陜西省西安交大附中2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題【含答案】

陜西省西安交大附中2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.）1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）．A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角B.每一條直線的斜率都是一個(gè)確定的值C.沒(méi)有斜率的直線是存在的D.同一直線的斜率與傾斜角不是一一對(duì)應(yīng)的B【分析】當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線傾斜角為90°，直線的斜率不存在，因此同一直線的斜率與傾斜角不是一一對(duì)應(yīng)的，即可判斷出．【詳解】對(duì)于A，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，，正確；對(duì)于B，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的斜率不存在，因此不正確；對(duì)于C，由B可知正確；對(duì)于D，由B可知：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，直線傾斜角為90°，直線的斜率不存在，因此同一直線的斜率與傾斜角不是一一對(duì)應(yīng)的，正確．故選：B．2.方程y＝k(x－2)表示()A.通過(guò)點(diǎn)(－2,0)的所有直線B.通過(guò)點(diǎn)(2,0)的所有直線C.通過(guò)點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線D.通過(guò)點(diǎn)(2,0)且除去x軸的所有直線C【分析】由方程y=k（x-2）知直線過(guò)點(diǎn)（2，0）且直線的斜率存在，可得結(jié)論．【詳解】由方程y=k（x-2）知直線過(guò)點(diǎn)（2，0）且直線的斜率存在．

故選C．本題考查恒過(guò)定點(diǎn)的直線，容易誤選B．3.下列說(shuō)法中正確的是（）．A.棱柱的一條側(cè)棱長(zhǎng)叫做棱柱的高B.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行C.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面D.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形B【分析】根據(jù)棱柱的定義判斷即可．【詳解】由棱柱的特征：①有兩個(gè)互平行且全等；②其余各面都是平行四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.可以判斷B正確；C不正確，例如正六棱柱的相對(duì)側(cè)面；A不正確，只有直棱柱滿足A的條件；D不正確，例如平行六面體.故選:B.4.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到：①三角形的水平放置的直觀圖是三角形；②平行四邊形的水平放置的直觀圖是平行四邊形；③矩形的水平放置的直觀圖是矩形；④菱形的水平放置的直觀圖是菱形．以上結(jié)論正確的是（）．A.① B.①② C.③④ D.①②③④B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，平行關(guān)系不變，平行x軸的線段長(zhǎng)度不變，平行y軸的線段長(zhǎng)度減半，直角變?yōu)榛蚺袛?【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知：因?yàn)槠叫嘘P(guān)系不變，所以①正確；因?yàn)槠叫嘘P(guān)系不變，所以②是正確；因?yàn)橹苯亲優(yōu)榛?，所以矩形的直觀圖是平行四邊形，所以③錯(cuò)誤；因?yàn)槠叫杏谳S的線段長(zhǎng)度減半，平行于軸的線段長(zhǎng)度不變，所以④是錯(cuò)誤，故選：B.5.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）．A. B. C. D.B【分析】根據(jù)斜二測(cè)直觀圖的特點(diǎn)可知原圖形為一直角梯形，根據(jù)梯形面積公式即可求解.【詳解】如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，所以.故選：B.6.分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定（）A.異面 B.相交C.不相交 D.不平行D【詳解】【分析】和兩條異面直線都相交的兩條直線可能相交，也可能異面，但一定不平行，故選D.考點(diǎn)：空間兩條直線的位置關(guān)系.7.三條直線兩兩相交，可確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A.1 B.1或3 C.1或2 D.3B空間兩兩相交的三條直線，

如果交于一點(diǎn)，可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是1個(gè)或3個(gè)，

如果交于不共線的三點(diǎn)，可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是1個(gè)．

∴空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是1或3．

故選B．8.在四面體中，且，、分別為、中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角等于（）．A. B. C. D.B【分析】先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，即的中點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在中，計(jì)算求出此角即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，，所以，為異面直線與所成的角，設(shè)，則，，由，可知，，即異面直線與所成的角等于.故選：B.思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．9.過(guò)兩條異面直線外一定點(diǎn)和這兩條直線都平行的平面（）A.有且只有一個(gè) B.有兩個(gè)C.有一個(gè)或不存在 D.有無(wú)窮多個(gè)C【詳解】【分析】試題分析：在正方體中，

設(shè)為的中點(diǎn)，直線是異面直線，

過(guò)與直線都平行的平面有一個(gè)，

過(guò)且與兩直線都平行的平面不存在，

故選：C.考點(diǎn)：空間線面平行的判定10.若平面，直線，點(diǎn)，則在內(nèi)過(guò)點(diǎn)的所有直線中（）．A.存在唯一一條與平行的直線B.只有兩條與平行的直線C.不一定存在與平行的直線D.存在無(wú)數(shù)條與平行的直線C【分析】討論、、三種情況下，在內(nèi)過(guò)點(diǎn)是否存在直線與平行即可知正確選項(xiàng).【詳解】平面，直線，點(diǎn)，1、當(dāng)時(shí)，在內(nèi)過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與平行；2、當(dāng)時(shí)，在內(nèi)過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與平行；3、當(dāng)時(shí)，在內(nèi)過(guò)點(diǎn)不存在直線與平行；故選：C11.已知直線平面，直線平面，有下列四個(gè)①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的序號(hào)是（）．A.①② B.③④ C.①③ D.②④C【分析】利用線面垂直、面面平行、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】已知直線平面，直線平面，對(duì)于①中，若，得到直線平面，所以，所以是正確的；對(duì)于②中，若，直線在內(nèi)或者，則與的位置關(guān)系不確定，所以不正確；對(duì)于③中，若，則直線，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得，所以是正確；對(duì)于④中，若，則與可能相交，所以不正確．故選：C.解答空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定問(wèn)題常見(jiàn)解題策略：1、對(duì)空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不透導(dǎo)致錯(cuò)誤；對(duì)面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致錯(cuò)解；2、對(duì)于空間中的垂直關(guān)系中確定線面垂直是關(guān)鍵，證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)，垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理合理轉(zhuǎn)化是證明垂直關(guān)系的基本思想.12.直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，，D是線段的中點(diǎn)．棱柱被平面分成的兩部分的體積比為（）．A.1:3 B.1:4 C.2:3 D.1:5D【分析】利用棱柱與三棱錐有相同的高，結(jié)合中，不難算出三棱錐與棱柱的體積之比為，從而得到棱柱被平面分成的兩部分的體積之比．【詳解】在中，為中點(diǎn)∵直三棱柱中，平面∴是三棱錐的高，也是直三棱柱的高,.棱柱被平面分成的兩部分的體積比為1:5.故選：D

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.）13.過(guò)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線有__________條．2分析】由題意假設(shè)截距不為0，設(shè)出截距，利用截距式表示直線方程，將點(diǎn)P代入直線方程，即可求出參數(shù)值，將參數(shù)值代入直線方程再化簡(jiǎn)，即可求出方程，當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)相應(yīng)的直線方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)，求解即可.【詳解】當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的截距為a，則直線方程為：，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線方程，解得：，所以直線方程為：；當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為：，代入點(diǎn)P，可得：，直線方程為：，故直線有2條.故214.三個(gè)直線兩兩相交，可以確定平面的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.1或3【分析】由平面的基本性質(zhì)及推論即可判斷結(jié)果.【詳解】①，故直線與確定一個(gè)平面，若在平面內(nèi)，則直線確定一個(gè)平面；②，故直線與確定一個(gè)平面，若不在平面內(nèi)，則直線確定三個(gè)平面，如圖．故1或315.若a，b是兩條不相交的直線，則過(guò)直線b且平行于a的平面有__________個(gè)．1或無(wú)數(shù)【分析】討論不相交直線a，b平行或不平行時(shí)分別有幾個(gè)過(guò)直線b的平面平行于a，即知答案.【詳解】由a，b是兩條不相交的直線，1、若a，b平行時(shí)，過(guò)直線b且平行于a的平面有無(wú)數(shù)個(gè)；2、若a，b不平行時(shí)，即為異面直線，則過(guò)直線b且平行于a的平面有且僅有1個(gè)；故1或無(wú)數(shù).16.四邊形是正方形，以BD為棱把它折成直二面角，E為CD的中點(diǎn)，則的大小為_(kāi)________．90°【分析】由題意畫(huà)出幾何體的圖形，設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，求出折疊后AD，AE，DE的長(zhǎng)度，即可求出∠AED的大小.【詳解】由題意畫(huà)出圖形，如圖：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，折疊前后AD=2，DE=1，連接AC交BD于O，連接OE，則OE=1，AO=，因?yàn)檎叫蜛BCD沿對(duì)角線BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，AO⊥BD，所以AO⊥平面BCD，所以AO⊥OE，在△AOE中，，又AD=2，ED=1，所以，所以∠AED=90°.故90°.方法點(diǎn)睛：本題考查折疊問(wèn)題，注意折疊前后，同一個(gè)半平面中的線線關(guān)系不變.17.已知一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，且面積為2S，則圓錐的底面面積是_________．【分析】由已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓且面積為2S，我們易確定圓錐的母線長(zhǎng)l與底面半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而求出底面面積即可得到結(jié)論．【詳解】如圖：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為，由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則2πr＝πl(wèi)，即l＝2r，又圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓且面積為2S，即，即則圓錐的底面面積是．故答案為:．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓錐的表面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，確定圓錐的母線長(zhǎng)與底面的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．18.已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，面ABC，，，．則球O的表面積為_(kāi)________．12π【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易知S、A、B、C四點(diǎn)均是以SA，AB，BC為邊長(zhǎng)的正方體的頂點(diǎn)，由正方體外接球的直徑等于正方體對(duì)角線，可得球O的直徑（半徑），代入球的表面積公式即可得到答案．【詳解】∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，，．∴四面體S﹣ABC外接球半徑等于以AB為邊長(zhǎng)的正方體的體對(duì)角線的一半，則正方體外接球的半徑，則球體的表面積為故答案為:12π.三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分.）19.正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點(diǎn)．（1）證明：M，N，Q，P四點(diǎn)共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點(diǎn)．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）連接，由正方體的幾何特征及平面幾何的知識(shí)可得，由平面的基本性質(zhì)即可得證；（2）由題意可得是平面平面的交線，由平面的基本性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）連接.分別為的中點(diǎn)，且，分別為，的中點(diǎn)，且.四邊形為平行四邊形，且且四點(diǎn)共面.（2）由（1）知且必交于一點(diǎn).平面平面.平面平面.又平面平面.，即三線共點(diǎn).

20.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且，.求證：（1）直線DE平面A1C1（2）平面B1DE⊥平面A1C（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析試題分析：（1）利用線面平行判定定理證明線面平行，而線線平行的尋找往往結(jié)合平面幾何的知識(shí)，如中位線的性質(zhì)等；（2）利用面面垂直判定定理證明，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，往往需要多次利用線面垂直性質(zhì)定理與判定定理.試題解析：證明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以，于是，又因?yàn)镈E平面平面，所以直線DE//平面.（2）在直三棱柱中，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?因?yàn)橹本€，所以【考點(diǎn)】直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；（4）證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.21.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．（1）詳見(jiàn)解析（2）．分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問(wèn)多以線面的證明為主，解題的核心是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問(wèn)可以通過(guò)作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.22.如圖，在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形,為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅰ）平面（Ⅱ）二面角的余弦值為【詳解】證明：（Ⅰ）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA.連結(jié)OA，△ABC為等腰直角三角形，