高中數(shù)學(xué)高考 2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三5月月考卷 理科數(shù)學(xué)（A卷）-教師版

此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)理科數(shù)學(xué)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，，則集合（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，∴，故選C．2．已知，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得，即，，其虛部為，故選B．3．設(shè)是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，然后可得，即，當(dāng)，時(shí)，滿足，但不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A．4．已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的六次?？贾袛?shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差B．第5次模考甲的數(shù)學(xué)成績(jī)比乙高C．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則D．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則【答案】D【解析】甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為，，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則由折線圖得：在A中，甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差，故A正確；在B中，第5次模考甲的數(shù)學(xué)成績(jī)比乙高，故B正確；在C中，，故C正確；在D中，，故D錯(cuò)誤，故選D．5．已知，其中為常數(shù)，若，則（）A． B．32 C．64 D．【答案】A【解析】由多項(xiàng)式乘法知，第一個(gè)因式中乘以展開式中的項(xiàng)得一個(gè)項(xiàng)，第一個(gè)因式中的常數(shù)乘以展開式中的項(xiàng)得另一個(gè)項(xiàng)，兩項(xiàng)合并同類項(xiàng)得系數(shù)即為，所以，解得，再令，得，故選A．6．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，可排除B項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，可得，可排除C項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，可得，可排除D項(xiàng)，故選A．7．已知向量滿足，，與夾角的大小為，則（）A．0 B． C．2 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c夾角的大小為，所以，又，所以，兩邊平方整理可得，所以或．當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)與夾角的大小為，與已知矛盾，舍去；當(dāng)，，，此時(shí)與夾角的大小為，符合條件，綜上可得，故選A．8．已知函數(shù)，則的值為（）A．1 B．2 C．2020 D．2021【答案】C【解析】函數(shù)，設(shè)，則有，所以，所以當(dāng)時(shí)，，令，所以，故，故選C．9．已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的一條對(duì)稱軸，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足一條對(duì)稱軸為，，，，可設(shè)，，，，，，故選A．10．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，因?yàn)?，，所以，所以，故選B．11．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有六個(gè)零點(diǎn)，且分別記為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題目條件，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：設(shè)的六個(gè)零點(diǎn)，自左到右為，則，由對(duì)稱性知：，，，又，，則，故，易知，則，故選C．12．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意知，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理易得，是腰長(zhǎng)為1的等腰三角形，同理可得其外接圓半徑．在三棱錐中，分別過和的外心、作它們的垂線，二者交于點(diǎn)，則是三棱錐的外接球的球心．取的中點(diǎn)為，連接，，由平面平面可知，四邊形為矩形．在直角中，，，所以，所以，在直角中，，所以，故三棱錐的外接球的表面積，故選A．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．下列各組條件中使得有兩解的是___________．(填入所有符合的條件的序號(hào))①，，；②，，；③，，；④，，．【答案】③④【解析】對(duì)于①，由余弦定理，可得，即，方程無解，可得無解，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，由余弦定理，可得，即，解得，可得有一個(gè)解，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，由余弦定理，可得，即，解得或，可得有兩個(gè)解，故正確；對(duì)于④，由余弦定理，可得，即，解得或，可得有兩個(gè)解，故正確，故答案為③④．14．甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采取局勝制，已知每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，且各局比賽結(jié)果互不影響．若第一局乙勝，則本次比賽甲勝的概率為__________．【答案】【解析】設(shè)第一局乙獲勝為事件，本次比賽甲獲勝為事件，則，故答案為．15．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則________．【答案】63【解析】∵，，，，∴按照以上規(guī)律，可得，故答案為．16．已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】由題意，不等式可變形為，得對(duì)任意恒成立．設(shè)，則對(duì)任意恒成立，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍髮?shí)數(shù)的最小值，所以考慮的情況，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，兩邊取對(duì)數(shù)，得上，由于，所以．令，則，令，得，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為，故答案為．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）如圖，已知平面四邊形中，．（1）若，，求的面積；（2）若，，，求t的最大值．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）由正弦定理可得，∴，，∴．（2），中，由余弦定理得，，∴，∴，∴，時(shí)，t的最大值是2．18．（12分）在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形與互相垂直，，和平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影落在的平分線上．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，由題知，為的平分線，，，設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，由題知，點(diǎn)在上，連接，則平面，平面平面，平面平面，平面，，平面，，和平面所成的角為，即，，又，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）以，，方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，取平面的法向量為，設(shè)平面與平面所夾角為，則，平面與平面所夾角余弦值為．19．（12分）甲?乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場(chǎng)，則先贏4場(chǎng)者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無人先贏4場(chǎng)且比賽意外終止，則甲?乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．已知每場(chǎng)比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立．（1）設(shè)每場(chǎng)比賽甲贏的概率為，若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得獎(jiǎng)金的分布列；（2）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽，且在已進(jìn)行的3場(chǎng)比賽中甲贏2場(chǎng)?乙贏1場(chǎng)，請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說明理由．【答案】（1）分布列見解析；（2）乙不可能贏得全部獎(jiǎng)金，理由見解析．【解析】（1）因?yàn)檫M(jìn)行了5場(chǎng)比賽，所以甲?乙之間的輸贏情況有以下四種情況：甲贏4場(chǎng)，乙贏1場(chǎng)；甲贏3場(chǎng)，乙贏2場(chǎng)；甲贏2場(chǎng)，乙贏3場(chǎng)；甲贏1場(chǎng)，乙贏4場(chǎng)．5場(chǎng)比賽不同的輸贏情況有種，即28種．①若甲贏4場(chǎng)，乙贏1場(chǎng)；甲獲得全部獎(jiǎng)金8000元；②若甲贏3場(chǎng)，乙贏2場(chǎng)；當(dāng)比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率為，所以甲分得6000元獎(jiǎng)金；③若甲贏2場(chǎng)，乙贏3場(chǎng)；當(dāng)比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率為，所以甲分得2000元獎(jiǎng)金；④甲贏1場(chǎng)，乙贏4場(chǎng)，甲沒有獲得獎(jiǎng)金．設(shè)甲可能獲得的獎(jiǎng)金為x元，則甲獲得獎(jiǎng)金的所有可能取值為8000，6000，2000，0，；；；，∴甲獲得獎(jiǎng)金數(shù)的分布列：8000600020000（2）設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行場(chǎng)乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一場(chǎng)必然乙贏，當(dāng)時(shí)，乙以贏，；當(dāng)時(shí)，乙以贏，；所以，乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率為，設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，于是．故事件“乙贏得全部獎(jiǎng)金”是小概率事件，所以認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙不可能贏得全部獎(jiǎng)金．20．（12分）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長(zhǎng)為．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）若在軌跡上，過點(diǎn)作軌跡的弦，，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，直線過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由題可知，當(dāng)不在軸上時(shí)，過作交于，則是的中點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)在軸上時(shí)，動(dòng)圓過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長(zhǎng)為，所以與原點(diǎn)重合，即點(diǎn)也滿足方程，綜上，動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．（2）因?yàn)樵谏?，所以，設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立，得，由，得，，．因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所以或，所以或，所以或．因?yàn)楹愠闪?，所以，所以直線的方程，所以直線過定點(diǎn)．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析．【解析】（1），，令，即，．①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，∴在為減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，得，．（i）當(dāng)時(shí)，，，∴，；，，∴在為增，為減．（ii）當(dāng)時(shí)，，，∴，；，，∴在和為減函數(shù)，為增函數(shù)．綜上所述，時(shí)，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和為減函數(shù)，為增函數(shù)．（2）由已知得需證，∵，，∴，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立．當(dāng)時(shí)，，所以只需證，即證，令，，令，，∴，；，，在為增函數(shù)，為減函數(shù)．所以，令，，則，；，，∴在為減函數(shù)，為增函數(shù)，，所以，但兩邊取等的條件不相等，即證得，即．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是過點(diǎn)且傾斜角為的直線，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的參數(shù)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線交于A，B兩點(diǎn)，求當(dāng)最大時(shí)，曲線的直角坐標(biāo)方程．【答案】（1）（為參數(shù)），；（2）．【解析】（1）由已知得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）