第六章無窮級數(shù)

第六章無窮級數(shù)學(xué)習(xí)目的和要求學(xué)習(xí)本章，要求讀者掌握常數(shù)項級數(shù)收斂和發(fā)散的概念，級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，幾何級數(shù)、p級數(shù)和調(diào)和級數(shù)的收斂性；正項級數(shù)收斂的判別法則及判定交錯級數(shù)收斂性的萊布尼茲判別法；掌握冪級數(shù)的概念和運算，熟悉常用函數(shù)目'，助工，8總,1+舟和（1+折的冪級數(shù)展開式，并會用間接法將一些簡單函數(shù)展成冪級數(shù)，求出其收斂半徑和收斂區(qū)域.第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)1.常數(shù)項級數(shù)的定義設(shè)已給數(shù)列則式子十十,??■!■隊*十,,,1j.M或其簡寫克獨叫做無窮級數(shù)，記前活項和為乳Ff十…十如當(dāng)如無限增大時，若數(shù)列其具有有限的極限S?！甓R％則稱無窮級數(shù)收斂，其極限值S稱為級數(shù)的和，并記為汽TB"若既沒有極限，就稱無窮級數(shù)發(fā)散。例如：幾何級數(shù)提+綻*疽+…站g"+…,若則乩=—-絲1.1~q[-g當(dāng)|g|cl時,/TO,故。二1—B當(dāng)|q|)l時/TOO,故乩TOO.當(dāng)g=1時乩二期Too.當(dāng)g二?1時咒無極限。從而可得如下結(jié)論：若幾何級數(shù)的公式比|E<1時，則級數(shù)mBa乙％f=—M-01-0收斂.若掙|上1,則此級數(shù)發(fā)散.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)若級數(shù)虬十叱十…十％十…收斂于和M,則每一項乘以一個不為零的常數(shù)■t所得的級數(shù)0］十如‘十…十婦正十…收斂于設(shè)有兩個收斂級數(shù)：￡=十耳么十???十+■■■,Cf=q+u衛(wèi)+■■-++■■■r則級數(shù)(劉1士巧)十(叱±3)十…十(％士耳)十…收斂于和宇Mb在級數(shù)的前面部分去掉或加上有限項，不影響級數(shù)的斂散性，但是其級數(shù)和會發(fā)生相應(yīng)變化.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和S.要求讀者了解上述基本性質(zhì)的證明，并熟練運用上述諸性質(zhì).常數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)土的收斂，則當(dāng)蘇趨于無窮大時，它的一般項％H-1必趨近于零.(完整版)第六章無窮級數(shù)因而若級數(shù)的一般項不趨于零，則級數(shù)一定發(fā)散，但反之不然，亦即如果級數(shù)的一般項趨于零，則級數(shù)未必收斂.例如：調(diào)和級數(shù)TOC\o"1-5"\h\z111123如’其一般項0,但它是發(fā)散的.級數(shù)「111十—+—+■■■+—+■■■>0)亨"寸'稱為歹G時目級數(shù)發(fā)散而當(dāng)尸》1時歹級數(shù)收斂。正項級數(shù)收斂的判別法(要求讀者能熟練使用下列判別法)若級數(shù)的每一項均為正數(shù)(即虬20)則稱為正項級數(shù)，有如下收斂判別法：比較判別法設(shè)有兩個正項級數(shù)￡恥和￡成且有隊q%若級數(shù)TOC\o"1-5"\h\z2-12-1\o"CurrentDocument"M309云玷收■斂，則級數(shù)云的也收斂，若級數(shù)云的發(fā)散，則級數(shù)云U也發(fā)散.3-13-1S-13-1比值判別法設(shè)正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于q,則當(dāng)々<1時級數(shù)收斂，0>1時級數(shù)發(fā)散，0=1時待定.萊布尼茲判別法若交錯級數(shù)滿足條件：1)%賓再沖二12…)=0,則交錯級數(shù)1廣蜘收斂，且其NT心H-1和混以】用它前冉項的部分和咒作為級數(shù)和S的近似值時，誤差I(lǐng)邕-撐|5山.絕對收斂和條件收斂玄跚收斂，并稱這樣的級數(shù)叫3-1則稱級數(shù)云跚為條件收斂級

2-1若級數(shù)？各項的絕對值所成的級數(shù)寸"收斂，則級數(shù)j-l玄跚收斂，并稱這樣的級數(shù)叫3-1則稱級數(shù)云跚為條件收斂級

2-1如果級數(shù)￡跚收斂，而它的各項取絕對值所成的級數(shù)發(fā)散，數(shù)。第二節(jié)冪級數(shù)形為的+度國+企折+…+晚正我"+…的級數(shù)稱為冪級數(shù)，而常數(shù)知沔…，烏’…叫做冪級數(shù)的系數(shù).1.冪級數(shù)的收斂半徑對冪級數(shù)，必有數(shù)R,使當(dāng)|&|〈R時冪級數(shù)絕對收斂，而當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散，數(shù)R被稱為收斂半徑.冪級數(shù)的收斂半徑可如下求得:設(shè)極限臨"1=q,其中金屏點時］是冪級數(shù)相鄰兩項的系數(shù).RT心%⑴若月ha則r=~,p⑵若/>=0,則R=0；⑶若Q=則反=0,［例］求冪級數(shù)JT-—4-——+…的收斂半徑.23均解因為X?=]mi=Em":1=1,NTmzp#Tg1

K—則收斂半徑A=l=l.p冪級數(shù)的運算設(shè)已知兩冪級數(shù)：的十的由十約FH十…二『3）,蝙+如無+奶/+???+如^+-??=或曲，其收斂區(qū)間分別為（-A.A）和（-饑蹌,則有如下運算法則：（1）加法運算￡宇七￡出醇=￡（%也）己M-0?-0N-0兩個冪級數(shù)相加或相減后所得到的冪級數(shù)至少在原來兩個收斂區(qū)間中較小的區(qū)間（-乩戊）/=rnrn｛丸切內(nèi)是收斂的，其和差依次為『3）十g3）和了⑴-g3）.（2）乘法運算（立％芝）成％芝）=（知+%）+即1+磷“X』g口十S也十的加十昭瓦）Q十…十（旗昭知H—j-o在區(qū)間（-R,R）內(nèi)成立.（3）微分運算在冪級數(shù)收斂區(qū)間（一A,A）內(nèi)任意一點x處，有心出g廣⑴==￡斜廣X』=@/地&+無拓+…，也就是說，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項微分，且收斂半徑不變（4）積分運算在冪級數(shù)收斂區(qū)間（一A,A）內(nèi)任意一點x心出g廣⑴==￡斜廣X』=@/地&+無拓+…，也就是說，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項微分，且收斂半徑不變（4）積分運算在冪級數(shù)收斂區(qū)間（一A,A）內(nèi)任意一點x處，有f即X=g[*村曹]dx=gg褊*X提+1aQx+—z+■■■°23也就是說冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，且收斂半徑不變。第三節(jié)泰勒公式與泰勒級數(shù)1.泰勒公式如果函數(shù)了&）在含有氣的某個開區(qū)間（*）內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)兀在（&,占）內(nèi)時J3）可以表示為x-xa的一個冉次多項式與一個余項烏⑴的和:F（對二六瓦）十產(chǎn)0口）（匯—工口）十匕旨^3—而尸『5十1）r（K+l）（曰3-孔嚴(yán)十」^3-矽山十…十3+1)!3+1)!其中言為工與％之間的某個值.若知取0,則泰勒公式變?yōu)辂溈藙诹止?二^⑴十產(chǎn)（6十號普十…十^

E座產(chǎn)爐5.+3+1)!2.泰勒級數(shù)設(shè)函數(shù)了⑴具有各階導(dǎo)數(shù)廣3）、（玖…*幻（玖…,則稱級數(shù)了&）十廣（此沱-海）十;產(chǎn)*冊）5—知滬占_|+舟3口心-寸+…為函數(shù)了5）的泰勒級數(shù).若了3）的泰勒公式的余項RK（X）當(dāng)死無限增大時極限為零，則上述了3）的泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)本身.3。常用函數(shù)的麥克勞林展開式nex⑴投=1+^+—+■■■+—+—一廣(0<<1);獨一1(-"——+電,(2^)-II知、'2!獨一1(-"——+電,(2^)-II知(2)smx=x-——+—315!皿[版+(為7)—]私」對=七x2H+1(0<^<1);勤(膈+1)!⑶/十…-1)(^3-2)-■■(W3-^+1)B+幽（跳1）（也—2）???（幽一劉十］）（歐一龍）〔炬十1）!，（1+%）『卜％"1（。＜日〈1）,1/_1\M-1⑴ln(l+T)=r-—亍+_尸-…+—若3n+■tlL■(1+做)T7fH(0<0<1).

拎+1m<^<m<^<8);⑴武=15+——+…+——+-■■21則5、"X3Z5f，-盤⑵sin=y-——+——…+(T)+3!5!(2^+1)!TOC\o"1-5"\h\z(3(1十舟禎=1十弘十業(yè)婦圣

2131+…+咐伽-1?-2)…啊-如十1.+…5<1),『/x*莉(4)ln(l+^=JT-—+—-—+■-+(-1/-1—+--(-1<1).234h用間接法將一些簡單函數(shù)展成冪級數(shù)[例]將數(shù)叭叵展開成工的冪級數(shù).V1-我I一I1-X1一解因hJ—=-[ln(l-n^-ln(l-x)],而/t3/亍ln(l+匯)=X-—+—-——+...+(-1)b-l_+-(|x|<l)n234料J//曹ln(l-r)=-^-——-—-——一…一——一…(Ix|<1)?234代故得恒=?[由(1+x)-hi(lf]//x3H-L=X+++?■?++...5肽-1u2m-1二Z一；“0).M-12拎-1第六章無窮級數(shù)例1：若則級數(shù)交虬（）一定收斂頃一定發(fā)散(C)一定條件收斂(D)可能收也可能發(fā)散解;由級數(shù)的基本性質(zhì)，園虬=0是級數(shù)史蜘收斂的必要條件，事實上,考察#=1的級數(shù)即調(diào)和級數(shù)交［和責(zé)=2的財級數(shù)交二，前者是發(fā)散的，n-i活n-i活而后者是收斂的，怛它們均滿足條件臨虬=U芯此，(R).(E).(C)甥不正閾，而(9)正確，應(yīng)選(辦例2：設(shè)正項級數(shù)Z峋收斂，則下面級數(shù)中，一定收斂的是()N-15洗(磯十們(0<1)頃a虹N?1z解:◎中級數(shù)是一個交錯緩數(shù)n由己知院虬收斂。即力(T)""收斂,可知N(-1)*是收斂的而纓絕對收斂的。注意:關(guān)于3).0).(o中的級數(shù)的發(fā)散,從一個反例可以看出，設(shè)七=4n(為z(4+^>一般項不趨于零，發(fā)散；w=2-調(diào)和級數(shù)發(fā)散；?剝其一般項不趨于零，發(fā)散.K-1應(yīng)選(5TOC\o"1-5"\h\z41例3:若級數(shù)尤土發(fā)散，則()S-1X(A)q<0(0q)1(Q<7<1(D)>021解:由于歹級數(shù)當(dāng)"1時收斂，當(dāng)游1時發(fā)散01因此P=q+1M1時發(fā)散，即<0時發(fā)散n-1丸故應(yīng)選(4)口例4:級數(shù)丸的和2（）TOC\o"1-5"\h\z3522⑴-㈤一?一（□）一2353解:由于幾何級數(shù)當(dāng)gel時收斂，其和為二N-l1一#2因此zes+14e0s-l=M-0M-lJM-lJj__故應(yīng)選（勇0注意；無療級數(shù)的斂散性與占的起始值無關(guān)，而無療級數(shù)的和的大小卻是與占的起始值密切相關(guān)的，g1例5:判斷級數(shù)的斂散性.M-1冊懷十、是正項級數(shù)心用血十1_11_1H4抱+1g捕T因此^4*^=-的尹級數(shù)，收斂，M-172心1由比較判法知是收斂的,M-1理J珂十1例6:下列正項級教中發(fā)散的是（）（B）V,——K-1』亍=而級數(shù)己W是=|+龍松恐V2（B）V,——K-1』亍=而級數(shù)己W是=|+龍松恐V2-?-1-%?汕4-解：（/）由于4司^+為"\/NRW后m-13的#級數(shù)，是發(fā)散的。根據(jù)比較審斂法可￡,（迎中級數(shù)*發(fā)散的；01㈤由于N二是p=2的目級數(shù)，是收斂的，而K-1招r（5招+1）（招’+1）Ilim=—XT*15根據(jù)極限形式的比較審斂法，可知（B）中級數(shù)是收斂的；1心1?由于池二三二項旗學(xué)斂，由比較法可知?中級數(shù)是收斂的；再招JB-1?2客+3,U1QK+11（B）由于虹l=lim=耳T1ZB毒NTBE龍十12田2B根據(jù)達(dá)朗貝爾比值法，立斗收斂腿12故應(yīng)選（旬令例7:討論級數(shù)￡*在三神條件下的斂散性,*_i1+就解，（1）當(dāng)0<*1時，血二二1一般項不趨向于零，級數(shù)發(fā)散，TOC\o"1-5"\h\z11__⑵當(dāng)"二1時，如土二云%一般項不趨問于零，級數(shù)發(fā)散。n-11+132⑶當(dāng)八閔”土§g[[918"I而級數(shù)E二是^=-<1的幾何級數(shù)，因是收斂的，從而S-laaM-1心1+'也是收欲的，例8:在下列級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)是（）

TOC\o"1-5"\h\z舊1B）云頃丁心1?Z~r解:由于lim—-—I口2村+11

二一力

2心1?Z~r解:由于lim—-—I口2村+11

二一力

23）不正確。?1t11再由于和玉為歹級數(shù)。前者是發(fā)散的而后者是收斂的，s-LJ四s-1從而?中級數(shù)發(fā)散，而（口）中級數(shù)絕對收斂，可知⑥利（卻均不正確~由于血4=0且土P-F^，根據(jù)萊布尼茲審斂法知，0）中交錯"T9血血J^+l級數(shù)是收斂的，從而可知（:礦中級數(shù)是條件收斂的，故應(yīng)選3卜注意:在判別任意項級數(shù)眼是否收斂、以及是絕對收斂還是條件收M-1斂時，一般可譚循以下步舞：第一步，根據(jù)級數(shù)收斂必要性粗略觀察是否有虬若有，則得出級數(shù)發(fā)散結(jié)論，否則進(jìn)行下一步。第二步，通項加上絕對值,考察正項級數(shù)立虬I的斂散性,若其收斂,則M-L原級數(shù)絕對收斂；否則，對于交錯級數(shù)，應(yīng)進(jìn)行下一紜"這里需指出，在考察|的斂散性時，如果用的是比值審斂法或根值市斂法，當(dāng)j〉1時可以直接M-1斷定原級數(shù)交峰發(fā)散。）W-1第三步，用萊布尼茲審斂法來判別交錯級數(shù)五打是否收斂。H-1例9：判斷交錯級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂.B-1招

TOC\o"1-5"\h\z解：交錯級數(shù)=3n":'=3n（1+=）招占limw=hmh（1+-X-）=0（事實上考察=]n（l+^或'HDHTCO對又因為％是單調(diào)下降的吼f10/■（?）=—■（-—）<o?m/（?）*單調(diào)下降的）i+￡狀因此元-1^111片二收敲H-1建（事實上考察=]n（l+^或'1血（1十"）進(jìn)一生由于級數(shù)旗：收斂，而M“所以旗（-1舟血牛寸+1二￡=…1、）―=Imi1NTs與旗4同收覲1、？J1十4尚0=1即工（-1廣梧丈二絕對收艦

n例10:求幕級數(shù)f—的收斂半徑及收斂區(qū)間中[TOC\o"1-5"\h\z鈕?,■i%hi<（?+l）2B+11WJ=hmI-^1=Inn-——=-x*由用*12/?=-=2I因此，嘉級數(shù)的收斂半徑為L當(dāng)兀二”時，級數(shù)變成交上半二交世是一個收斂的交錯級數(shù),（DQK（D1當(dāng)x=2時.級數(shù)變成2^=2-是調(diào)和級數(shù)'發(fā)散，所以幕級數(shù)的收斂區(qū)間為[-2,2）例11：矗級數(shù)交史理的收斂區(qū)間是（：）a咨_&(R)[2』0)24]?(2』⑵[2』解:作變換"上-3,把己知級數(shù)化為f的幕轂數(shù)，由于z招—招所以關(guān)于芝的帛級數(shù)的收斂半徑成=；=】，01當(dāng)芝=—1時,級數(shù)成為J；(-頂二項°當(dāng)亡二1時級數(shù)成為f,兩者的咎項取絕對值后均為乏m-2?-?卜宜一建心1將其與收散級數(shù)C^=2的尹級數(shù))比較，由于K-1忌1lim祎;寫=虹——=1,Nfg1xtod22—或根據(jù)極限形式的比較審斂法，可知級數(shù)收斂，從而當(dāng)2尹co兩￡=±1時級數(shù)收斂，級藪尤上＞的收斂區(qū)間是[-1J]og罰f*-2理_筮由于即—1&一打1得到原級數(shù)立區(qū)W，的收斂區(qū)間[2,4],因此應(yīng)選㈤注意;為了講清泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間的求法，這里特意用直接方法加以解答。作為選擇題，本例可以太大簡化解題的遷程:考虛到選擇支都是端點分別為旗4的區(qū)間，因此只需判別在端點相應(yīng)的數(shù)項級數(shù)是否收斂即可，用x=2代入級數(shù)變成V二萬收斂，再用工=A代入，同樣也收斂，于是選擇(M),例12:利用己知皋級數(shù)展開式，將了二cos由展為工的晶級教.TOC\o"1-5"\h\z1解:在公式cosX=yt-ir(F,十s)中將匯換成2八有W-0〔2初0f2x'嚴(yán)心cos2x=e(M)le⑵)1g4B所以了⑴二*由二?一頂(-嘰十cm)m-oS)!例13：將函數(shù)/(x>—展開成匯的嘉級數(shù)，并求收斂區(qū)間'+X1皿由于-^=Z^H(T，l)1-?-o因此?？傻貌?二^亡勇:/(-i<^<n即加號亡(-1)耳TOC\o"1-5"\h\z』M-0己gk"*l因此JO)二E(-頂(-2<x<2)x-02例14：利用麥克芳林公式，求函5牛C技工矗展開式，的前三項.解:麥克勞林公式f(x)=±^^xM-0引m二石7|"口二11I1--1-02頊1+司心21■—1/'■(0)=--(1+a)，=--i-O『(對涓了(0)十f(0)工+竽工第六章無窮級數(shù)單元測試1-0一、選擇題1、若已知級數(shù)K-工他收斂,S是它的前n1、若已知級數(shù)K-工他收斂,S是它的前n項部分和，則它的和是（）nM-12、級數(shù)T皓收斂的充分必要條件是（二I）H-1^■：lim=0L+yl—=f.￡1XT■菱""NT。，仗%臨％存在氐=明+的+-f)°、＜4-Nr1!?yi3、lim5B二。是級數(shù)亡％收斂的（二）M-1入、充分條件B、必要條件C、充要條件D、無關(guān)條件4、級數(shù)￡偉的和S二（些）m-o\5、若正項級數(shù)元犯發(fā)散，則一定有（工J）M-1A、對寸X加括號后所成吸數(shù)收斂玖對？3、lim5B二。是級數(shù)亡％收斂的（二）M-1K—11K時乒外加括號后所威級數(shù)的收斂性不定d.對臨％主o1n應(yīng)TroK-16、若級數(shù)VA_發(fā)散，則（）%"

A.p￡0B.>07、下列級數(shù)中收斂的是（）A、爪￡廠］

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K-l8、下列級數(shù)中收斂的是（）1234.2；341+—十—十—十3??一57十十十十■A、爪￡廠］

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K-l8、下列級數(shù)中收斂的是（）1234.2；341+—十—十—十3??一57十十十十■■■111213-14D、1+一一-|—79、在下列級數(shù)中發(fā)散的是（）1111—十—十―4-—十2481632Z甲妙甲乎C、.0.01+70.001+70.001+--D、—-—+—5寧寧545510、在下列級數(shù)中發(fā)散的是（）TOC\o"1-5"\h\z|網(wǎng)kgi心Wi1*￡迪胃Bs2（-1）^1Cs手VD.￡忐K-l小S-l摩S-l耳"1汽12、級數(shù)滿足何條件時，該級數(shù)必收斂（工J）K-1以HTOC\o"1-5"\h\z1B_L__L#Ap監(jiān)一=(1B、七發(fā)散Cr麗頊”=ED、虬單慎增噫且血1、=即用fgNji~i"'="'MTg"■—一盤再?2-113、若級數(shù)計皿3收斂，則必有下列何式成立（工）M-11BA、工土必發(fā)散B.￡虹|&收散以.?-1巳ix媽+：）收斂4fc-D^H必收斂H-12K-114、在下面級數(shù)中，絕對收斂的級數(shù)是（）a<Z（-VGH壓￡拱虧或S（-i）—以A-】廣'孔H-lN卜14如+1K-1嚀M-1山'15、在下面級數(shù)中，絕對收斂的級數(shù)是（工）b-.二立（-1舟上*-1巳S-L山'16、冪級數(shù)立（盜-礦的收斂區(qū)間是（）M-1A、B、（％4）：巳2,4）琦17、冪級數(shù)V（a-2）h的收斂區(qū)間是（瞽案1）JS-1J-1J)BML3).衛(wèi)HD"(13]TOC\o"1-5"\h\z18、去—1廣心一頂?shù)氖諗繀^(qū)間是（）H-15招做皿）由［0^

19、冪級數(shù)§四旦小的收斂區(qū)間是（二J）[-1,1]壓（-1,1）成[-1,1）D.（-1,1]20、冪級數(shù)V（-1）?—的和函數(shù)是（二）m-c引A.eKarctanxC.ln（1+x）D./21、V—（-co<x<E）的和函數(shù)是（）M-l知bBler-lG十1A^―1-y22、冪級數(shù)亍（T）W的和函數(shù)是（心）%?、/B、/*葦己,親焚JLXsina'23、冪級數(shù):乓^m-o2a|<2的和函數(shù)是（地）&—L日、—1+2匯1-2xC、24、函數(shù)23、冪級數(shù):乓^m-o2a|<2的和函數(shù)是（地）&—L日、—1+2匯1-2xC、24、函數(shù)g（x】二—-—在3-xx=1處展成的泰勒級數(shù)是（）n-Ci七K-Ij土C；Dr￡必Ji"幻，M-0已K-0已二、計算題（一）求冪級數(shù)