數(shù)理邏輯課件

離散數(shù)學(xué)中北大學(xué)1/2/2023祭膨肄帛盾嘆扇語誼釬龔隋癌鄂導(dǎo)檬粳甜夕磨瓤縷屈署券闌似犯身議陌膀第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯離散數(shù)學(xué)中北大學(xué)12/18/2022祭膨1引言1.計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)？2.離散數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容?3.怎樣學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)？蘑袍全虱痛寅別樊慢鐘聾摳到銥斥畢骸敝砷肛陷港累肺拋相賭哉薩鎂估堡第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯引言1.計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)？蘑袍全虱痛寅別21什么是離散數(shù)學(xué)？

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)類專業(yè)的重要課程。它以研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對象一般是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素。

堵耍熊尼文完烷芬磁閑月錦澄肘貨舅遣樓瞻索博躁森酗旺格圃錯(cuò)瓣站隧礦第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯1什么是離散數(shù)學(xué)？ 堵耍熊尼文完烷芬磁閑月錦澄肘貨舅遣32離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)科的一個(gè)重要特點(diǎn)——離散性硬件軟件（系統(tǒng)軟件、應(yīng)用軟件）模型算法（程序運(yùn)行邏輯）數(shù)據(jù)表示、存儲程序編寫、執(zhí)行離散數(shù)學(xué)凹氛蔣區(qū)舔溜略蝴雙擲訟豫草卑姑垢耍衛(wèi)嶄淖競奪椿就獰芍薛酚凱冕慈湯第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯2離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)硬件模型算法（程序運(yùn)行邏輯）數(shù)據(jù)表42離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)離散數(shù)學(xué)的思維方法能夠?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)所用，“離散數(shù)學(xué)能夠使我們在更高的高度去了解和學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)”！計(jì)算機(jī)科學(xué)知識掌握的過程：“硬件跟著軟件走，軟件跟著模型走，模型跟著學(xué)科實(shí)際應(yīng)用走；學(xué)科實(shí)際應(yīng)用跟著自然走”！ ——需要如下三個(gè)方面的能力：構(gòu)造模型、算法設(shè)計(jì)、程序設(shè)計(jì)的能力。思維訓(xùn)練：構(gòu)造性思維剎瞪哮吧橋秩降貞徽使瓦壘訊偵皖蠻祁讒調(diào)酥執(zhí)炙抽副蜂恐嗡塞舷侵壯碎第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯2離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)離散數(shù)學(xué)的思維方法能夠53關(guān)于課程學(xué)習(xí)課程特點(diǎn)知識點(diǎn)集中，概念和定理多方法性強(qiáng) ——閱讀，思考，練習(xí)，閱讀，總結(jié)，……學(xué)習(xí)內(nèi)容

數(shù)理邏輯、集合論、抽象代數(shù)、圖論眨蜒叮擅瑩家塌痞遍齲留番斧締極擎某摩蔗鞍長酸旦猴沼糯寢漸彥譏獄辮第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯3關(guān)于課程學(xué)習(xí)課程特點(diǎn)眨蜒叮擅瑩家塌痞遍齲留番斧締極擎某摩64.計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系

至于計(jì)算機(jī)技術(shù)專業(yè)的學(xué)生為何要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這個(gè)問題的答案：計(jì)算機(jī)科學(xué)植根于數(shù)學(xué)，從而數(shù)學(xué)是必須掌握的基礎(chǔ)知識；另外如果我們已經(jīng)擁有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，則能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學(xué)習(xí)任何一門計(jì)算機(jī)科學(xué)的專業(yè)主干課程時(shí)，都不會遇上任何思維理解上的困難。謎淄料道問掌廢賺鴨剃頗凋煙賦奎含佐墳寵朗萊爐旺衣偽焚汗番拉庶圾珠第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯4.計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系至于計(jì)算機(jī)技術(shù)專業(yè)的學(xué)生為74計(jì)算學(xué)科與離散數(shù)學(xué)的關(guān)系

在計(jì)算機(jī)科學(xué)知識掌握的過程中應(yīng)是“硬件跟著軟件走，軟件跟著模型走，模型跟著學(xué)科實(shí)際應(yīng)用走；學(xué)科實(shí)際應(yīng)用跟著自然走”。關(guān)于學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)就是要培養(yǎng)自己的學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際應(yīng)用問題提出計(jì)算機(jī)應(yīng)用的模型，并用硬件和軟件資源去構(gòu)造計(jì)算機(jī)系統(tǒng)去完成模型中所提出來的工作。

構(gòu)造模型的能力；算法設(shè)計(jì)的能力；程序設(shè)計(jì)的能力。鵝攔慌暴雍灸軋吊邱麓相義艇耳瓷段灌昨刨猜氮聽禹溉卒救苗淄鍺畝輔咨第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯4計(jì)算學(xué)科與離散數(shù)學(xué)的關(guān)系在計(jì)算機(jī)科學(xué)知識掌握的86.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況

縱觀全世界軟件產(chǎn)業(yè)的情況，易見一個(gè)奇特的現(xiàn)象：美國處于絕對的壟斷地位。造成這種現(xiàn)象的一個(gè)根本的原因就是計(jì)算機(jī)科學(xué)在美國的飛速發(fā)展。當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)界的最權(quán)威人士很多都是研究離散數(shù)學(xué)出身的。美國最重要的計(jì)算機(jī)科學(xué)系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的離散數(shù)學(xué)家。計(jì)算機(jī)科學(xué)通過對軟件產(chǎn)業(yè)的促進(jìn)，帶來了巨大的效益，這已是不爭之事實(shí)。呆搗暗浸些冊煮養(yǎng)詣至叉拔宋最愁鄲垂印他塊濫擾司膿炎咎摧柯虞樸雇獄第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況縱觀全世界軟件產(chǎn)業(yè)的情況，易見96.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況

美國政府也成立了離散數(shù)學(xué)及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中心DIMACS（與Princeton大學(xué)，Rutgers大學(xué)，AT&T聯(lián)合創(chuàng)辦的，設(shè)在Rutgers大學(xué)），該中心已是離散數(shù)學(xué)理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究陣地。美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（MathematicalSciencesResearchInstitute，由陳省身先生創(chuàng)立）在1997年選擇了離散數(shù)學(xué)作為研究專題，組織了為期一年的研究活動(dòng)。幀柒纂乎靜鍺篡夏睜毖籮仗乙搐莉砒冪菱婉病紀(jì)帶啼構(gòu)冶強(qiáng)聊暮搏淹痰孟第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況美國政府也成立了離散數(shù)學(xué)及106.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況

值得一提的是亞洲的發(fā)達(dá)國家也十分重視離散數(shù)學(xué)的研究。日本有離散數(shù)學(xué)研究中心，并且從美國引進(jìn)人才，不僅支持日本國內(nèi)的研究，還出資支持美國的有關(guān)課題的研究，這樣使日本的離散數(shù)學(xué)這幾年的發(fā)展極為迅速。臺灣、香港兩地也從美國引進(jìn)人才，大力發(fā)展離散數(shù)學(xué)。新加坡，韓國，馬來西亞也在積極推動(dòng)離散數(shù)學(xué)的研究和人才培養(yǎng)。。世界各地對離散數(shù)學(xué)的如此鐘愛顯然是有原因的，那就是沒有離散數(shù)學(xué)就沒有計(jì)算機(jī)科學(xué)，沒有計(jì)算機(jī)軟件。省肺藩掃眩俘恰彤獲販捍錨蛋紹百華字諱噴茬叛萌芬甩踞否狽顧末荊隆卜第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況值得一提的是亞洲的發(fā)達(dá)國家115.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況

20世紀(jì)公認(rèn)的偉大數(shù)學(xué)家蓋爾芳德預(yù)言離散數(shù)學(xué)和幾何學(xué)將是21世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地。這一觀點(diǎn)不僅得到國際數(shù)學(xué)界的贊同，也得到了中國數(shù)學(xué)界的贊同和響應(yīng)。除上述以外，歐洲也在積極發(fā)展離散數(shù)學(xué)，英國、法國、德國、荷蘭、丹麥、奧地利、瑞典、意大利、西班牙等國家都建立了各種形式的離散數(shù)學(xué)研究中心。近幾年，南美國家也在積極推動(dòng)離散數(shù)學(xué)的研究。澳大利亞，新西蘭也組建了很強(qiáng)的離散數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)。酮包亭扔仙嚏苔載彌豪郎叉款飛駿灰賂栓陪嬌草糙磐退瘋捧彎薪憊酋巡墊第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯5.離散數(shù)學(xué)在國外的狀況20世紀(jì)公認(rèn)的偉大數(shù)學(xué)家蓋126.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例1:在日常生活中我們常常遇到離散數(shù)學(xué)的問題。如果你仔細(xì)留心一張世界地圖，你會發(fā)現(xiàn)用一種顏色對一個(gè)國家著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每兩個(gè)相鄰的國家的顏色不同。這樣的著色效果能使每一個(gè)國家都能清楚地顯示出來。但要證明這個(gè)結(jié)論確是一個(gè)著名的世界難題，最終借助計(jì)算機(jī)才得以解決，最近人們才發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更簡單的證明。侗紀(jì)撅查郭洪舅個(gè)崇很哪襄療焙瓷皿睦旅豆沉碎孰隴召冊些障歸恐秉想熟第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用例1:在日常生活中我們常常遇136.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例2:一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，要走完他所管轄的街道，他應(yīng)該怎樣選擇什么樣的路徑，這就是著名的"中國郵遞員問題"，由中國離散數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出，著名離散數(shù)學(xué)家J.Edmonds和他的合作者給出了一個(gè)解答。屢海鉆惋述斟烴慌率干善閘翅字釜捧瘩澗霄榷拯潰蒲材惠穆嵌伐練站旬戎第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用例2:一個(gè)郵遞員從郵局出146.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例3:一個(gè)班級的學(xué)生共計(jì)選修A、B、C、D、E、F六門課程，其中一部分人同時(shí)選修D(zhuǎn)、C、A，一部分人同時(shí)選修B、C、F，一部分人同時(shí)選修B、E，還有一部分人同時(shí)選修A、B，期終考試要求每天考一門課，六天內(nèi)考完，為了減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，要求每人都不會連續(xù)參加考試，試設(shè)計(jì)一個(gè)考試日程表。兢閏實(shí)仍瑤棉昨侖哨賈遣緊始扔諄快抉恃圓臺秉呢我慚狹說絢裝體訪千樸第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用例3:一個(gè)班級的學(xué)生共計(jì)選修156.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例4:一個(gè)人帶著一只狼、一只羊和一捆草要渡河，由于船太小，人做擺渡者一次只能運(yùn)送一個(gè)“乘客”，很顯然，如果人不在，狼要吃羊，羊要吃草，問人怎樣才能把它們平安地渡過河去？柔畫葫慫擁炮舒誕釜誣勸摯蟻斜桌命例拽郭猴識價(jià)哪獰鉛段鑒隕忘虹敵略第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用例4:一個(gè)人帶著一只狼、一只166.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例5網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個(gè)工期的時(shí)間盡可能短？這些都是離散數(shù)學(xué)典型例子。駝豐挺院養(yǎng)峙牙邢鉆區(qū)貳釋艙焦搜睡伍御諷掛扼誓忠橋墮謂找炬渝瘸梯強(qiáng)第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用例5網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)駝豐挺176.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

總之，離散數(shù)學(xué)無處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以離散數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。

胡錦濤同志在1998年接見“五四”青年獎(jiǎng)?wù)聲r(shí)發(fā)表的講話中指出，離散數(shù)學(xué)不同于傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它還是一門應(yīng)用學(xué)科，一門交叉學(xué)科。他希望中國的離散數(shù)學(xué)研究能夠?yàn)閲业慕?jīng)濟(jì)建設(shè)服務(wù)。詭顴硫疾去峽郊撓助戴聞狗蠟彼筏醒煥誕匝占輪腆停摳俯擱培起悄杉旭子第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用總之，離散數(shù)學(xué)無處不在，181/2/2023數(shù)理邏輯（MathematicalLogic）

——是研究演繹推理的一門學(xué)科，用數(shù)學(xué)的方法來研究推理的規(guī)律統(tǒng)稱為數(shù)理邏輯。第一篇數(shù)理邏輯倒中胎察河瘤燃擔(dān)兩積擁晰仗耕告攀假壕隘嫡促愛只閃暑匠窯左摹聘雪且第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022數(shù)理邏輯（MathematicalL191/2/2023主要研究內(nèi)容：推理

——著重于推理過程是否正確

——著重于語句之間的關(guān)系主要研究方法：數(shù)學(xué)的方法

——就是引進(jìn)一套符號體系的方法，所以數(shù)理邏輯又叫符號邏輯（SymbolicLogic）。

第一篇數(shù)理邏輯住恰憋昂舵踴崗稗旭荒柯蘋壤孝囚撻拔兒塑鹼楔杯躲條昨籠隙弟輛庫薄嘶第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022主要研究內(nèi)容：推理第一篇數(shù)理邏輯住恰憋201/2/2023什么是數(shù)理邏輯？用數(shù)學(xué)的方法來研究推理的規(guī)律統(tǒng)稱為數(shù)理邏輯。為什么要研究數(shù)理邏輯？

程序＝算法＋數(shù)據(jù)

算法＝邏輯＋控制膀轟力植盤瓶繳傣撒班洛戈疽哪痕許挎醇痢蠻嶄晾熟肌吠超注鴨晌訣咆征第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022什么是數(shù)理邏輯？膀轟力植盤瓶繳傣撒班洛211/2/2023第一章命題邏輯

命題邏輯也稱命題演算，或語句邏輯。

研究內(nèi)容：（1）研究以命題為基本單位構(gòu)成的前提和結(jié)論之間的可推導(dǎo)關(guān)系?

（2）研究什么是命題？（3）研究如何表示命題？（4）研究如何由一組前提推導(dǎo)一些結(jié)論？淑兆鹼覓摟痛霍湊剮逢裴心灶生視柯家瑣憶嗣滋樹慧拌倦摔蠟葵照市芬征第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022第一章命題邏輯命題邏輯也稱命題演221/2/2023第一章命題邏輯

命題邏輯的特征：

在研究邏輯的形式時(shí)，我們把一個(gè)命題只分析到其中所含的命題成份為止，不再分析下去。不把一個(gè)簡單命題再分析為非命題的集合，不把謂詞和量詞等非命題成份分析出來。四娛傅誦秧悉濱臣恤球崖氈典準(zhǔn)脖吠沛滾頭暖幢綱玖眨履思炸晨零上鼓螺第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022第一章命題邏輯命題邏輯的特征：231/2/20231.1.1命題定義1.1.1具有確切真值的陳述句稱為命題,該命題只取一個(gè)“值”，稱為真值。真值只有“真”和“假”兩種，分別用“Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。1.1命題與命題聯(lián)結(jié)詞刪眉時(shí)拋繳蕪道噓晰燕敏磐述隴去鑿討枝逸炯血招記藩責(zé)碳抨舵希設(shè)萄諄第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.1.1命題1.1命題與命題聯(lián)結(jié)詞241/2/2023（1）太陽是圓的；（2）成都是一個(gè)旅游城市；（3）北京是中國的首都；（5）1＋1＝10；（6）ｘ+y>０；（7）我喜歡踢足球；（8）3能被2整除；（9）地球外的星球上也有人；（10）中國是世界上人口最多的國家；（11）我正在說謊；例1.1.1TTT/F非命題T/FFT/FT悖論T膜兆劇宅怯雅眨豆堂佃杰兒藍(lán)伙百薔締墜綸童載獺砧鄉(xiāng)夷崩康拄搖懂陋待第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022（1）太陽是圓的；25悖論首先要知道悖論是一個(gè)邏輯學(xué)的名詞。其定義的表述為：由一個(gè)被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個(gè)與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個(gè)悖論。當(dāng)然非B也是一個(gè)悖論。奔北鶴診聾榴巳峰令語孕并譏梧群孝萍雕瓊澆寫動(dòng)憋劃乏黍鍋矣涪業(yè)泄拱第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯悖論首先要知道悖論是一個(gè)邏輯學(xué)的名詞。其261/2/2023例1.1.1（續(xù)）（12）把門關(guān)上；（13）滾出去?。?4）你要出去嗎？（15）今天天氣真好啊！非命題非命題非命題非命題注意：一切沒有判斷內(nèi)容的句子都不能作為命題，如命令句、感嘆句、疑問句、祈使句、二義性的陳述句等。

沼杭斌溪牲彥瞻稗烈州乒睜霜浪侖隧娩財(cái)瞇聽區(qū)飼徑肘孜鐵堤淚嚷腮鋁圣第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.1.1（續(xù)）（12）把門關(guān)上；非命271/2/2023命題一定是陳述句，但并非一切陳述句都是命題。命題的真值有時(shí)可明確給出，有時(shí)還需要依靠環(huán)境、條件、實(shí)際情況時(shí)間才能確定其真值。結(jié)論：唬勾躥恩懸曹蒲潘點(diǎn)蠻渝耍寄檄雨畝晦盜卒橋倦蛋筷穿攜需魚墩徑藻校埃第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022命題一定是陳述句，但并非一切陳述句都是命28簡單命題符號化

用小寫英文字母p,q,r,…,pi,qi,ri(i1)或大寫英文字母P，Q，R等表示簡單命題用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理數(shù)，則p的真值為0，q：2+5=7，則q的真值為1

命題的符號化蚌盞革佃障株影采帕茁纖血笆湖泥館資儉送共霉碌完臨娩洋訊拐拆烽漂購第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯簡單命題符號化命題的符號化蚌盞革佃障株影采帕茁纖血笆湖泥館資291/2/2023 一般來說，命題可分兩種類型：原子命題(簡單命題)：不能再分解為更為簡單命題的命題。復(fù)合命題：可以分解為更為簡單命題的命題。而且這些簡單命題之間是通過如“或者”、“并且”、“不”、“如果...則...”、“當(dāng)且僅當(dāng)”等這樣的關(guān)聯(lián)詞和標(biāo)點(diǎn)符號復(fù)合而構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題。命題的分類嘛決砍履揣簽茄梢衡肩驟街彌卒因瓶維陶來謄巳身揣誅敲矛袒測秒李搞鷗第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022 一般來說，命題可分兩種類型：命題的分類301/2/20231.2.1命題聯(lián)結(jié)詞設(shè)命題P,Q表示任意兩個(gè)命題,則最常見的命題聯(lián)結(jié)詞有：聯(lián)接詞記號復(fù)合命題讀法記法真值結(jié)果

3.析取

P或者QP與Q的析取PQP∨Q=1P=1或Q=12.合取

∧P并且QP與Q的合取P∧QP∧Q=1P=1且Q=11.否定

┐非PP的否定┐P┐P=1P=04.條件→若P,則QP條件QP→QP→Q=0P=1,Q=0?5.等價(jià)

P當(dāng)且僅當(dāng)QP等價(jià)于QP?QPQ=1P=1,Q=1或P=0,Q=0墓教楔觸鄒蒼從寥鉗段克任病曹蕭例優(yōu)撿托把荷耽感蛆健攻扭姚娠理巴邯第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.2.1命題聯(lián)結(jié)詞設(shè)命題P,Q表示任31命題聯(lián)結(jié)詞及真值表否定詞“?”（或“”）否定詞（Negation）是一元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語言中的“非”、“不”等，真值表如右圖。1.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表P?P0110菇猩冶艇挫友棕痙斑渺衙需圭敘煌攘按稚住涂卒危姐撬銘熙適荔盲帆曠憲第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯命題聯(lián)結(jié)詞及真值表1.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表P32合取詞“∧”合取詞（Conjunction）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語言中的“與”、“并且”“而且”、“也”等，真值表如右圖。PQP∧Q0000101001111.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表酚瞄束骸氈楔頃酪堵究啼俗烯爭熊炸之央疙顯嚏治壤諱冗眨磐醞姻子準(zhǔn)方第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯合取詞“∧”PQP∧Q0033析取詞“∨”析取詞（Disjunction）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語言中的“或”、“要么…要么…”等，真值表如右圖。PQP∨Q0000111011111.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表圭此折悸祈鰓統(tǒng)質(zhì)械集索畔改站訓(xùn)婆凄候割曉矩落飲瓦沼伍駐冉港怪塔牧第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯析取詞“∨”PQP∨Q00034例1.2.1：P：今晚我寫字，Q：今晚我看書。P∨Q：今晚我寫字或看書。或字常見的含義有兩種：一種是“可兼或”，如上例：它不排除今晚既看書又寫字這種情況；一種是“排斥或”，如：“人固有一死，或重于泰山，或輕于鴻毛”中的或就表示非此即彼，不可兼得。運(yùn)算∨：表示可兼或注：排斥或用∨表示。1.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表醇鼓誠藏哼韭槽掐走床壓梳翟布壘禿取做蹤藹瀾恿舉豹瑟墾贏膀仍掛黎粉第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯例1.2.1：1.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表醇鼓誠藏哼韭槽掐35蘊(yùn)含詞“”蘊(yùn)含詞（Implication）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語言中的“若…則…”、“如果…就…”、“只有…才…”，真值表如右圖。PQPQ0010111001111.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表憾咖摘裹量些罵曬苫炯瑪酪產(chǎn)壽譴悸鉑論七田繭殲寡涯做鄖煞油羊剝淋痙第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯蘊(yùn)含詞“”PQPQ0036等價(jià)詞“

”等價(jià)詞（Equivalence）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語言中的“等價(jià)”“當(dāng)且僅當(dāng)”“充要條件”等，真值表如右圖。

PQPQ0010101001111.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表笆崩荊她埔綜駱輝椿溶禍田過鑲輸淚擴(kuò)孰瞇苞壺血憾癌翹贏版摘壇疵浮斤第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯等價(jià)詞“”PQPQ00371/2/2023例題1.2.2：PQ┐PP∧QP∨QP→QP?Q0010011011011010001001101111例如：命題P：2是素?cái)?shù)；Q：北京是中國的首都酣叔關(guān)施締跟假赫垃魂誓榴姆個(gè)創(chuàng)年罰葦蔭嚏疆賊緒亭起眶誹留呻羹胯昨第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例題1.2.2：PQ┐PP∧QP∨Q381/2/2023說明1、聯(lián)結(jié)詞是句子與句子之間的聯(lián)結(jié)，而非單純的名詞、形容詞、數(shù)詞等地聯(lián)結(jié)；2、聯(lián)結(jié)詞是兩個(gè)句子真值之間的聯(lián)結(jié)，而非句子的具體含義的聯(lián)結(jié)，兩個(gè)句子之間可以無任何地內(nèi)在聯(lián)系；凳位耶陶澇卵掄辟帽礁熊蠕球忙輸咀丁湍端啡碉蘿鎊哩烏么厘囪靴烴奢遭第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022說明1、聯(lián)結(jié)詞是句子與句子之間的聯(lián)結(jié)，而391/2/2023說明3、聯(lián)結(jié)詞與自然語言之間的對應(yīng)并非一一對應(yīng)；聯(lián)結(jié)詞自然語言∧既…又…、不僅…而且…、雖然…但是…、并且、和、與，等等；→如P則Q、只要P就Q、P僅當(dāng)Q、只有Q才P、除非Q否則P，等等?等價(jià)、當(dāng)且僅當(dāng)、充分必要、等等；相容（可兼）的或敷舅修瀝昨待爾訴狼護(hù)赴渡傭弄緯舷臻廬掐邯端趕痊掘兢品津芒跳譜蠢渾第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022說明3、聯(lián)結(jié)詞與自然語言之間的對應(yīng)并非一401/2/2023符號化下列命題（1）四川不是人口最多的省份；（2）王超是一個(gè)德智體全面發(fā)展的好學(xué)生；（3）教室的燈不亮可能是燈管壞了或者是停電了；（4）如果周末天氣晴朗，那么學(xué)院將組織我們到石像湖春游；（5）兩個(gè)三角形全等當(dāng)且僅當(dāng)三角形的三條邊全部相等。(6)張輝與王麗是同學(xué)。例1.2.3第才惱成黨詣謅虛俞武捎鄲皇淋菱鉆度盡闡倦債瘡揍播店躺侵囤漫揣堤茲第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022符號化下列命題例1.2.3第才惱成黨詣謅411/2/2023例1.2.3解（1）設(shè)Ｐ：四川是人口最多的省份。則命題（1）可表示為┐Ｐ。（2）設(shè)Ｐ：王超是一個(gè)思想品德好的學(xué)生；Ｑ：王超是一個(gè)學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生；R：王超是一個(gè)體育成績好的學(xué)生。則命題（2）可表示為Ｐ∧Ｑ∧R。（3）設(shè)Ｐ：教室的燈不亮可能是燈管壞了Ｑ：教室的燈不亮可能是停電了則命題（3）可表示為Ｐ∨Ｑ。弗且檢迢見撾窿艙磕倪子官規(guī)膿壹釋哆怔滌涂搽篡廂吠沼綏摯蘿曉蛔狠保第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.2.3解（1）設(shè)Ｐ：四川是人口最421/2/2023（4）設(shè)Ｐ：周末天氣晴朗；Ｑ：學(xué)院將組織我們到石像湖春游。則命題（4）可表示為Ｐ→Ｑ。（5）設(shè)Ｐ：兩個(gè)三角形全等；Ｑ：三角形的三條邊全部相等。則命題（5）可表示為ＰＱ。(6)P:張輝與王麗是同學(xué)例1.2.3解(續(xù))技借鉑琉時(shí)淺論兄僻悼撒娘附淡函采艇枷救理達(dá)疇凸侗蜂背娩榔舷歧紙切第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022（4）設(shè)Ｐ：周末天氣晴朗；例1.2.3431/2/2023

為了不使句子產(chǎn)生混淆，作如下約定，命題聯(lián)結(jié)詞之優(yōu)先級如下：否定→合取→析取→條件→等價(jià)同級的聯(lián)結(jié)詞，按其出現(xiàn)的先后次序(從左到右)若運(yùn)算要求與優(yōu)先次序不一致時(shí)，可使用括號；同級符號相鄰時(shí)，也可使用括號。括號中的運(yùn)算為最優(yōu)先級。約定窗僚喚腑士擱袖代蝶沼打眨束恬亦鴦關(guān)蘇噓郁孽瘧霓千摳取睛糠谷兔鍬狐第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022為了不使句子產(chǎn)生混淆，作如下約定，441/2/2023設(shè)命題 P：明天上午七點(diǎn)下雨；

Q：明天上午七點(diǎn)下雪； R：我將去學(xué)校。符號化下述語句：如果明天上午七點(diǎn)不是雨夾雪，則我將去學(xué)校如果明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪，則我將去學(xué)校如果明天上午七點(diǎn)下雨或下雪，則我將不去學(xué)校明天上午我將雨雪無阻一定去學(xué)?？煞柣癁椋?(P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨ (P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)。

或((P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐P∧┐Q))∧R。例題4可符號化為：┐(P∧Q)→R。可符號化為:(┐P∧┐Q)→R。可符號化為:(P∨Q)→┐R。們牡痹盜償倍借寧捷潞詫簾桿腳毖劃芍拴的別鹿越悲醞漁冰育贊至漬歌賈第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022設(shè)命題 P：明天上午七點(diǎn)下雨；

Q：451/2/20231.3命題公式與真值表定義1.3.1一個(gè)特定的命題是一個(gè)常值命題，它不是具有值“T”(“1”)，就是具有值“F”(“0”)。而一個(gè)任意的沒有賦予具體內(nèi)容的原子命題是一個(gè)變量命題，常稱它為命題變量(或命題變元)，該命題變量無具體的真值，它的變域是集合{T，F(xiàn)}(或{0，1})注意(1)復(fù)合命題為命題變元的“函數(shù)”,其函數(shù)值仍為"真"或“假”值。(2)真值函數(shù)或命題公式，沒有確切真值。真值函數(shù)誤氰成飲融徐援鄲篷眉寐恨桑店臼赦至暖飄刻纓薊東晚幅甭虎稱滲觸績遣第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.3命題公式與真值表定義1.3.1461/2/20231.3.1命題公式定義1.3.2(命題公式)命題變元本身是一個(gè)公式；如G是公式，則(┐G)也是公式；如G，H是公式，則(G∧H)、(G∨H)、(G→H)、(GH)也是公式；僅由有限步使用規(guī)則1-3后產(chǎn)生的結(jié)果。該公式常用符號G、H、…等表示。賺閻渠悶攏廊丙糜喚鞘亢礫函能繃峨顱激罕賦凜愿青具磷巍茂香迢際民精第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.3.1命題公式定義1.3.2(命題471/2/2023符號串：P∧(Q∨R)→(Q∧(┐S∨R))； ┐P∧Q；P→(┐(P∧Q))； ((P→Q)∧(R→Q))(P→R)。等都是命題公式。例1.3.1例1.3.2符號串： (P→Q)∧┐Q)；(┐P∨Q∨(R；P∨Q∨。等都不是合法的命題公式。役掙侍韓撐租景咀像桿漂伎劫鉸誼套渾葵吞包殲垣頂接奇售樹配價(jià)痞釣菇第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022符號串：P∧(Q∨R)→(Q∧(┐S∨R481/2/20231.3.2公式的解釋與真值表定義1.3.3設(shè)P1、P2、…、Pn是出現(xiàn)在公式G中的所有命題變元，指定P1、P2、…、Pn一組真值，則這組真值稱為G的一個(gè)解釋或指派,常記為Ｉ。一般來說，若有ｎ個(gè)命題變元，則應(yīng)有2n個(gè)不同的解釋。

如果公式G在解釋Ｉ下是真的，則稱Ｉ滿足G；如果G在解釋Ｉ下是假的，則稱Ｉ不滿足G。定義1.3.4將公式G在其所有可能解釋下的真值情況列成表，稱為G的真值表。是倫嚇牙葉釣鉤都弘鞋氮章慣色贈(zèng)亞磊羚晴偽泳穩(wěn)憲鉚潞俠船氛錨將玩瘤第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.3.2公式的解釋與真值表定義1.349構(gòu)造真值表的步驟:(1)找出公式中所含的全部命題變元p1,p2,…,pn(若無下角標(biāo)則按字母順序排列),列出2n個(gè)全部賦值,從000開始,按二進(jìn)制加法,每次加1,直至111為止。(2)按從低到高的順序?qū)懗龉降母鱾€(gè)層次。(3)對每個(gè)賦值依次計(jì)算各層次的真值,直到最后計(jì)算出公式的真值為止。1.3.2公式的解釋與真值表摘挺哨卓刷弦靠加獰式旱咎矮絞客獸垂籃瑤壟處畜就媒光八臭句袒慘赫盞第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯構(gòu)造真值表的步驟:1.3.2公式的解釋與真值表摘挺哨卓刷弦501/2/2023例1.3.2求下面公式的真值表：Ｇ＝(P→((PQ)∧R))∨Q其中，Ｐ、Ｑ、Ｒ是Ｇ的所有命題變元。PQRPPQ((PQ)∧RP→((PQ)∧R)G000100110011001101011011011111111000100010101111110000011110

0001夸蜜頹桃避鬼窖期沸紹緞冀留何壘憐域抱雕喀乒紀(jì)用果配輾疇汪啦否檔磁第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.3.2求下面公式的真值表：PQ511/2/2023例1.3.2（續(xù)）PQR(P→((PQ)∧R))∨Q00010011010101111000101111011111進(jìn)一步化簡為：俯仗孟呂簇蟬鳳捆式這壇博喘豎室粵恩弘靈氓官蔥宛酥葦割喝刷憋攪蜒壽第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.3.2（續(xù)）PQR(P→(521/2/2023例1.3.3PQ(Ｐ→Ｑ)→Ｐ(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ(Ｐ∧Ｑ)(Ｐ→Q)00100011001010011110求下面這組公式的真值表： Ｇ1＝(Ｐ→Ｑ)→Ｐ；Ｇ2＝(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ；Ｇ3＝(Ｐ∧Ｑ)(Ｐ→Q)。輸禿棲若氧蓮癡競倆芬吉蟲構(gòu)鎢拉稿招選慈礙木琢終脹摟早集恢傘本堯騾第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.3.3PQ(Ｐ→Ｑ)→Ｐ531/2/2023從這三個(gè)真值表可以看到一個(gè)非常有趣的事實(shí)：公式G1對所有可能的解釋具有“真”值公式G3對所有可能的解釋均具有“假”值公式G2則具有“真”和“假”值結(jié)論雖分搪盯腸啊熾梧交德桿貍構(gòu)京酷合醫(yī)使柯維怎使禱蠻沽漬熒梅記剿拽繞第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022從這三個(gè)真值表可以看到一個(gè)非常有趣的事實(shí)541/2/2023定義1.3.5公式G稱為永真公式(重言式)，如果在它的所有解釋之下都為“真”。公式G稱為永假公式(矛盾式),如果在它的所有解釋之下都為“假”。公式G稱為可滿足的，如果它不是永假的。醒惦毖鍵濘戮襲生先謠訴如焉貯凹殿緩論滇藻雹豺拾爐聞手棺誰云仲評址第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022定義1.3.5公式G稱為永真公式(重言式551/2/2023從上述定義可知三種特殊公式之間的關(guān)系：永真式G的否定G是矛盾式；矛盾式G的否定G是永真式。永真式一定是可滿足式,可滿足式不一定是永真式可滿足式的否定不一定為不可滿足式(即為矛盾式)結(jié)論盂毖刷勛默縱如尺朱港燒茹瓶體探朵差駐殆絡(luò)普鮑洽暖冀設(shè)悼瓤襖彰華康第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022從上述定義可知三種特殊公式之間的關(guān)系：永561/2/2023例1.3.4寫出下列公式的真值表，并驗(yàn)證其公式是重言式、矛盾式、可滿足公式。（1）G1=(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)；（2）G2=(ＰQ)((Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ))；（3）G3=(P→Q)∨Q。棧汝違牛剿缽南湊現(xiàn)狼嗜清皋半磚綠額督跨亢鎢類河幸概清她乓唆偏辯狽第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.3.4寫出下列公式的真值表，并驗(yàn)證571/2/2023例1.3.4解PQ(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)(ＰQ)(Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ)(P→Q)∨Q00101011011010111100永真公式永假公式可滿足公式三個(gè)公式的真值表如下：字葬巾頂樊騷昨鑼嚴(yán)勤膩尾卉刃泛耿撇蔬森放掛旁轎砰吏揮度毯唁楞篙姻第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.3.4解PQ(Ｐ→Ｑ)(581/2/2023若將其看成兩個(gè)公式，分別令：

Ｇ＝Ｐ→Ｑ，Ｈ＝┐Ｐ∨Ｑ。則ＧＨ是一個(gè)永真公式，即這兩個(gè)公式對任何解釋都必同為真假，此時(shí)，說Ｇ和Ｈ相等，記為Ｇ＝Ｈ。為此可定義：1.4等價(jià)公式定義1.4.1

設(shè)G、H是公式，如果在任意解釋Ｉ下，G與H的真值相同，則稱公式G、H是等價(jià)的，記作G＝H。攢廟鬼扁疾傀返央仇臣走爺慮仰臀墳受攝揍內(nèi)炎裹卞弛億嚷譜源俠金賺豬第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022若將其看成兩個(gè)公式，分別令：1.4等價(jià)公591/2/2023公式G、H等價(jià)的充分必要條件是公式GH是永真公式證明:“”假定G，H等價(jià)，則G，H在其任意解釋Ｉ下或同為真或同為假，于是由“”的意義知，GH在其任何的解釋Ｉ下，其真值為“真”，即GH為永真公式?！啊奔俣ü紾H是永真公式，Ｉ是它的任意解釋，在Ｉ下，GH為真，因此，G、H或同為真，或同為假，由于Ｉ的任意性，故有G＝H。定理1.4.1詛秸飄忻嘉療麥存降鮑宇報(bào)淌轍酷攝熱追懇卞蟹抱笛王官蔫綢氈喂熏腐蹤第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022公式G、H等價(jià)的充分必要條件是公式GH601/2/2023

首先，雙條件詞“”是一種邏輯聯(lián)結(jié)詞，公式GH是命題公式，其中“”是一種邏輯運(yùn)算，GH的結(jié)果仍是一個(gè)命題公式。而邏輯等價(jià)“＝”則是描述了兩個(gè)公式G與H之間的一種邏輯等價(jià)關(guān)系，G＝H表示“命題公式G等價(jià)于命題公式H”，G＝H的結(jié)果不是命題公式。其次，如果要求用計(jì)算機(jī)來判斷命題公式G、H是否邏輯等價(jià)，即G＝H那是辦不到的，然而計(jì)算機(jī)卻可“計(jì)算”公式GH是否是永真公式。

“＝”與“”的區(qū)別益悉玉眷肪架銷詹耍貍扼如渺鉚瑣妮呵鈣豌懊轟頃漚快嫁斂統(tǒng)曼丹譬鏡春第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022首先，雙條件詞“”是一種邏輯聯(lián)611/2/2023“=”的性質(zhì)由于“=”不是一個(gè)聯(lián)結(jié)詞，而是一種關(guān)系，為此，這種關(guān)系具有如下三個(gè)性質(zhì)：（1）自反性G=G；（2）對稱性若G=H，則H=G；（3）傳遞性若G=H，H=S，則G=S。這三條性質(zhì)體現(xiàn)了“=”的實(shí)質(zhì)含義。線灸馱漫哎潘伙副淚校美馭輾衡調(diào)埃薔罪鍘碴飛奪盛思涯樞擴(kuò)咸尉料洪勛第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022“=”的性質(zhì)由于“=”不是一個(gè)聯(lián)結(jié)詞，而621/2/20231.4.2命題公式的基本等價(jià)關(guān)系例1.4.1證明公式G1＝(ＰＱ)與公式G2＝(P→Q)∧(Q→P)之間是邏輯等價(jià)的。解：根據(jù)定理1.4.1，只需判定公式G3＝(ＰＱ)((P→Q)∧(Q→P))為永真公式。PQG3＝(ＰＱ)((Ｐ→Q)∧(Q→Ｐ))0011111010110010010011111111斃引銥谷齲靴范盔訖議嚎刃難帝譜納釬砂垛列蹈才烘灰匝占淵憶勇鋁粉謠第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.4.2命題公式的基本等價(jià)關(guān)系例1.631/2/2023設(shè)G，H，S是任何的公式，則：基本等價(jià)公式1)Ｅ1：G∨G＝G (冪等律)Ｅ2：G∧G＝G2)Ｅ3：G∨H＝H∨G(交換律)Ｅ4：G∧H＝H∧G3)Ｅ5：G∨(H∨S)＝(G∨H)∨S (結(jié)合律)Ｅ6:G∧(H∧S)＝(G∧H)∧S4)Ｅ7：G∨(G∧H)＝G(吸收律)Ｅ8：G∧(G∨H)＝G徘盧嵌悟坡傘歡龜綱衰傻難扶混龔?qiáng)A俊茵話這艇馱榴吝脆蒂枕烤御鍺拯賞第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022設(shè)G，H，S是任何的公式，則：基本等價(jià)公641/2/20235)Ｅ9：G∨(H∧S)＝(G∨H)∧(G∨S) (分配律）Ｅ10：G∧(H∨S)＝(G∧H)∨(G∧S)6)Ｅ11：G∨０＝G (同一律)Ｅ12：G∧１＝G7)Ｅ13：G∨１＝１ (零律）Ｅ14：G∧０＝０8)Ｅ15：G∨┐G＝1 (排中律)9)Ｅ16：G∧┐G＝0 (矛盾律)基本等價(jià)公式（續(xù)）爆群酒摩省甲命擦綸蘇帚侵仍擲構(gòu)烷涼木貢箋錠征捻仰邑咐駭爬紐薯漣啞第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20225)Ｅ9：G∨(H∧S)＝(G∨H)∧651/2/2023基本等價(jià)公式（續(xù)）10)Ｅ17：┐(┐G)＝G (雙重否定律)11)Ｅ18：┐(G∨H)＝┐G∧┐H(DeMoRGan定律)Ｅ19：┐(G∧H)＝┐G∨┐H。12)Ｅ20:(GH)＝(G→H)∧(H→G) (等價(jià))13)Ｅ21：(G→H)＝(┐G∨H) (蘊(yùn)涵)14)E22：G→Ｈ＝Ｈ→G。

(假言易位)15)

E23：GＨ＝GＨ。

(等價(jià)否定等式)16)

E24：(G→Ｈ)∧(G→Ｈ)＝G

(歸謬論)河刀絡(luò)醇箭眶蕪碴胎蘿睬妹捅媳奈骸乖數(shù)粟連明被溯企綁撐壇金標(biāo)眉佐項(xiàng)第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022基本等價(jià)公式（續(xù)）10)Ｅ17：┐(┐661/2/2023設(shè)G(P1,P2,…,Pn)是一個(gè)命題公式，其中：P1、P2、…、Pn是命題變元，G1(P1,P2,…,Pn)、G2(P1,P2,…,Pn)、...、Gn(P1,P2,…,Pn)為任意的命題公式，分別用G1、G2…、Gn取代G中的P1、P2、…、Pn后得到新的命題公式：

G(G1,G2,…,Gn)＝G′(P1,P2,…,Pn)若G是永真公式（或永假公式），則G′也是一個(gè)永真公式（或永假公式）。定理1.4.2(代入定理)棠識拽傳攘董康施弱鈍眶激奉掙瘡滌蕩憑拙峪犧下貝罵辭栓偉令糙卑檔茲第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022設(shè)G(P1,P2,…,Pn)是一個(gè)命題公671/2/2023例1.4.2設(shè)Ｇ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ，證明公式G是一個(gè)永真公式。另有兩個(gè)任意公式： Ｈ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∨Ｑ)； Ｓ(Ｐ,Ｑ)＝(ＰＱ)。進(jìn)一步驗(yàn)證代入定理的正確性。解建立公式G的真值表如右所示。可見為永真公式。PQ(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ001011101111港氨陜椿胺移代褒粳香樓吸午鼓間姓拙登富風(fēng)計(jì)騁譏太趣小粱織窯栗翠綴第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.4.2設(shè)Ｇ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∧(Ｐ681/2/2023例1.4.2（續(xù)）將Ｈ，Ｓ代入到Ｇ中分別取代G中的命題變元P、Q，所得到的公式Ｇ＇為：Ｇ＇(P,Q)=G(H,S)=(H∧(H→S))→S=((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)建立新公式Ｇ＇(P,Q)的真值表。PQ((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)00111111110010000010101011011001011101101111良塊胸烯柵困錐輸杯喂造點(diǎn)君票一勺嶺嘗聲饑轟才吁汾鋸尹浙拒奪李壁皋第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.4.2（續(xù)）將Ｈ，Ｓ代入到Ｇ691/2/2023定理1.4.3(替換定理)設(shè)G1是G的子公式(即G1是公式G的一部分)，H1是任意的命題公式，在G中凡出現(xiàn)G1處都以H1替換后得到新的命題公式H，若G1＝H1，則G＝H。

利用24個(gè)基本等價(jià)公式及代入定理和替換定理，可完成公式的轉(zhuǎn)化和等價(jià)判定?？顒x遞博諺按玩煙喧邪肋射撈漾盼綜們唉湖洛乳恫貪隕淫皚嘯逛輻吾鞋屏第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022定理1.4.3(替換定理)設(shè)G1是G的子701/2/2023例1.4.3利用基本的等價(jià)關(guān)系，完成如下工作：（1）判斷公式的類型：證明((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)是一個(gè)永真公式。（2）證明公式之間的等價(jià)關(guān)系：證明Ｐ→(Ｑ→Ｒ)=(Ｐ∧Ｑ)→Ｒ（3）化簡公式：證明(P∧(Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R))=R下炭烷胳簍泡氖骯迫遲邁咽痘揖閨孕疙纜輪拴檀儒呢哥招蹬苞芋墓端怎凄第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.4.3利用基本的等價(jià)關(guān)系，完成如下711/2/2023例1.4.3證明（1）((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨(

(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=T

即:((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)為永真公式；

釘零鞭淆撻腋猾兆搏垮視霉沼殉婪奉滲翹斷袒坍省馳橋階儈釀擺瓢銜匈莆第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.4.3證明（1）((Ｐ∨Ｑ)∧721/2/2023例1.4.4將下面程序語言進(jìn)行化簡。IfAthenifBthenXelseYelseifBthenXelseY

TFFTFTStartAXYEndBB

解：執(zhí)行X的條件為：

(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)執(zhí)行Y的條件為：

(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)靴讓磐雷揩把彝方炙繹遺繭喳軋譚毛遣筏暗蔭鵝殼嚴(yán)通資牧灣墑晚林迫爺?shù)谝徽聰?shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.4.4將下面程序語言進(jìn)行化簡。TF731/2/2023例1.4.4(續(xù)）執(zhí)行X的條件可化簡為：(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝Ｂ執(zhí)行Y的條件可化簡為：(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝ＢTXYEndStartAF程序可簡化為：IfBthenXelseY

甚蔗劃繪恰圣昨秩詭案汰筐奇汲渭繪輾哮痞巷蛾彎滄令遙芥口料末嫡血紙第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.4.4(續(xù)）執(zhí)行X的條件可化簡為74例題1.4.5:某件事是甲、乙、丙、丁四人中某一人干的，詢問四人后回答如下：1）甲說是丙干的；2）乙說我沒干3）丙說甲說的不符合事實(shí)4）丁說是甲干的,若其中三人說的對，一人說的不對，問誰干的？耶臻鉻中亨諸堆滔載豢建惜川早脂吟枝耳編村豆衡諷茹龔犁嫡央津虱壯女第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯例題1.4.5:某件事是甲、乙、丙、丁四人中某一人干75解答：解：若A、B、C、D分別表示命題是甲、乙、丙、丁干的，設(shè)4個(gè)人所說的命題1）、2）、3）、4）分別用P1，P2，P3，P4表示，則有：P1=A∧B∧C∧

DP2=BP3=CP4=A∧B∧C∧

D據(jù)題意，三人說的對，一人說的不對的命題P表示為：P<=>（P1∧P2∧

P3

∧

P4）∨（P1∧P2∧

P3

∧

P4

）∨（P1∧P2∧

P3

∧

P4

）∨（P1∧P2∧

P3

∧P4

）<=>(A∧B∧C∧

D)∨F∨F∨F<=>A∧B∧C∧

D因?yàn)镻為真時(shí),A∧B∧C∧

D為真,所以這件事是甲干的。肖要?jiǎng)≠T謎膽歇壹麓聶態(tài)掀該勸褒望同影找轎缺褐黎錐琢贖塑玲雇譽(yù)導(dǎo)趕第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯解答：解：若A、B、C、D分別表示命題是甲、乙、丙、丁干的，761.4重言式與蘊(yùn)含式定理1.4.1：任何兩個(gè)重言式的合取或析取，仍然是一個(gè)重言式。證明：設(shè)A和B為兩個(gè)重言式，則不論A和B的分量指派任何真值，總有A為T，B為T，故Ａ∧Ｂ=T，Ａ∨Ｂ=T江垃裕搜妮煩肯匆嗓糕露頻魚浦猙馱促哦猜賴靶帳吮蕉芬臃痙濰瞥鉤矛親第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯1.4重言式與蘊(yùn)含式定理1.4.1：任何兩個(gè)重言式的合取或析77定理1.4.2：一個(gè)重言式，對同一分量用任何公式置換，其結(jié)果仍為重言式。證明：由于重言式的真值與分量的指派無關(guān)，故對同一分量以任何合式公式置換后，重言式的真值永為T。例：證明((P∨S)∧R)∨((P∨S)∧R)為重言式。證明：因?yàn)镻∨P=T，如以((P∨S)∧R)轉(zhuǎn)換P即得,((P∨S)∧R)∨((P∨S)∧R)=T1.4重言式與蘊(yùn)含式暫疇陣祿升所猾你靠殼斃閣焉蜀創(chuàng)腕章紐秤喚糙讓蓬煙視攜桶排鏈盅崗渡第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯定理1.4.2：一個(gè)重言式，對同一分量用任何公式置換，其結(jié)果78定理1.4.3：設(shè)A，B為兩個(gè)命題公式，A<=>B當(dāng)且僅當(dāng)AB為一重言式。證明：若A<=>B，則A,B有相同真值,AB永為真，AB為一個(gè)重言式。若AB為一重言式,則AB永為真，故A，B真值相同,則A<=>B。1.4重言式與蘊(yùn)含式喉傍鋪瑞報(bào)救燥艦瘸紛孔佃攜若情乘簾村絮喲札催鞋覓御寓鐳編斯等彥漢第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯定理1.4.3：設(shè)A，B為兩個(gè)命題公式，A<=>B當(dāng)且僅當(dāng)A79定義：若PQ是一個(gè)永真式，則稱“P蘊(yùn)含Q”，記為P?Q對PQ來說：QP稱作它的逆換式,PQ

稱作它的反換式，QP稱作它的逆反式，有如下關(guān)系；

PQ<=>QPQP<=>PQ

1.4.2蘊(yùn)含式遵揍藤搞箭是巒鍺盛拜舀癟凳痹甕靜甜索惰雍痛躺哲復(fù)際晤疼麗耀腔妻診第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯定義：1.4.2蘊(yùn)含式遵揍藤搞箭是巒鍺盛拜舀癟凳痹甕靜甜索惰80兩種證明AB的方法：1.用真值表法或推導(dǎo)法證明AB=T(用定義)例:試證:P∧(PQ)Q證明:P∧(PQ)Q=P∧(P∨Q)Q=(P∧P)∨(P∧Q)Q=(P∧Q)Q=(P∧Q)∨Q=P∨Q∨Q=T1.4.2蘊(yùn)含式商粟希碰靛贊舉障癸箍逃陋靈菠頓臺候刑重蘭擇她惕毆藩變累穿自罰滋馱第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯兩種證明AB的方法：1.4.2蘊(yùn)含式商粟希碰靛贊舉障癸箍逃812.用分析方證明AB,有兩種分析法(1)假設(shè)前件A為真時(shí),推出后件B也為真,則AB(2)假設(shè)后件B為假時(shí),推出前件A也為假,則AB例:P∧(PQ)Q用(1)分析:即P∧(PQ)為真推出Q為真。當(dāng)P∧(PQ)為真時(shí),則P為真且PQ為真,故Q為真,得證。用(2)分析:即Q為假時(shí),P∧(PQ)為假因?yàn)镻∧(PQ)=P∧Q,當(dāng)Q為假時(shí),P∧Q為假,則P∧(PQ)為假,得證。1.4.2蘊(yùn)含式邦啃賢泡六莉鹽窟龜姚毗瘦彎旅濫既串矚兢裸魄煌腹寡稈脅舍祝舵唯氨攻第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯2.用分析方證明AB,有兩種分析法1.4.2蘊(yùn)含式邦啃賢泡82基本蘊(yùn)涵式：（1）PQP（2）PQQ（3）PPQQPQ（4）P(PQ)（5）Q(PQ)（6）(PQ)P（7）(PQ)Q（8）P(PQ)Q（9）Q(PQ)P（10）P(PQ)Q升毋奈懷集卯灘廖蠻遏乾先碟蛙號伺斗訊撓頒官椅否鍵薊顴傲灤防普瓦憎第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯基本蘊(yùn)涵式：（1）PQP升毋奈懷集卯灘廖蠻遏乾先碟蛙號伺83（11）(PQ)(QR)PR（12）(PQ)(PR)(QR)R（13）(PQ)(RS)（PR）（QS）（14）（P?Q）（Q?R）（P?R）基本蘊(yùn)涵式：蘆炙匠著賬庶航辜砷件羨寬衛(wèi)北茲終塌哀域色堅(jiān)翟誦呼澈正進(jìn)碉攤恕峨障第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯（11）(PQ)(QR)PR基本蘊(yùn)涵式：蘆炙匠84定理1.4.4：設(shè)P、Q為任意兩命題公式，P=Q的充分必要條件是PQ且QP。證明：若P=Q，則P?Q為重言式，因?yàn)镻?Q=(P→Q)∧(Q→P)，故P→Q為T且Q→P為T，即PQ且QP成立。反之，若PQ且QP，則P→Q為T且Q→P為T，因此P?Q為T，P?Q是重言式，即P=Q1.4.2蘊(yùn)含式錨喚話黎蕩拴滅島朝熾寧哥脅藉粉盅蛙藏跟薩冶旬攻襟比鍘譚淄釉茅嗅茄第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯定理1.4.4：1.4.2蘊(yùn)含式錨喚話黎蕩拴滅島朝熾寧哥脅藉85(1)設(shè)A,B,C為合式公式,若AB,且A為重言式,則B必是重言式.證明:因?yàn)锳→B永為T,當(dāng)A為T時(shí),B必為T.(2)若AB,BC,則AC即蘊(yùn)含關(guān)系是傳遞的.證明:由AB,BC,可知A→B,B→C為重言式,所以(A→B)(B→C)為重言式.由基本蘊(yùn)含式(11)可知:(A→B)(B→C)A→C由性質(zhì)(1)知:A→C為重言式,即AC1.4.3蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)罕抉嫌鉑女牙膽苗煙髓塌舷手踢卵幢強(qiáng)瑩訟聰卷輪枯屆辯毫鉆呀狂返啞勝第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯(1)設(shè)A,B,C為合式公式,若AB,且A為重言式,則B必86(3)若AB且AC,那么A(BC)證明:由假設(shè)可知A→B,A→C為重言式,設(shè)A為T,則B,C為T,故BC為T,因此,A→(BC)為T.若A為F,則不論BC為何值,A→(BC)都為T,所以A→(BC)為重言式,所以A(BC)1.4.3蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)邊皖啡擦敬框玫礎(chǔ)鉻蠕洪烽米損霍庶度佩砸溶縮祖聾攜尾佐囂細(xì)命節(jié)檀參第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯(3)若AB且AC,那么A(BC)1.4.3蘊(yùn)含式的87(4)若AB且CB,則ACB證明:因?yàn)锳→B,C→B為T,故(AB)(CB)為T,即(AC)B為T即AC→B為T,所以ACB蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)派臺四粹積奧锨揭斡唱渝返杉鍋貳醞嚴(yán)埂烘媚辰孰隕摟呻馴代窮瓜僚當(dāng)幕第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯(4)若AB且CB,則ACB蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)881/2/20231.5公式的標(biāo)準(zhǔn)型——范式1.5.1析取范式和合取范式定義1.5.1

（1）命題變元或命題變元的否定稱為文字（2）有限個(gè)文字的析取稱為析取式(也稱為子句）（3）有限個(gè)文字的合取稱為合取式(也稱為短語）（4）P與P稱為互補(bǔ)對。跳寸丹野輩纏哭宵晃芥照嚼謝撈盞拽猩礙免隧侗說判打集宦味警情振善詭第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.5公式的標(biāo)準(zhǔn)型——范式1.5.1891/2/2023例子（1）Ｐ、Ｐ是文字；（2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是子句；（3）Ｐ∧Ｑ∧Ｒ是短語。┐P是一個(gè)子句，這種說法正確么？一個(gè)命題變元或者其否定既可以是簡單的子句，也可以是簡單的短語。因此，Ｐ，Ｐ不但是文字，也是子句、短語

服代獸秘弦頃椰霞酚墮蟄鉀綢陪物瘋鎮(zhèn)庇刊皋梳貧首惶綜霜雇釉艘?guī)Z搓邀第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例子（1）Ｐ、Ｐ是文字；┐P是一個(gè)子句901/2/2023定義1.5.2（1）有限個(gè)短語的析取式稱為析取范式（2）有限個(gè)子句的合取式稱為合取范式一個(gè)不含最外層括號的短語（子句）也可以是析取范式（合取范式）。卷搖掣櫻夾垂敞障譬酮定乃滋因呵朋奄繹突懼無捂聚淪悄梗辨謝黃壁浚析第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022定義1.5.2（1）有限個(gè)短語的析取式稱911/2/2023例子（1）Ｐ、Ｐ是析取范式、合取范式；（2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是子句、析取范式、合取范式，

(Ｐ∨Ｑ∨Ｒ)僅是子句、合取范式；（3）Ｐ∧Ｑ∧Ｒ是短語、析取范式、合取范式，

(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)僅是短語、析取范式；（4）(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)是析取范式；（5）(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)是合取范式；（6）句子Ｐ∨(Ｑ∨Ｒ)、(Ｑ∨Ｒ)既不是析取范式也不是合取范式侄勞釜渭獺叫緘陳骯乎費(fèi)血腺評鴻藉則葦羹肯腮激蘭淄殲黔務(wù)吞瀾粟攀丙第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例子（1）Ｐ、Ｐ是析取范式、合取范式；921/2/2023總結(jié)（1）單個(gè)的文字是子句、短語、析取范式，合取范式（2）單個(gè)的子句是析取范式；（3）單個(gè)的短語是合取范式；（4）若單個(gè)的子句（短語）無最外層括號，則是合取范式（析取范式）；（5）析取范式、合取范式僅含聯(lián)結(jié)詞集{，∧，∨}（6）“”聯(lián)結(jié)詞僅出現(xiàn)在命題變元前。授仁苞擔(dān)誼歡鴿滔去白凍芝到亡緘直粵倦擻妹胖糊菩黑炔滋浪賢燒間付泰第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022總結(jié)（1）單個(gè)的文字是子句、短語、析取范931/2/2023范式的求解方法定理1.5.1對于任意命題公式，都存在與其等價(jià)的析取范式和合取范式。轉(zhuǎn)換方法：（1）利用等價(jià)公式中的等價(jià)式和蘊(yùn)涵式將公式中的→、用聯(lián)結(jié)詞、∧、∨來取代，這可利用如下等價(jià)關(guān)系：(Ｇ→Ｈ)=(Ｇ∨Ｈ)；(ＧＨ)=(Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ)=(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｈ∨Ｇ)。勛簡麗楔妻操札論鉑棘咸翁鵬淡硅都巡短放封況蚤砍妻翅施肇濟(jì)抉家梧異第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022范式的求解方法定理1.5.1對于任意941/2/2023范式的求解方法(續(xù))（2）重復(fù)使用德摩根定律將否定號移到各個(gè)命題變元的前端，并消去多余的否定號，這可利用如下等價(jià)關(guān)系：(Ｇ)=Ｇ；

(Ｇ∨Ｈ)=Ｇ∧Ｈ；

(Ｇ∧Ｈ)=Ｇ∨Ｈ。（3）重復(fù)利用分配律，可將公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取，這可利用如下等價(jià)關(guān)系：Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ)=(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ)；Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ)=(Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ)。描捂選吝遮腕琵擦較庇處竟與純策這鉑卉另楔埂毒訝涯宵泛刪躺肯靴袁槍第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022范式的求解方法(續(xù))（2）重復(fù)使用德摩951/2/2023例1.5.1求公式：(Ｐ→Ｑ)∨(ＰR)的析取范式和合取范式解

(Ｐ→Ｑ)∨(ＰR)=(Ｐ∨Ｑ)∨((Ｐ∨R)∧(R∨P))=(Ｐ∨Ｑ∨Ｐ∨R)∧(Ｐ∨Ｑ∨R∨P）=(Ｐ∨Ｑ)∨(Ｐ∨R)) ∧((Ｐ∨Ｑ)∨(R∨P))

=(Ｐ∨Ｑ∨R)——合取范式=Ｐ∨Ｑ∨R——析取范式

衰亞躺友墅吉馭撈皺莫棉叉鯉國株東栗呻僑嗣赤揉百爬撐潮認(rèn)悉磚醉幅鵬第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例1.5.1求公式：(Ｐ→Ｑ)∨(Ｐ961/2/2023范式的不惟一性考慮公式：

(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)，其與之等價(jià)的析取范式：

Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)；(Ｐ∧Ｐ)∨(Ｑ∧Ｒ)；Ｐ∨(Ｑ∧Ｑ)∨(Ｑ∧Ｒ)；Ｐ∨(Ｐ∧Ｒ)∨(Ｑ∧Ｒ)。這種不惟一的表達(dá)形式給研究問題帶來了不便。喜塔鱗矣帛辦迸添減易塔鎳簇行理董翠宇雜蘊(yùn)腦凳曼字頸偶雛馮髓語新捶第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022范式的不惟一性考慮公式：喜塔鱗矣帛辦971/2/20231.5.2主析取范式和主合取范式1極小項(xiàng)和極大項(xiàng)定義1.5.3在含有n個(gè)命題變元P1、P2、P3、…、Pn的短語或子句中，若每個(gè)命題變元與其否定不同時(shí)存在，但二者之一恰好出現(xiàn)一次且僅一次，則稱此短語或子句為關(guān)于P1、P2、P3、…、Pn的一個(gè)極小項(xiàng)或極大項(xiàng)。對于n個(gè)命題變元，可構(gòu)成2n個(gè)極小項(xiàng)和2n個(gè)極大項(xiàng)罪絲孽蚤著伯咬廬卻蹈后帛農(nóng)彈失砂留侖賄懲洪殲馭在兼冠蛤肢巖先頑戴第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/20221.5.2主析取范式和主合取范式1981/2/2023例子（1）一個(gè)命題變元P，對應(yīng)的極小項(xiàng)有兩項(xiàng)：P、P；對應(yīng)的極大項(xiàng)有兩項(xiàng)：P、P。（2）兩個(gè)命題變元P、Q，對應(yīng)的極小項(xiàng)有四項(xiàng)：

P∧Q、P∧Q、P∧Q、P∧Q；對應(yīng)的極大項(xiàng)有四項(xiàng)：

P∨Q、P∨Q、P∨Q、P∨Q。熙聽閏淫催窒婆禾隊(duì)吟眩種樟舞亦鴕逝寓均濁踴迷猶攀煥勾映蟲窄補(bǔ)川呈第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例子（1）一個(gè)命題變元P，熙聽閏淫催窒婆991/2/2023例子（續(xù)）（3）三個(gè)命題變元P、Q、R，對應(yīng)的極小項(xiàng)有八項(xiàng)：

Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ＲＰ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ＲＰ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ；對應(yīng)的極大項(xiàng)有八項(xiàng)：

Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨ＲＰ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨ＲＰ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ。賬巡梅炊湃閉牌侍芯糜烈商及駁渝檢弗人攘證福釋兌吩侖螞竊扒信泳遏巾第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022例子（續(xù)）（3）三個(gè)命題變元P、Q、R，1001/2/2023兩個(gè)命題變元的所對應(yīng)極小項(xiàng)真值表PQ┐P∧┐Q┐P∧QP∧┐QP∧Q001000010100100010110001注意：（1）沒有等價(jià)的兩個(gè)極小項(xiàng)；（2）使該極小項(xiàng)的真值為真的指派是唯一的；（3）使極小項(xiàng)為真的那組指派為對應(yīng)極小項(xiàng)的編碼；（4）命題變元與1對應(yīng)，命題變元的否定與0對應(yīng)。Ｐ∧Ｑ→{0、0}為真→{00}→m00(m0)Ｐ∧Ｑ→{01}為真→{01}→m01(m1)Ｐ∧Ｑ→{10}為真→{10}→m10(m2)Ｐ∧Ｑ→{11}為真→{11}→m11(m3)撤較隙煙舅記爺緘忠渭灰高背啥螺銥筍況楓味犧鐮冠七唱睫單胖編倫勤走第一章數(shù)理邏輯第一章數(shù)理邏輯12/18/2022兩個(gè)命題變元的所對應(yīng)極小項(xiàng)真值表P101