絕對(duì)值不等式課件

二絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式二絕對(duì)值不等式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解定理1及其幾何說(shuō)明，理解定理2.2.會(huì)用定理1、定理2解決比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解定理1及其幾何說(shuō)明，理解定理2.[知識(shí)鏈接]1.代數(shù)式|x＋2|＋|x－3|的幾何意義是什么？

提示表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)－2與3的距離之和.2.定理2的幾何解釋是什么？提示在數(shù)軸上，a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.[知識(shí)鏈接]1.代數(shù)式|x＋2|＋|x－3|的幾何意義是什么[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.絕對(duì)值的幾何意義

如圖(1)，|a|表示數(shù)軸上______________到原點(diǎn)的距離.

如圖(2)，|a－b|的幾何意義是___________________的距離.坐標(biāo)為a的點(diǎn)A數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.絕對(duì)值的幾何意義坐標(biāo)為a的點(diǎn)A數(shù)軸上A，B兩2.定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤_______，當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立.3.定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋

|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)________________時(shí)，等號(hào)成立.|a|＋|b|ab≥0(a－b)(b－c)≥02.定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤_______，要點(diǎn)一絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)例1設(shè)a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值.解

|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①當(dāng)ab≥0時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②當(dāng)ab＜0時(shí)，則a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.總之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8時(shí)，滿足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值為16.要點(diǎn)一絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)例1設(shè)a，b∈R，且|a＋b規(guī)律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等號(hào)成立的條件為ab≥0，應(yīng)用時(shí)要注意與以前學(xué)過(guò)的知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別.a－c的變形要記?。篴－c＝(a－b)＋(b－c)，從而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|可以變形為|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立.規(guī)律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等號(hào)成立的條件為ab≥跟蹤演練1

若|a－c|＜b，則下列不等式不成立的是(

)A.|a|＜|b|＋|c| B.|c|＜|a|＋|b|C.b＞||c|－|a|| D.b＜|a|－|c|解析由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，則|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.而由A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由B成立，得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|.即||c|－|a||＜|b|＝b.故C成立.由A成立知D不成立，故選D.答案

D跟蹤演練1若|a－c|＜b，則下列不等式不成立的是()絕對(duì)值不等式課件規(guī)律方法分析題目時(shí)，題目中的語(yǔ)言文字是我們解題信息的重要來(lái)源與依據(jù)，而解題時(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言也往往需要從文字語(yǔ)言“翻譯”轉(zhuǎn)化而來(lái)，那么準(zhǔn)確理解題目中的文字語(yǔ)言，適時(shí)準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化也就成了解題的關(guān)鍵，如本題題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于|a|，|b|和1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是證明本題的關(guān)鍵.規(guī)律方法分析題目時(shí)，題目中的語(yǔ)言文字是我們解題信息的重要來(lái)絕對(duì)值不等式課件要點(diǎn)三絕對(duì)值三角不等式在生活中的應(yīng)用例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心.要點(diǎn)三絕對(duì)值三角不等式在生活中的應(yīng)用(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明)；(2)若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小值.解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且y≥0.(1)點(diǎn)P到點(diǎn)A(3，20)的“L路徑”的最短距離d，等于水平距離＋垂直距離，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要絕對(duì)值不等式課件規(guī)律方法

數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離或者平面直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸的直線上的兩點(diǎn)間的距離為：d＝|x1－x2|或d＝|y1－y2|，如果已知兩個(gè)變量x1，x2的大小關(guān)系，則不用加絕對(duì)值.規(guī)律方法數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離或者平面直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸跟蹤演練3

兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次.要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？跟蹤演練3兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這解

設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路牌的第xkm處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為s(x)km，則s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|).因?yàn)閨x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥10，當(dāng)且僅當(dāng)(x－10)(20－x)≥0時(shí)取等號(hào).解得10≤x≤20.所以，生活區(qū)建于兩個(gè)施工地點(diǎn)之間的任何一個(gè)位置時(shí)，都能使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路之和最小.解設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路牌的第xkm處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往絕對(duì)值不等式課件絕對(duì)值不等式課件絕對(duì)值不等式課件規(guī)律方法

此類題目綜合性強(qiáng)，不僅用到絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、推論及已知條件，還要用到配方等等價(jià)變形.在應(yīng)用絕對(duì)值不等式的放縮性質(zhì)求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，這也是關(guān)鍵.規(guī)律方法此類題目綜合性強(qiáng)，不僅用到絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、推論跟蹤演練4

設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|＜1.求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).證明

|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－1)|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1.∵|x|－|a|≤|x－a|＜1，∴|x|＜|a|＋1.∴|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1).∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).跟蹤演練4設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|1.求含絕對(duì)值的代數(shù)式的最值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，直接求|a|＋|b|的最大值比較困難，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0時(shí)，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，達(dá)到目的.2.求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：(1)借助絕對(duì)值的定義，即零點(diǎn)分段；(2)利用絕對(duì)值幾何意義；(3)利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理.1.求含絕對(duì)值的代數(shù)式的最值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，直接求|a|＋|1.若|x－a|＜h，|y－a|＜k，則下列不等式一定成立的是(

)A.|x－y|＜2h B.|x－y|＜2kC.|x－y|＜h＋k D.|x－y|＜|h－k|解析|x－y|＝|(x－a)＋(a－y)|≤|x－a|＋|a－y|＜h＋k.答案

C1.若|x－a|＜h，|y－a|＜k，則下列不等式一定成立的答案

D答案D3.函數(shù)y＝|x－4|＋|x－6|的最小值為_(kāi)_______.解析y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)4≤x≤6時(shí)，等號(hào)成立.答案

23.函數(shù)y＝|x－4|＋|x－6|的最小值為_(kāi)_______4.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1，求證：(1)|c|≤1；(2)|b|≤1.4.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(二絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式二絕對(duì)值不等式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解定理1及其幾何說(shuō)明，理解定理2.2.會(huì)用定理1、定理2解決比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解定理1及其幾何說(shuō)明，理解定理2.[知識(shí)鏈接]1.代數(shù)式|x＋2|＋|x－3|的幾何意義是什么？

提示表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)－2與3的距離之和.2.定理2的幾何解釋是什么？提示在數(shù)軸上，a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.[知識(shí)鏈接]1.代數(shù)式|x＋2|＋|x－3|的幾何意義是什么[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.絕對(duì)值的幾何意義

如圖(1)，|a|表示數(shù)軸上______________到原點(diǎn)的距離.

如圖(2)，|a－b|的幾何意義是___________________的距離.坐標(biāo)為a的點(diǎn)A數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.絕對(duì)值的幾何意義坐標(biāo)為a的點(diǎn)A數(shù)軸上A，B兩2.定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤_______，當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立.3.定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋

|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)________________時(shí)，等號(hào)成立.|a|＋|b|ab≥0(a－b)(b－c)≥02.定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤_______，要點(diǎn)一絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)例1設(shè)a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值.解

|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①當(dāng)ab≥0時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②當(dāng)ab＜0時(shí)，則a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.總之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8時(shí)，滿足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值為16.要點(diǎn)一絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)例1設(shè)a，b∈R，且|a＋b規(guī)律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等號(hào)成立的條件為ab≥0，應(yīng)用時(shí)要注意與以前學(xué)過(guò)的知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別.a－c的變形要記?。篴－c＝(a－b)＋(b－c)，從而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|可以變形為|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立.規(guī)律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等號(hào)成立的條件為ab≥跟蹤演練1

若|a－c|＜b，則下列不等式不成立的是(

)A.|a|＜|b|＋|c| B.|c|＜|a|＋|b|C.b＞||c|－|a|| D.b＜|a|－|c|解析由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，則|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.而由A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由B成立，得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|.即||c|－|a||＜|b|＝b.故C成立.由A成立知D不成立，故選D.答案

D跟蹤演練1若|a－c|＜b，則下列不等式不成立的是()絕對(duì)值不等式課件規(guī)律方法分析題目時(shí)，題目中的語(yǔ)言文字是我們解題信息的重要來(lái)源與依據(jù)，而解題時(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言也往往需要從文字語(yǔ)言“翻譯”轉(zhuǎn)化而來(lái)，那么準(zhǔn)確理解題目中的文字語(yǔ)言，適時(shí)準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化也就成了解題的關(guān)鍵，如本題題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于|a|，|b|和1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是證明本題的關(guān)鍵.規(guī)律方法分析題目時(shí)，題目中的語(yǔ)言文字是我們解題信息的重要來(lái)絕對(duì)值不等式課件要點(diǎn)三絕對(duì)值三角不等式在生活中的應(yīng)用例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心.要點(diǎn)三絕對(duì)值三角不等式在生活中的應(yīng)用(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明)；(2)若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小值.解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且y≥0.(1)點(diǎn)P到點(diǎn)A(3，20)的“L路徑”的最短距離d，等于水平距離＋垂直距離，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要絕對(duì)值不等式課件規(guī)律方法

數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離或者平面直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸的直線上的兩點(diǎn)間的距離為：d＝|x1－x2|或d＝|y1－y2|，如果已知兩個(gè)變量x1，x2的大小關(guān)系，則不用加絕對(duì)值.規(guī)律方法數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離或者平面直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸跟蹤演練3

兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次.要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？跟蹤演練3兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這解

設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路牌的第xkm處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為s(x)km，則s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|).因?yàn)閨x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥10，當(dāng)且僅當(dāng)(x－10)(20－x)≥0時(shí)取等號(hào).解得10≤x≤20.所以，生活區(qū)建于兩個(gè)施工地點(diǎn)之間的任何一個(gè)位置時(shí)，都能使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路之和最小.解設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路牌的第xkm處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往絕對(duì)值不等式課件絕對(duì)值不等式課件絕對(duì)值不等式課件規(guī)律方法

此類題目綜合性強(qiáng)，不僅用到絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、推論及已知條件，還要用到配方等等價(jià)變形.在應(yīng)用絕對(duì)值不等式的放縮性質(zhì)求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，這也是關(guān)鍵.規(guī)律方法此類題目綜合性強(qiáng)，不僅用到絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、推論跟蹤演練4

設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|＜1.求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).證明

|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－1)|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1.∵|x|－|a|≤|x－a|＜1，