考研數(shù)學基礎(chǔ)課件第12章微分方程解法及應(yīng)用

微分方程解法及應(yīng)用

二、一階微分方程求解三、線性微分方程解的性質(zhì)四、二階微分方程求解一、微分方程的概念六、微分方程的應(yīng)用問題五、微分方程求解的逆問題第十二章1微分方程解法及應(yīng)用二、一階微分方程求解三、線性微分方程解的1.微分方程：含未知函數(shù)及其導數(shù)的等式叫做微分方程

.2.微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解3.微分方程的解

—通解中的任意常數(shù)被確定后的解.—確定通解中任意常數(shù)的條件.4.定解條件

n階方程的初始條件(或初值條件):一、微分方程的概念21.微分方程：含未知函數(shù)及其導數(shù)的等式叫做微分方程.2.微(n

階顯式微分方程)分類1或一階方程：二階方程：n階方程：分類2線性方程：非線性方程：分類3單個微分方程：微分方程組：（本章內(nèi)容）3(n階顯式微分方程)分類1或一階方程：二階方程：n階方程6.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.5.解的幾何意義特解:

微分方程的一條積分曲線.通解:

積分曲線族.過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.46.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.5.解的幾1.一階微分方程的一般形式：二、一階微分方程求解

2.一階標準類型方程求解

五個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,貝努利方程，全微分方程3.一階非標準類型方程求解---變量代換法

代換自變量,代換因變量,代換某組合式化為可求解的.關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握相應(yīng)的求解步驟.51.一階微分方程的一般形式：二、一階微分方程求解2.一階★一階標準類型方程的形式及求解方法

(1)可分離變量方程標準形式：解法：分離變量法1)分離變量;2)兩端積分-------隱式通解.步驟:(2)齊次型方程標準形式：解法：步驟:變量代換法代入原方程得：即則即求此可分離變量方程的解，并回代6★一階標準類型方程的形式及求解方法(1)可分離變量方程標準(3)一階線性方程標準形式：解法：1)先解齊次方程,再用常數(shù)變易法2)通解公式法:(4)全微分方程標準形式：解法：求原函數(shù)法步驟:方法1:湊微分法;方法3:利用積分與路徑無關(guān)的條件.1)求原函數(shù)

u(x,y)2)由du=0知通解為

u(x,y)=C.方法2:偏積分法;7(3)一階線性方程標準形式：解法：1)先解齊次方程,再用解法：變形為令從而有代入原方程得這是關(guān)于的一階線性微分方程.求出通解后將代入即得的通解.標準形式：(5)貝努利方程8解法：變形為令從而有代入原方程得這是關(guān)于的一階線性微分方程.解法1:

化為線性方程.原方程變形為其通解為:即例1.

解方程9解法1:化為線性方程.原方程變形為其通解為:即例1.解法2:

化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解例1.

解方程10解法2:化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通例2.

解方程解法1:

這是一個齊次方程.解法2:

化為微分形式故這是一個全微分方程.11例2.解方程解法1:這是一個齊次方程.解法2:提示:令u=xy,得將方程改寫為(貝努利方程)(分離變量方程)原方程化為提示:例3.

求下列方程的通解:12提示:令u=xy,得將方程改寫為(貝努利方程)1.n階線性微分方程的一般形式：----二階線性微分方程.說明：叫自由項.①均為已知函數(shù).②齊次方程.非齊次方程.131.n階線性微分方程的一般形式：----二階線性微分方程.說2.線性微分方程解的性質(zhì)：(1)如果函數(shù)及是方程(1)的兩個解，那么對于任意常數(shù)仍然是(1)的解.的特解，那么就是方程(1)的通解.如果與是方程(1)的兩個線性無關(guān)(2)(3)142.線性微分方程解的性質(zhì)：(1)如果函數(shù)及是方程(1)的兩個(4)設(shè)是二階非齊次線性方程的一個特解，是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)通解，那么是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.設(shè)非齊次方程(2)的右端是幾個函數(shù)之和，若而與分別是方程的特解，那么就是原方程的特解.(5)15(4)設(shè)是二階非齊次線性方程的一個特解，是與(2)對應(yīng)的齊次常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例4.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89年考研)16常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)17171.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解四、二階微分方程求解181.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解四、例5.

解初值問題解:

令代入方程得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得說明:解二階可降階微分方程初值問題時需注意(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負號.19例5.解初值問題解:令代入方程得利用初始條件,根據(jù)積分得(1)標準形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表達式特征根情況20(1)標準形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表達式特特征方程:

特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項一項:兩項:k項:2k項:注意：n次代數(shù)方程有n個根,且每一項含一個任意常數(shù).對應(yīng)著通解中的一項,而特征方程的每一個根都推廣:21特征方程:特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項一項:兩項:k根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解已經(jīng)會求了如何求？——待定系數(shù)法求特解的方法22根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解已經(jīng)則特解可設(shè)為則特解可設(shè)為23則特解可設(shè)為則特解可設(shè)為23為特征方程的k(=0,1,2…)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(=0,1…)重根,則設(shè)特解為上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.24為特征方程的k(=0,1,2…)重根,則設(shè)特解例6.25例6.25例7.

求下列微分方程的通解解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程為則得特征根為：則齊次通解為設(shè)原方程得特解為則代入原方程得則則所求通解26例7.求下列微分方程的通解解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程為則得特征根為：則齊次通解為設(shè)其特解為則代入該方程得則原方程得通解是:27解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程為則得特征根為：則齊次通解為設(shè)解：故對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故原方程通解為由初始條件得于是所求解為28解：故對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故原方程時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為(填空)

設(shè)例8.時可設(shè)特解為29時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為(填空)設(shè)例8.時可設(shè)特解為歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程,通過變量代換特點:各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的的方程(其中叫歐拉方程.為常數(shù))形如(1)定義:(2)解法：次數(shù)相同．可化為常系數(shù)微分方程.作變量變換將自變量換為得到一個常系數(shù)線性微分方程.練習(04數(shù)一)：30歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程,通過變量代換特點:各項未知函數(shù)導P353題2(1)

求以為通解的微分方程.提示:消去

C

得P353題2(2)

求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為五、微分方程求解的逆問題31P353題2(1)求以為通解的微分方程.提示:消去C例10.求一連續(xù)可導函數(shù)使其滿足下列方程:原方程可化為:令則有利用公式可求出解:兩邊同時對求導六、微分方程應(yīng)用問題-------求未知函數(shù)32例10.求一連續(xù)可導函數(shù)使其滿足下列方程:原方程可化為:解:tu0xx0求導得：再求導得：這是二階線性常系數(shù)非齊次方程33解:tu0xx0求導得：再求導得：這是二階線性常系數(shù)非齊次方這個方程是一階線性非齊次方程，34這個方程是一階線性非齊次方程，343535(11年數(shù)學三)otxyt36(11年數(shù)學三)otxyt36例14.

已知曲線積分無關(guān),其中解:因積分與路徑無關(guān),故有即因此有37例14.已知曲線積分無關(guān),其中解:因積分與路徑無關(guān),(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和.解:

(1)(02考研)例15.所以38(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)用變量代換化簡方程(05考研)解:例16.39用變量代換化簡方程(05考研)解:例16.39謝謝大家！滿足等式(I)驗證(II)若，求函數(shù)的表達式.設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且練習：(06考研)40謝謝大家！滿足等式(I)驗證(II)若，求函數(shù)的表達4141微分方程解法及應(yīng)用

二、一階微分方程求解三、線性微分方程解的性質(zhì)四、二階微分方程求解一、微分方程的概念六、微分方程的應(yīng)用問題五、微分方程求解的逆問題第十二章42微分方程解法及應(yīng)用二、一階微分方程求解三、線性微分方程解的1.微分方程：含未知函數(shù)及其導數(shù)的等式叫做微分方程

.2.微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解3.微分方程的解

—通解中的任意常數(shù)被確定后的解.—確定通解中任意常數(shù)的條件.4.定解條件

n階方程的初始條件(或初值條件):一、微分方程的概念431.微分方程：含未知函數(shù)及其導數(shù)的等式叫做微分方程.2.微(n

階顯式微分方程)分類1或一階方程：二階方程：n階方程：分類2線性方程：非線性方程：分類3單個微分方程：微分方程組：（本章內(nèi)容）44(n階顯式微分方程)分類1或一階方程：二階方程：n階方程6.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.5.解的幾何意義特解:

微分方程的一條積分曲線.通解:

積分曲線族.過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.456.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.5.解的幾1.一階微分方程的一般形式：二、一階微分方程求解

2.一階標準類型方程求解

五個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,貝努利方程，全微分方程3.一階非標準類型方程求解---變量代換法

代換自變量,代換因變量,代換某組合式化為可求解的.關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握相應(yīng)的求解步驟.461.一階微分方程的一般形式：二、一階微分方程求解2.一階★一階標準類型方程的形式及求解方法

(1)可分離變量方程標準形式：解法：分離變量法1)分離變量;2)兩端積分-------隱式通解.步驟:(2)齊次型方程標準形式：解法：步驟:變量代換法代入原方程得：即則即求此可分離變量方程的解，并回代47★一階標準類型方程的形式及求解方法(1)可分離變量方程標準(3)一階線性方程標準形式：解法：1)先解齊次方程,再用常數(shù)變易法2)通解公式法:(4)全微分方程標準形式：解法：求原函數(shù)法步驟:方法1:湊微分法;方法3:利用積分與路徑無關(guān)的條件.1)求原函數(shù)

u(x,y)2)由du=0知通解為

u(x,y)=C.方法2:偏積分法;48(3)一階線性方程標準形式：解法：1)先解齊次方程,再用解法：變形為令從而有代入原方程得這是關(guān)于的一階線性微分方程.求出通解后將代入即得的通解.標準形式：(5)貝努利方程49解法：變形為令從而有代入原方程得這是關(guān)于的一階線性微分方程.解法1:

化為線性方程.原方程變形為其通解為:即例1.

解方程50解法1:化為線性方程.原方程變形為其通解為:即例1.解法2:

化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解例1.

解方程51解法2:化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通例2.

解方程解法1:

這是一個齊次方程.解法2:

化為微分形式故這是一個全微分方程.52例2.解方程解法1:這是一個齊次方程.解法2:提示:令u=xy,得將方程改寫為(貝努利方程)(分離變量方程)原方程化為提示:例3.

求下列方程的通解:53提示:令u=xy,得將方程改寫為(貝努利方程)1.n階線性微分方程的一般形式：----二階線性微分方程.說明：叫自由項.①均為已知函數(shù).②齊次方程.非齊次方程.541.n階線性微分方程的一般形式：----二階線性微分方程.說2.線性微分方程解的性質(zhì)：(1)如果函數(shù)及是方程(1)的兩個解，那么對于任意常數(shù)仍然是(1)的解.的特解，那么就是方程(1)的通解.如果與是方程(1)的兩個線性無關(guān)(2)(3)552.線性微分方程解的性質(zhì)：(1)如果函數(shù)及是方程(1)的兩個(4)設(shè)是二階非齊次線性方程的一個特解，是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)通解，那么是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.設(shè)非齊次方程(2)的右端是幾個函數(shù)之和，若而與分別是方程的特解，那么就是原方程的特解.(5)56(4)設(shè)是二階非齊次線性方程的一個特解，是與(2)對應(yīng)的齊次常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例4.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89年考研)57常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)58171.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解四、二階微分方程求解591.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解四、例5.

解初值問題解:

令代入方程得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得說明:解二階可降階微分方程初值問題時需注意(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負號.60例5.解初值問題解:令代入方程得利用初始條件,根據(jù)積分得(1)標準形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表達式特征根情況61(1)標準形式：(2)解法及通解形式：特征方程通解的表達式特特征方程:

特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項一項:兩項:k項:2k項:注意：n次代數(shù)方程有n個根,且每一項含一個任意常數(shù).對應(yīng)著通解中的一項,而特征方程的每一個根都推廣:62特征方程:特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項一項:兩項:k根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解已經(jīng)會求了如何求？——待定系數(shù)法求特解的方法63根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解已經(jīng)則特解可設(shè)為則特解可設(shè)為64則特解可設(shè)為則特解可設(shè)為23為特征方程的k(=0,1,2…)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(=0,1…)重根,則設(shè)特解為上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.65為特征方程的k(=0,1,2…)重根,則設(shè)特解例6.66例6.25例7.

求下列微分方程的通解解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程為則得特征根為：則齊次通解為設(shè)原方程得特解為則代入原方程得則則所求通解67例7.求下列微分方程的通解解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程為則得特征根為：則齊次通解為設(shè)其特解為則代入該方程得則原方程得通解是:68解:它對應(yīng)得齊次方程為特征方程為則得特征根為：則齊次通解為設(shè)解：故對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故原方程通解為由初始條件得于是所求解為69解：故對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故原方程時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為(填空)

設(shè)例8.時可設(shè)特解為70時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為(填空)設(shè)例8.時可設(shè)特解為歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程,通過變量代換特點:各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的的方程(其中叫歐拉方程.為常數(shù))形如(1)定義:(2)解