉化為證明圓心到直線的距離等于圓半徑.

13(2021·北京卷改編)設直線l是圓x2+y2=2的任意一條切線，且直線l與雙曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，證明：OA⊥OB.變式訓練1思路

將OA⊥OB轉化為再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算完成證明.證明設直線l與圓x2+y2=2相切于點P(x0，y0)，那么切線l的方程是x0x+y0y=2.由及x02+y02=2，得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0.14設點A，B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，那么所以15當x02=2時，點此時點或所以∠AOB＝90°.故OA⊥OB.

圓錐曲線中的平行、垂直、夾角、距離等問題，可以用向量方法來解決.一般的，過圓x2+y2=r2上一點P(x0，y0)的切線方程是x0x+y0y=r2.點評16考點二證明圓錐曲線的不等式性質

通過點A，B的坐標建立相關參數(shù)之間的關系，再利用放縮原理證明不等式.思路設點A，B是雙曲線位于第一象限內的不同兩點,線段AB的垂直平分線交y軸于點P(0，m)，直線AB的斜率為k，證明：（1）（2）a2+b2<am.

例217〔1〕設點A(x1，y1),B(x2，y2)(x1，x2，y1，y2＞0)，因為點A，B在雙曲線上，那么所以證明〔2〕由題設|PA|＝|PB|，那么x12+(y1-m)2=x22+(y2-m)2，即x12-x22=y22-y12+2m(y1-y2).因為那么18即所以即據(jù)題意，y1≠y2，且y1＞a，y2＞a，所以因為a＞0，所以a2+b2<am.點評等與不等是對立統(tǒng)一的兩個方面，先建立相關參數(shù)的等量關系，再將其轉化為所證不等式，是證明圓錐曲線的不等式性質的根本策略.19變式訓練2

先將截距a，b用點A，B的坐標表示，再根據(jù)橢圓的有關性質得出所證不等式.思路

設點A，B是橢圓上不關于坐標軸對稱的相異兩點，線段AB的中垂線l在x軸，y軸上的截距分別為a，b，證明：4a2+b2<9.證明設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么直線l的方程為分別令y＝0，x＝0，20得設線段AB的中點為M(x0，y0)，那么因為點M在橢圓內部，那么即所以4a2+b2<9.21點評由a，b的表達式聯(lián)想到AB的中點，再利用中點M在橢圓內部就可以得到所證不等式.假設根據(jù)橢圓的范圍得出a，b的范圍，那么會放大4a2+b2的上界，不能得出結論.22考點三

探究圓錐曲線的有關性質(2021·湖北卷改編)如圖，過x軸正半軸上一點A的直線與拋物線y2=2px(p>0)相交于M、N兩點，點B是點A關于原點的對稱點，過點B作x軸的垂線l，點M、N在直線l上的射影分別為M1、N1.〔1〕試探究當點A在何位置時，有AM1⊥AN1；〔2〕記△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面積分別為S1，S2，S3，試探究是否存在常數(shù)λ，使對任意的點A，都有S22=λS1S3成立？假設存在，求出λ的值；假設不存在，說明理由.

例323〔1〕由AM1⊥AN1，得從而將問題轉化為求點A的坐標.〔2〕先將S1，S2，S3用適當?shù)男问奖硎?，再考察S22與S1S3的比值是否為常數(shù)，然后作出判斷.思路解析〔1〕依題意可設點A(a，0)，直線MN的方程為x=my+a，點M(x1,y1),N(x2,y2)，點M1(-a,y1),N1(-a,y2)，那么由消去x，得y2-2mpy-2ap=0，24于是y1y2=-2ap.所以假設AM1⊥AN1，那么所以2a＝p，即故當點A為拋物線的焦點時，有AM1⊥AN1.〔2〕因為點B(－a，0)〔a＞0〕，那么25因為于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2(m2p+a).又y12=2px1，y22=2px2，那么于是26所以S22=4S1S3.故存在λ=4，使對任意的點A，都有S22=λS1S3成立.

探究性問題的設問方式往往呈現(xiàn)出一種開放性，解題時要根據(jù)問題的特點，將所探究的問題轉化為常規(guī)問題來解決.點評27過橢圓的右焦點F作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點,O為原點，向量與向量m＝(3，－1)共線.〔1〕試探究橢圓的離心率是否為定值；〔2〕設點M為橢圓上任意給定的一點，試探究是否存在實數(shù)α，使〔1〕將條件轉化為a，b，c的關系，再判斷離心率是否為定值.〔2〕設再探究λ與μ的平方和是否等于1，然后作出判斷.變式訓練3思路28解析〔1〕設點F(c，0)，那么直線l的方程是y＝x－c，代入橢圓方程，整理得(a2+b2)x2-2