第五章-剛體的轉動-課件

一、剛體定軸轉動的角描述(運動學)

第五章剛體的轉動二、轉動動能轉動慣量三、力矩轉動定律（動力學）四、力矩的功、轉動中的動能定理五、角動量角動量守恒定律一、剛體定軸轉動的角描述(運動學)第五章剛體的轉動二1一、掌握描述剛體定軸轉動的三個物理量—角位移、角速度、角加速度以及角量與線量的關系；并能運用勻變速轉動方程進行具體計算。二、理解轉動慣量物理意義，并能進行具體計算。三、掌握剛體轉動定律并能具體運用。

教學基本要求：四、理解力矩，并能計算力矩及力矩的功。五、掌握角動量、角動量定理及其守恒定律，并能解決相應的問題。一、掌握描述剛體定軸轉動的三個物理量—角位移、角速度、2

從物體而言，我們考慮了它的形狀大小，而忽略其形狀大小的改變;從運動而言，我們突出了整個物體的平動、轉動，而忽略了質點間的振動或其他變形運動。一、剛體定軸轉動的角量描述剛體剛體模型:在無論多大的外力作用下,形狀和大小都保持不變的物體;即在運動過程中任意兩點之間的距離都保持不變的物體().若把物體分割成若干細微的部分，且把每一細微部分看成一個質點，則剛體可以看成是由無數(shù)質點構成的質點組，由剛體定義可知，剛體內任意兩質點間的距離是不變的，因此剛體是一個特殊的質點系。質點系的規(guī)律適用于剛體。因此剛體是比質點更接近實際物體的模型。一、剛體定軸轉動的角量描述剛體剛體模型:在無論多大3剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動

若連結剛體上任意兩質點的直線，在運動中恒不改變其空間取向，則這種運動稱為剛體的平動bca剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動4剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動在運動中，剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同；各點也具有相同的?？捎闷渖先魏我稽c的運動來代表整體的運動。剛體平動質點運動剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動在5ii）剛體的轉動剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種運動稱為轉動。轉軸不隨時間變化---定軸轉動轉軸隨時間變化--一般轉動描述剛體定軸轉動用角量最方便。ii）剛體的轉動剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種6iii）通常，剛體的一般運動可看作：隨質心的平動繞質心的轉動+的合成轉動平面:動平面ω0轉垂直于轉動軸所作的平面(如圖）剛體中任何質點都在各自的轉動平面內作圓周運動iii）通常，剛體的一般運動可看作：隨質心的平動繞質心的轉7剛體定軸轉動的描述角位置有一繞z軸轉動的物體，物體上任意點P將以A點為圓心做圓周運動。xyAzPAxy角是參考線AP在t時刻相對于x軸的角位置.，s是點P轉過的弧長，r是半徑(AP)。剛體定軸轉動的描述角位置有一繞z軸轉動的物體，物體上任8xyA角位移：在時間間隔內角位置的變化量為角位移：沿逆時針方向轉動沿順時針方向轉動<0θ0>θ轉動中一般規(guī)定：逆時針方向為轉動的正方向。沿逆時針方向轉動沿順時針方向轉動<00>ΔθΔθxyA角位移：在時間間隔內角位置的變化量為角位移：沿逆9角位移是矢量嗎？討論矢量相加應滿足交換規(guī)則：對于角位移滿足這一式子么?看一例子：書本的翻轉繞（1）Z/X及（2）X/Z軸轉動90度。說明此時(有限)的角位移不是矢量。但如果角位移無限小，轉動的次序不再影響最后的結果，即：因此可以定義成矢量?？勺C明得到。角位移是矢量嗎？討論矢量相加應滿足交換規(guī)則：對于角位移滿足這10角速度平均角速度：瞬時角速度：矢量的方向用右手螺旋法則確定的單位為每秒轉過的弧度()或每秒轉過的圈數(shù)()。

ZPAxy正方向是一個矢量角速度平均角速度：瞬時角速度：矢量的11角加速度定軸轉動時，角速度與角加速度都沿軸向。它們可以用標量表示。與平動中的直線運動相對應。ZPAxy角加速度定軸轉動時，角速度與角加速度都沿軸向。它們可以用標量12與方向相同角速度增量ω2＞ω1ω2ω1ω2<ω1ω2ω1假設向上為正方向，當剛體轉動加快，ω2＞ω1，β為正值，方向向上。則Δω＞0當剛體轉動減慢，ω2＜ω1,β為負值，方向向下則Δω＜0，與方向相同角速度增量ω2＞ω1ω2ω1ω2<ω1ω2ω113

定軸轉動與直線運動的公式比較定軸轉動直線運動v

a

x

恒定角加速度轉動質點勻變速直線運動定軸轉動與直線運動的公式比較定軸轉動直線運動va14

例：旋轉研磨機在時間t=0時由靜止開始以3.2rad/s2的恒定角加速度運動，在t=0參考線AB是水平的，求：2.7s后，(a)線AB的角位移；(b)旋轉研磨機的角速度。解：已知例：旋轉研磨機在時間t=0時由靜止開始以3.2rad/15角量與線量的關系Or=|AP|zPAxy一個剛體繞著固定軸轉動，有：

其中s、r、求解定軸轉動時，θ,ω,β與s,v,t之間的關系分別對應p點圓周運動的弧長、半徑、及轉動的角度角量與線量的關系Or=|AP|zPAxy一個剛體繞著固16v是線速度(切向)切向加速度法向加速度v是線速度(切向)切向加速度法向加速度17對定軸轉動，線量與角量的關系為：切向加速度法向加速度線速度弧長的方向用右手螺旋法則確定與同方向質點各作什么運動？等于零；為常數(shù)；隨時間變化；逆時針方向轉動<0θ0>θ，反之角量小結對定軸轉動，線量與角量的關系為：切向加速度法向加速度線速度18飛輪30s內轉過的角度：例：一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s停止轉動.試求：（1）角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數(shù)；（2）制動開始后t=6s時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s時，飛輪做勻減速轉動：設時，

t=0s

飛輪30s內轉過的角度：例：一飛輪半徑為0.2m、轉速為1519（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度轉過的圈數(shù)（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該20轉動動能二、轉動動能轉動慣量剛體在作定軸轉動，其上各質元的動能之和為Ek轉稱為剛體定軸轉動的轉動動能ri是質元到軸的垂直距離I稱為剛體的轉動慣量

所以，剛體轉動動能的實質是剛體中所有質點動能的另一種表示方式。轉動動能二、轉動動能轉動慣量剛體在作定軸轉動，其上各質元21轉動慣量

物理意義：轉動慣量I---反映剛體的轉動慣性；質量m---

反映質點的平動慣性。轉動慣量的大小代表剛體轉動狀態(tài)改變的難易程度；

I與總質量及剛體的質量分布有關，與轉動狀態(tài)無關

I與轉軸的位置有關，離軸越遠，轉動慣量越大（轉軸不一定在剛體上）。

I的單位:千克·米2(kg·m2)轉動慣量物理意義：轉動慣量I---反映剛體的轉動22質量連續(xù)分布I的計算方法：

質量離散分布質量連續(xù)分布I的計算方法：質量離散分布23

作業(yè)

3，4，5，6作業(yè)3，4，5，624

對1維剛體：：質量線密度

對2維剛體：：質量面密度

對3維剛體：：質量體密度：質量元質量連續(xù)分布剛體轉動慣量的計算：線分布體分布面分布對1維剛體：：質量線密度對2維剛體：：質量面密度對3維25O′O解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′為處的質量元，例1一質量為、長為的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.O′O如轉軸過端點垂直于棒O′O解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′為26解:I是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）,I表達式相同。ROdm例2求質量為m、半徑為R的均勻細圓環(huán)的轉動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。在圓環(huán)上任取質量元

dm解:I是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）,I表達式相同27例3求質量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤

的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：設ρ為質量體密度，取半徑為r、厚為l、寬為dr的同心細圓環(huán),其質量為：可見，I與厚度l無關。所以，薄圓盤與實心圓柱對該軸的轉動慣量表達式相同，都是：l薄圓筒：例3求質量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉動慣量28例4

求半徑為R、質量為m的球體繞其直徑為軸的轉動慣量I。ORrZm解：在球體上沿垂直于轉軸OZ取一半徑為r、厚為dz的小圓盤，其質量為：其繞OZ軸的轉動慣量為：薄圓盤：dzz例4求半徑為R、質量為m的球體繞其直徑為軸的轉動慣量29一些剛體的轉動慣量球殼一些剛體的轉動慣量球殼30對質量連續(xù)分布的剛體，一般只有在其形狀較規(guī)則時，才能較簡便地用積分計算出其轉動慣量，更一般的方法是用實驗來測量。對質量連續(xù)分布的剛體，一般只有在其形狀較規(guī)則時，才能較簡便地31竿子長些還是短些安全？

飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？轉動慣量的大小取決于剛體的總質量、分布及轉軸的位置

它比物體質量（單值）的概念復雜得多。竿子長些還是短些安全？飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？32平行軸定理P質量為的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為

，則對任一與該軸平行，相距為d的轉軸的轉動慣量CO例如：圓盤對P軸的轉動慣量O平行軸定理P質量為的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為33=0平行軸定理的推導(以質心為坐標原點)=0平行軸定理的推導(以質心為坐標原點)34例右圖所示剛體對經(jīng)過棒一端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？(棒長為L、圓盤半徑為R）解：轉動慣量的疊加性例右圖所示剛體對經(jīng)過棒一端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算35課堂練習BO如圖所示，不均勻細桿AB，長為L，質量線密度λ=λ0x2，A端掛在一光滑的固定水平軸上，它可以在豎直平面內自由擺動。求桿繞A軸的轉動慣量。xA課堂練習BO如圖所示，不均勻細桿AB，長為L，質量線密度λ361、力矩力矩是使物體轉動狀態(tài)發(fā)生改變的物理量P*O右圖表示一個任意的剛體，它可以繞z軸自由轉動。若力在x-y平面內，且作用于P點，P點離轉軸的垂直距離為r。和夾角為徑向分量對物體轉動不起作用;而切向分量引起繞z軸的轉動(i)力矩的定義三、力矩、轉動定律

使物體轉動起來，必須給物體一個作用力，但力的效果與力的作用點以及作用力的方向有關，故在研究物體轉動中引入力矩這一物理量.1、力矩力矩是使物體轉動狀態(tài)發(fā)生改變的物理量P*O右圖表示一37r一定時，F(xiàn)sinθ越大，所產(chǎn)生的角加速度β越大；Fsinθ一定時，r越大，所產(chǎn)生的角加速度β越大。實驗證明：

rsinθ=d，稱力臂，表示轉軸到力作用線的垂直距離。r一定時，F(xiàn)sinθ越大，所產(chǎn)生的角加速度β越大38定義力矩：P*O大?。悍较颍河捎沂致菪▌t確定

r=0，力作用于轉軸；或，即力沿徑向作用F=0，外力為零；M為零對應以下情形：

注意：影響剛體轉動狀態(tài)的力矩垂直于F與r所組成的平面（即轉動平面），沿轉軸方向,

單位：米·牛頓(m·N)定義力矩：P*O大?。悍较颍河捎沂致菪▌t確定r=039P*O力矩的軸向分量（i）若力不在轉動平面內把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量：此力矩對固定的z軸有破壞作用，但對剛體的轉動不起作用。Mz將改變剛體的轉動狀態(tài)P*O力矩的軸向分量（i）若力不在轉動平面內把力分解為平40O(ii)有幾個外力同時作用在剛體上，合力矩的量值等于這幾個力各自產(chǎn)生的力矩的和。所以剛體的總內力矩恒為零。(iii)剛體內作用力和反作用力的力矩：O(ii)有幾個外力同時作用在剛體上，合力矩的量值等于這幾個41（a）兩力大小相等、方向相反、作用在同一直線上（b）兩力大小相等、方向相反作用在不同直線上這一對力稱為力偶，其力矩不為零。（iV）兩種特殊力的情況：（V）剛體平衡條件：，且（a）兩力大小相等、方向相反、作用在同一直線上（b）兩力大小42轉動定律是關于轉動的動力學，即要推導出轉動的牛頓第二定律。

---加速度m---質量---力

---角加速度I---轉動慣量---

力矩轉動定律平動定律轉動的牛頓第二定律（轉動定律）轉動定律是關于轉動的動力學，即要推導出轉動的牛頓第二定律。 43轉動的牛頓第二定律（轉動定律）質量元在轉動平面內受外力，內力O對該質元,由牛頓第二定律得：無貢獻

(平行于軸的力，其力矩為零不考慮)轉動的牛頓第二定律（轉動定律）質量元在轉動平面內受外力44剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比.外力矩內力矩對所有剛體的質元求和：轉動慣量I---轉動的牛頓第二定律（轉動定律）總內力矩為零總外力矩剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動45轉動的牛頓第二定律

注意：,必須繞同一軸來計算。如果有許多外力作用在系統(tǒng)上，則需將所有外力繞同一個軸的力矩加起來（矢量和）。I,

與F=ma相比較，力矩是使剛體產(chǎn)生角加速度的原因，轉動慣量是描述剛體轉動中慣性大小的物理量.(與質點運動學中的m作用相對應）轉動的牛頓第二定律注意：,必須繞同一軸46例1一個飛輪的質量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉的轉速轉動。現(xiàn)在制動飛輪，要求在5.0秒內使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？制動力F多大？（假設飛輪的質量都集中在輪緣上）μ=0.50。F0解：飛輪勻減速時有角加速度Dd例1一個飛輪的質量為69kg，半徑為0.25m,正在以47外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。0NfrN是如何產(chǎn)生的？外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。0NfrN是如何產(chǎn)生48例2

m1m2Rm如圖，m1>m2，設滑輪是質量為m，半徑為R的均勻圓盤，求m2的上升加速度(設滑輪與繩子之間無相對滑動）。T1T2m1gm2g?例2m1m2Rm如圖，m1>m2，設滑輪是質量為m，49例1例例1例50第五章-剛體的轉動-課件51作業(yè)8（用兩種方法解，尺長1m），11，14，15，16補充題：證明：對于質量為m,長為a寬為b的矩形均質薄板，通過板的幾何中心且垂直于板面的轉軸的轉動慣量為作業(yè)8（用兩種方法解，尺52力的空間累積效應

力的功,動能,動能定理力矩的空間累積效應力矩的功,轉動動能,動能定理1、力矩的功四、力矩的功和轉動動能定理y一剛體可繞y軸任意轉動，在x-z平面上施加力F。zds

因為剛體中每一質點的轉動狀態(tài)都是完全相同的，所以可以通過研究任意點的運行來描述剛體繞固定軸的轉動.力的空間累積效應力的功,動能,動能定理力矩的空間53

剛體在外力作用下,繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，我們說力矩對剛體作了功。(對比力作功。)

注：公式中M是指作用在剛體上的合外力矩，公式為合外力矩對剛體所作的功，合內力矩對剛體所作的功為零。對整個剛體做功對剛體中質量元做功力矩對轉動物體作的功等于相應力矩和角位移的乘積。做功正、負的含義？剛體在外力作用下,繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，我們說力54力矩的功率：單位時間內力矩所作的功稱力矩的功率(瞬時)力矩功率為

當M為恒量時力矩的功率：單位時間內力矩所作的功稱力矩的功率(瞬時)力矩功55已經(jīng)知道：剛體定軸轉動的動能為：2、剛體定軸轉動的動能定理動能定理轉動定律：已經(jīng)知道：剛體定軸轉動的動能為：2、剛體定軸轉動的動能定理動56合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的增量。---定軸轉動的動能定理合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的57如果剛體既有平動，又有轉動，則其動能：此時，剛體運動的動能定理為：在剛體的運動過程中，若只有保守內力作功，則此系統(tǒng)的機械能守恒。

機械能守恒如果剛體既有平動，又有轉動，則其動能：此時，剛體運動的動能58圓盤:轉動，拉力的力矩作功為Rhm'mm、分別為圓盤終了和起始時的角坐標和角速度.例1一質量為

、半徑為R的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動.圓盤上繞有輕繩，一端掛質量為m的物體.問物體在靜止下落高度h時，其速度的大小為多少?設繩的質量忽略不計.解:兩個研究對象：圓盤+物體；分別應用動能定理。m圓盤:轉動，拉力的力矩作功為Rhm'mm59解得圓盤的轉動慣量m物體：平動，重力與拉力做功y又，解得圓盤的轉動慣量m物體：平動，重力與拉力做功y又60例2一均質細桿可繞一水平軸旋轉，開始時處于水平位置，然后讓它自由下落。）θLL22mg求：圖示位置桿的ω解一：=M=Lmgθ12sinò=qMd=WòdW0qqqdmgLcos21ò=ω=Lgθsin3ω=W012I2θLmgcos例2一均質細桿可繞一水平軸旋轉，開始時處于水平位置，61）θLL22mg解二：βI=M3=LmgLcos12m2θgθLcos=32ωβdt=ddωddtd=θθωdd=ωθ）θLL22mg解二：βI=M3=LmgLcos12m2θg62qbqdò=0ωdωwò0gLsin=ωθ3221ω=0ωdωωòò=qqq02cos3Ldgq0òqbdqbqdò=0ωdωwò0gLsin=ωθ3221ω=0ωd63）θLL22mg解三：用機械能守恒ω=Lgθsin3）θLL22mg解三：用機械能守恒ω=Lgθsin364例3一只剛性雕塑品由一個細環(huán)（質量為m；半徑為R=0.15m)和一個徑向細桿（質量為m；長L=2.0R)構成。該雕塑品可以繞在環(huán)的平面內通過其中心的一個水平軸自由轉動。（a)求雕塑品對轉軸的轉動慣量；（b)雕塑品由靜止，繞軸從最初的豎直位置開始運動，當它倒過來時，它對軸的角速度是多少？轉軸解:（a)例3一只剛性雕塑品由一個細環(huán)（質量為m；半徑為R=0.1565解:（b)以雕塑品和地球作為研究系統(tǒng)，無外力作用，即只有非保守內力做功，機械能守恒轉軸解:（b)以雕塑品和地球作為研究系統(tǒng)，無外力作用，即只有非保661質點的角動量及其性質質量為m

的質點以速度v在空間運動，某時刻相對原點

O的位矢為r，則質點相對于原點的動量矩或角動量：大?。篖＝rmvsin=Iω方向：右手螺旋定則判定mo

rpLθ注意：質點的角動量相對點定義；即使對定軸轉動的剛體角動量也相對點定義。質點角動量（動量矩）的定義五、角動量角動量守恒定律1質點的角動量及其性質質量為m的質點以速度v在空間運動67同一運動的質點對不同參考點的角動量一般是不同的。如圓錐擺的擺球對O、O′點的角動量分別為O點：OO′rR大小恒定，方向時刻在變化O′點：大小和方向都恒定不變同一運動的質點對不同參考點的角動量一般是不同的。如圓錐擺的擺68例：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標下的矢徑為：，求：該質點對原點的角動量。解：已知例：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標69質點的角量形式的牛頓第二定律質點的角量形式的牛頓第二定律70質點對參考點O的角動量隨時間的變化率等于作用于質點的合力對該點的力矩---質點的角量形式的牛頓第二定律。力矩和角動量必須相對同一固定點定義。注意質點對參考點O的角動量隨時間的變化率等于作用于質點的合力71兩邊積分2質點的角動量（動量矩）定理定義

為沖量矩單位：米·牛頓·秒(m·N·s)量綱：ML2T-1

沖量矩是描述剛體轉動狀態(tài)發(fā)生改變的物理量，它表示力矩在時間過程中的累積效應。（1）（1）式的含義：質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量。質點的角動量定理（或動量矩定理）（積分形式）兩邊積分2質點的角動量（動量矩）定理定義72質點系的角動量質點系的角動量一質點系的總角動量等于各單個質點角動量的矢量和角動量的時間變化率Ozero質點系的角動量質點系的角動量一質點系的總角動量等于各單個質73相對于固定點內力的力矩和為零內力總是成對出現(xiàn)，大小相等，方向相反O一對內力的力矩和為零，所以內力的總力矩為零。相對于固定點內力的力矩和為零內力總是成對出現(xiàn)，大小相等，方向74質點系角動量牛頓第二定律質點系角動量（動量矩）定理（積分形式）4質點系的角量形式牛頓第二定律內力矩總和質點系對給定參考點的總角動量對時間的變化率等于所有外力對該點力矩的矢量和

質點系對給定參考點的角動量的增量等于外力對該點的總沖量矩質點系角動量牛頓第二定律質點系角動量（動量矩）定理755剛體的角動量及其性質每個質量微元相對于Ｏ點的角動量為：整個剛體相對Ｏ點的角動量：zRimixyriO設剛體繞z軸作定軸轉動,如何求出其軸向角動量？角動量與角速度不一定同方向！通常最關心的是沿轉軸方向的角動量，此量可推得5剛體的角動量及其性質每個質量微元相對于Ｏ點的角動量為：整76zRimixyriO

可見，轉軸方向的角動量（動量矩）是剛體轉動慣量和角速度的乘積，寫成矢量單位：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)量綱：ML2T-1與動量相似，動量矩是描述剛體繞定。軸轉動狀態(tài)的一個物理量zLIzw=zRimixyriO可見，轉軸方向的角動量（動量矩77因剛體屬于質點系，質點系的角量形式的牛頓第二定律及角動量定理，對剛體同樣適用。角動量隨時間的變化率等于作用在剛體上對給定軸的合外力矩。它是轉動定律的另一表達方式.此式意義更加普遍，它不僅適用于轉動慣量I為恒量的過程，也適用于在物體轉動過程中，I發(fā)生變化的過程，而M=Iβ僅適用于轉動慣量不變的過程。動量矩定理:轉動物體所受合外力矩的沖量矩,等于在這段時間內轉動物體動量矩的增量因剛體屬于質點系，質點系的角量形式的牛頓第二定律78剛體轉動過程I不變，剛體從t1時刻到t2時刻的角速度由12當物體轉動過程I發(fā)生變化時，物體的角速度從t1時刻的ω1變?yōu)閠2時刻的ω2，轉動慣量由I1變?yōu)镴2,則非剛體的動量矩定理剛體轉動過程I不變，剛體從t1時刻到t2時刻的角速度由79例如圖所示,一質量為m的子彈以水平速度射入一靜止長棒的下端,棒的頂端固定,可在豎直平面內轉動，子彈穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質量為M.v0vmM以f

代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩：解:用角動量定理解l例如圖所示,一質量為m的子彈以水平速度射入一靜止長棒的下端80六、角動量守恒定律角動量守恒條件（i）質點角動量守恒條件（ii）質點系角動量守恒條件合力矩為零時，其角動量為一恒矢量。合外力矩為零時，系統(tǒng)總角動量為一恒矢量。六、角動量守恒定律角動量守恒條件（i）質點角動量守恒81（iii）定軸轉動剛體的角動量守恒條件剛體定軸轉動，一般對軸向角動量感興趣。若軸向外力矩總和為零，則軸向角動量守恒。注意：角動量守恒與動量守恒定律一樣雖然都是從牛頓力學推導出的，但它們的適用范圍遠遠超出經(jīng)典力學，它們屬于自然界普遍適用的基本規(guī)律。（iii）定軸轉動剛體的角動量守恒條件剛體定軸轉動，一般對軸821轉動慣量和角速度均保持不變，剛體繞定軸作勻角速轉動.2轉動慣量和角速度同時改變，但兩者乘積不變,當I變大時，角速度變?。划擨變小時，角速度變大。角動量守恒的兩種情況：1轉動慣量和角速度均保持不變，剛體繞定軸作勻角速轉動83雜技演員、花樣滑冰運動員等經(jīng)常利用改變姿勢來改變轉動慣量，從而變化旋轉角速度。

舞蹈演員身體旋轉時，開始旋轉兩臂伸開，然后迅速收回兩臂，這時旋轉的速度比開始更快，這是由于轉動慣量變小的緣故。雜技演員、花樣滑冰運動員等經(jīng)常利用改變姿勢來改變84跳水運動員：伸直，以初角速度起跳；卷縮，減小I，以增大角速度；伸直，入水時I增大了，減小入水速度。跳水運動員：85轉動的自行車輪初始角動量Li=L1末了角動量Lf=L2-L1角動量守恒Lf=Li因此 L2=2L1轉動的自行車輪初始角動量Li=L1角86例1俯視圖中有四根均勻細棒，每一根的質量為M,長度d=0.50m,牢固地安裝在一根豎直軸上形成一個旋轉柵欄，柵欄繞固定在地板上的軸以初角速率解：球-旋轉柵欄系統(tǒng)的角動量守恒順時針轉動。一質量m=M/3的泥球端。求球-旋轉柵欄系統(tǒng)的末角速率。沿圖示路徑以初速率投射并粘在棒例1俯視圖中有四根均勻細棒，每一根的質量為M,長度d=0.587d=0.50mm=M/3×⊙d=0.50mm=M/3×⊙88作業(yè)18（兩種方法解），20，21，25，29，35作業(yè)18（兩種方法解），20，21，289一、剛體定軸轉動的角描述(運動學)

第五章剛體的轉動二、轉動動能轉動慣量三、力矩轉動定律（動力學）四、力矩的功、轉動中的動能定理五、角動量角動量守恒定律一、剛體定軸轉動的角描述(運動學)第五章剛體的轉動二90一、掌握描述剛體定軸轉動的三個物理量—角位移、角速度、角加速度以及角量與線量的關系；并能運用勻變速轉動方程進行具體計算。二、理解轉動慣量物理意義，并能進行具體計算。三、掌握剛體轉動定律并能具體運用。

教學基本要求：四、理解力矩，并能計算力矩及力矩的功。五、掌握角動量、角動量定理及其守恒定律，并能解決相應的問題。一、掌握描述剛體定軸轉動的三個物理量—角位移、角速度、91

從物體而言，我們考慮了它的形狀大小，而忽略其形狀大小的改變;從運動而言，我們突出了整個物體的平動、轉動，而忽略了質點間的振動或其他變形運動。一、剛體定軸轉動的角量描述剛體剛體模型:在無論多大的外力作用下,形狀和大小都保持不變的物體;即在運動過程中任意兩點之間的距離都保持不變的物體().若把物體分割成若干細微的部分，且把每一細微部分看成一個質點，則剛體可以看成是由無數(shù)質點構成的質點組，由剛體定義可知，剛體內任意兩質點間的距離是不變的，因此剛體是一個特殊的質點系。質點系的規(guī)律適用于剛體。因此剛體是比質點更接近實際物體的模型。一、剛體定軸轉動的角量描述剛體剛體模型:在無論多大92剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動

若連結剛體上任意兩質點的直線，在運動中恒不改變其空間取向，則這種運動稱為剛體的平動bca剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動93剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動在運動中，剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同；各點也具有相同的?？捎闷渖先魏我稽c的運動來代表整體的運動。剛體平動質點運動剛體運動基本類型：i）剛體的平動平動、轉動、平動+轉動在94ii）剛體的轉動剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種運動稱為轉動。轉軸不隨時間變化---定軸轉動轉軸隨時間變化--一般轉動描述剛體定軸轉動用角量最方便。ii）剛體的轉動剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種95iii）通常，剛體的一般運動可看作：隨質心的平動繞質心的轉動+的合成轉動平面:動平面ω0轉垂直于轉動軸所作的平面(如圖）剛體中任何質點都在各自的轉動平面內作圓周運動iii）通常，剛體的一般運動可看作：隨質心的平動繞質心的轉96剛體定軸轉動的描述角位置有一繞z軸轉動的物體，物體上任意點P將以A點為圓心做圓周運動。xyAzPAxy角是參考線AP在t時刻相對于x軸的角位置.，s是點P轉過的弧長，r是半徑(AP)。剛體定軸轉動的描述角位置有一繞z軸轉動的物體，物體上任97xyA角位移：在時間間隔內角位置的變化量為角位移：沿逆時針方向轉動沿順時針方向轉動<0θ0>θ轉動中一般規(guī)定：逆時針方向為轉動的正方向。沿逆時針方向轉動沿順時針方向轉動<00>ΔθΔθxyA角位移：在時間間隔內角位置的變化量為角位移：沿逆98角位移是矢量嗎？討論矢量相加應滿足交換規(guī)則：對于角位移滿足這一式子么?看一例子：書本的翻轉繞（1）Z/X及（2）X/Z軸轉動90度。說明此時(有限)的角位移不是矢量。但如果角位移無限小，轉動的次序不再影響最后的結果，即：因此可以定義成矢量?？勺C明得到。角位移是矢量嗎？討論矢量相加應滿足交換規(guī)則：對于角位移滿足這99角速度平均角速度：瞬時角速度：矢量的方向用右手螺旋法則確定的單位為每秒轉過的弧度()或每秒轉過的圈數(shù)()。

ZPAxy正方向是一個矢量角速度平均角速度：瞬時角速度：矢量的100角加速度定軸轉動時，角速度與角加速度都沿軸向。它們可以用標量表示。與平動中的直線運動相對應。ZPAxy角加速度定軸轉動時，角速度與角加速度都沿軸向。它們可以用標量101與方向相同角速度增量ω2＞ω1ω2ω1ω2<ω1ω2ω1假設向上為正方向，當剛體轉動加快，ω2＞ω1，β為正值，方向向上。則Δω＞0當剛體轉動減慢，ω2＜ω1,β為負值，方向向下則Δω＜0，與方向相同角速度增量ω2＞ω1ω2ω1ω2<ω1ω2ω1102

定軸轉動與直線運動的公式比較定軸轉動直線運動v

a

x

恒定角加速度轉動質點勻變速直線運動定軸轉動與直線運動的公式比較定軸轉動直線運動va103

例：旋轉研磨機在時間t=0時由靜止開始以3.2rad/s2的恒定角加速度運動，在t=0參考線AB是水平的，求：2.7s后，(a)線AB的角位移；(b)旋轉研磨機的角速度。解：已知例：旋轉研磨機在時間t=0時由靜止開始以3.2rad/104角量與線量的關系Or=|AP|zPAxy一個剛體繞著固定軸轉動，有：

其中s、r、求解定軸轉動時，θ,ω,β與s,v,t之間的關系分別對應p點圓周運動的弧長、半徑、及轉動的角度角量與線量的關系Or=|AP|zPAxy一個剛體繞著固105v是線速度(切向)切向加速度法向加速度v是線速度(切向)切向加速度法向加速度106對定軸轉動，線量與角量的關系為：切向加速度法向加速度線速度弧長的方向用右手螺旋法則確定與同方向質點各作什么運動？等于零；為常數(shù)；隨時間變化；逆時針方向轉動<0θ0>θ，反之角量小結對定軸轉動，線量與角量的關系為：切向加速度法向加速度線速度107飛輪30s內轉過的角度：例：一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s停止轉動.試求：（1）角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數(shù)；（2）制動開始后t=6s時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s時，飛輪做勻減速轉動：設時，

t=0s

飛輪30s內轉過的角度：例：一飛輪半徑為0.2m、轉速為15108（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度轉過的圈數(shù)（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該109轉動動能二、轉動動能轉動慣量剛體在作定軸轉動，其上各質元的動能之和為Ek轉稱為剛體定軸轉動的轉動動能ri是質元到軸的垂直距離I稱為剛體的轉動慣量

所以，剛體轉動動能的實質是剛體中所有質點動能的另一種表示方式。轉動動能二、轉動動能轉動慣量剛體在作定軸轉動，其上各質元110轉動慣量

物理意義：轉動慣量I---反映剛體的轉動慣性；質量m---

反映質點的平動慣性。轉動慣量的大小代表剛體轉動狀態(tài)改變的難易程度；

I與總質量及剛體的質量分布有關，與轉動狀態(tài)無關

I與轉軸的位置有關，離軸越遠，轉動慣量越大（轉軸不一定在剛體上）。

I的單位:千克·米2(kg·m2)轉動慣量物理意義：轉動慣量I---反映剛體的轉動111質量連續(xù)分布I的計算方法：

質量離散分布質量連續(xù)分布I的計算方法：質量離散分布112

作業(yè)

3，4，5，6作業(yè)3，4，5，6113

對1維剛體：：質量線密度

對2維剛體：：質量面密度

對3維剛體：：質量體密度：質量元質量連續(xù)分布剛體轉動慣量的計算：線分布體分布面分布對1維剛體：：質量線密度對2維剛體：：質量面密度對3維114O′O解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′為處的質量元，例1一質量為、長為的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.O′O如轉軸過端點垂直于棒O′O解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′為115解:I是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）,I表達式相同。ROdm例2求質量為m、半徑為R的均勻細圓環(huán)的轉動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。在圓環(huán)上任取質量元

dm解:I是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）,I表達式相同116例3求質量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤

的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：設ρ為質量體密度，取半徑為r、厚為l、寬為dr的同心細圓環(huán),其質量為：可見，I與厚度l無關。所以，薄圓盤與實心圓柱對該軸的轉動慣量表達式相同，都是：l薄圓筒：例3求質量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉動慣量117例4

求半徑為R、質量為m的球體繞其直徑為軸的轉動慣量I。ORrZm解：在球體上沿垂直于轉軸OZ取一半徑為r、厚為dz的小圓盤，其質量為：其繞OZ軸的轉動慣量為：薄圓盤：dzz例4求半徑為R、質量為m的球體繞其直徑為軸的轉動慣量118一些剛體的轉動慣量球殼一些剛體的轉動慣量球殼119對質量連續(xù)分布的剛體，一般只有在其形狀較規(guī)則時，才能較簡便地用積分計算出其轉動慣量，更一般的方法是用實驗來測量。對質量連續(xù)分布的剛體，一般只有在其形狀較規(guī)則時，才能較簡便地120竿子長些還是短些安全？

飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？轉動慣量的大小取決于剛體的總質量、分布及轉軸的位置

它比物體質量（單值）的概念復雜得多。竿子長些還是短些安全？飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？121平行軸定理P質量為的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為

，則對任一與該軸平行，相距為d的轉軸的轉動慣量CO例如：圓盤對P軸的轉動慣量O平行軸定理P質量為的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為122=0平行軸定理的推導(以質心為坐標原點)=0平行軸定理的推導(以質心為坐標原點)123例右圖所示剛體對經(jīng)過棒一端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？(棒長為L、圓盤半徑為R）解：轉動慣量的疊加性例右圖所示剛體對經(jīng)過棒一端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算124課堂練習BO如圖所示，不均勻細桿AB，長為L，質量線密度λ=λ0x2，A端掛在一光滑的固定水平軸上，它可以在豎直平面內自由擺動。求桿繞A軸的轉動慣量。xA課堂練習BO如圖所示，不均勻細桿AB，長為L，質量線密度λ1251、力矩力矩是使物體轉動狀態(tài)發(fā)生改變的物理量P*O右圖表示一個任意的剛體，它可以繞z軸自由轉動。若力在x-y平面內，且作用于P點，P點離轉軸的垂直距離為r。和夾角為徑向分量對物體轉動不起作用;而切向分量引起繞z軸的轉動(i)力矩的定義三、力矩、轉動定律

使物體轉動起來，必須給物體一個作用力，但力的效果與力的作用點以及作用力的方向有關，故在研究物體轉動中引入力矩這一物理量.1、力矩力矩是使物體轉動狀態(tài)發(fā)生改變的物理量P*O右圖表示一126r一定時，F(xiàn)sinθ越大，所產(chǎn)生的角加速度β越大；Fsinθ一定時，r越大，所產(chǎn)生的角加速度β越大。實驗證明：

rsinθ=d，稱力臂，表示轉軸到力作用線的垂直距離。r一定時，F(xiàn)sinθ越大，所產(chǎn)生的角加速度β越大127定義力矩：P*O大?。悍较颍河捎沂致菪▌t確定

r=0，力作用于轉軸；或，即力沿徑向作用F=0，外力為零；M為零對應以下情形：

注意：影響剛體轉動狀態(tài)的力矩垂直于F與r所組成的平面（即轉動平面），沿轉軸方向,

單位：米·牛頓(m·N)定義力矩：P*O大小：方向：由右手螺旋定則確定r=0128P*O力矩的軸向分量（i）若力不在轉動平面內把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量：此力矩對固定的z軸有破壞作用，但對剛體的轉動不起作用。Mz將改變剛體的轉動狀態(tài)P*O力矩的軸向分量（i）若力不在轉動平面內把力分解為平129O(ii)有幾個外力同時作用在剛體上，合力矩的量值等于這幾個力各自產(chǎn)生的力矩的和。所以剛體的總內力矩恒為零。(iii)剛體內作用力和反作用力的力矩：O(ii)有幾個外力同時作用在剛體上，合力矩的量值等于這幾個130（a）兩力大小相等、方向相反、作用在同一直線上（b）兩力大小相等、方向相反作用在不同直線上這一對力稱為力偶，其力矩不為零。（iV）兩種特殊力的情況：（V）剛體平衡條件：，且（a）兩力大小相等、方向相反、作用在同一直線上（b）兩力大小131轉動定律是關于轉動的動力學，即要推導出轉動的牛頓第二定律。

---加速度m---質量---力

---角加速度I---轉動慣量---

力矩轉動定律平動定律轉動的牛頓第二定律（轉動定律）轉動定律是關于轉動的動力學，即要推導出轉動的牛頓第二定律。 132轉動的牛頓第二定律（轉動定律）質量元在轉動平面內受外力，內力O對該質元,由牛頓第二定律得：無貢獻

(平行于軸的力，其力矩為零不考慮)轉動的牛頓第二定律（轉動定律）質量元在轉動平面內受外力133剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比.外力矩內力矩對所有剛體的質元求和：轉動慣量I---轉動的牛頓第二定律（轉動定律）總內力矩為零總外力矩剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動134轉動的牛頓第二定律

注意：,必須繞同一軸來計算。如果有許多外力作用在系統(tǒng)上，則需將所有外力繞同一個軸的力矩加起來（矢量和）。I,

與F=ma相比較，力矩是使剛體產(chǎn)生角加速度的原因，轉動慣量是描述剛體轉動中慣性大小的物理量.(與質點運動學中的m作用相對應）轉動的牛頓第二定律注意：,必須繞同一軸135例1一個飛輪的質量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉的轉速轉動。現(xiàn)在制動飛輪，要求在5.0秒內使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？制動力F多大？（假設飛輪的質量都集中在輪緣上）μ=0.50。F0解：飛輪勻減速時有角加速度Dd例1一個飛輪的質量為69kg，半徑為0.25m,正在以136外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。0NfrN是如何產(chǎn)生的？外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。0NfrN是如何產(chǎn)生137例2

m1m2Rm如圖，m1>m2，設滑輪是質量為m，半徑為R的均勻圓盤，求m2的上升加速度(設滑輪與繩子之間無相對滑動）。T1T2m1gm2g?例2m1m2Rm如圖，m1>m2，設滑輪是質量為m，138例1例例1例139第五章-剛體的轉動-課件140作業(yè)8（用兩種方法解，尺長1m），11，14，15，16補充題：證明：對于質量為m,長為a寬為b的矩形均質薄板，通過板的幾何中心且垂直于板面的轉軸的轉動慣量為作業(yè)8（用兩種方法解，尺141力的空間累積效應

力的功,動能,動能定理力矩的空間累積效應力矩的功,轉動動能,動能定理1、力矩的功四、力矩的功和轉動動能定理y一剛體可繞y軸任意轉動，在x-z平面上施加力F。zds

因為剛體中每一質點的轉動狀態(tài)都是完全相同的，所以可以通過研究任意點的運行來描述剛體繞固定軸的轉動.力的空間累積效應力的功,動能,動能定理力矩的空間142

剛體在外力作用下,繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，我們說力矩對剛體作了功。(對比力作功。)

注：公式中M是指作用在剛體上的合外力矩，公式為合外力矩對剛體所作的功，合內力矩對剛體所作的功為零。對整個剛體做功對剛體中質量元做功力矩對轉動物體作的功等于相應力矩和角位移的乘積。做功正、負的含義？剛體在外力作用下,繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，我們說力143力矩的功率：單位時間內力矩所作的功稱力矩的功率(瞬時)力矩功率為

當M為恒量時力矩的功率：單位時間內力矩所作的功稱力矩的功率(瞬時)力矩功144已經(jīng)知道：剛體定軸轉動的動能為：2、剛體定軸轉動的動能定理動能定理轉動定律：已經(jīng)知道：剛體定軸轉動的動能為：2、剛體定軸轉動的動能定理動145合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的增量。---定軸轉動的動能定理合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的146如果剛體既有平動，又有轉動，則其動能：此時，剛體運動的動能定理為：在剛體的運動過程中，若只有保守內力作功，則此系統(tǒng)的機械能守恒。

機械能守恒如果剛體既有平動，又有轉動，則其動能：此時，剛體運動的動能147圓盤:轉動，拉力的力矩作功為Rhm'mm、分別為圓盤終了和起始時的角坐標和角速度.例1一質量為

、半徑為R的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動.圓盤上繞有輕繩，一端掛質量為m的物體.問物體在靜止下落高度h時，其速度的大小為多少?設繩的質量忽略不計.解:兩個研究對象：圓盤+物體；分別應用動能定理。m圓盤:轉動，拉力的力矩作功為Rhm'mm148解得圓盤的轉動慣量m物體：平動，重力與拉力做功y又，解得圓盤的轉動慣量m物體：平動，重力與拉力做功y又149例2一均質細桿可繞一水平軸旋轉，開始時處于水平位置，然后讓它自由下落。）θLL22mg求：圖示位置桿的ω解一：=M=Lmgθ12sinò=qMd=WòdW0qqqdmgLcos21ò=ω=Lgθsin3ω=W012I2θLmgcos例2一均質細桿可繞一水平軸旋轉，開始時處于水平位置，150）θLL22mg解二：βI=M3=LmgLcos12m2θgθLcos=32ωβdt=ddωddtd=θθωdd=ωθ）θLL22mg解二：βI=M3=LmgLcos12m2θg151qbqdò=0ωdωwò0gLsin=ωθ3221ω=0ωdωωòò=qqq02cos3Ldgq0òqbdqbqdò=0ωdωwò0gLsin=ωθ3221ω=0ωd152）θLL22mg解三：用機械能守恒ω=Lgθsin3）θLL22mg解三：用機械能守恒ω=Lgθsin3153例3一只剛性雕塑品由一個細環(huán)（質量為m；半徑為R=0.15m)和一個徑向細桿（質量為m；長L=2.0R)構成。該雕塑品可以繞在環(huán)的平面內通過其中心的一個水平軸自由轉動。（a)求雕塑品對轉軸的轉動慣量；（b)雕塑品由靜止，繞軸從最初的豎直位置開始運動，當它倒過來時，它對軸的角速度是多少？轉軸解:（a)例3一只剛性雕塑品由一個細環(huán)（質量為m；半徑為R=0.15154解:（b)以雕塑品和地球作為研究系統(tǒng)，無外力作用，即只有非保守內力做功，機械能守恒轉軸解:（b)以雕塑品和地球作為研究系統(tǒng)，無外力作用，即只有非保1551質點的角動量及其性質質量為m

的質點以速度v在空間運動，某時刻相對原點

O的位矢為r，則質點相對于原點的動量矩或角動量：大?。篖＝rmvsin=Iω方向：右手螺旋定則判定mo

rpLθ注意：質點的角動量相對點定義；即使對定軸轉動的剛體角動量也相對點定義。質點角動量（動量矩）的定義五、角動量角動量守恒定律1質點的角動量及其性質質量為m的質點以速度v在空間運動156同一運動的質點對不同參考點的角動量一般是不同的。如圓錐擺的擺球對O、O′點的角動量分別為O點：OO′rR大小恒定，方向時刻在變化O′點：大小和方向都恒定不變同一運動的質點對不同參考點的角動量一般是不同的。如圓錐擺的擺157例：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標下的矢徑為：，求：該質點對原點的角動量。解：已知例：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標158質點的角量形式的牛頓第二定律質點的角量形式的牛頓第二定律159質點對參考點O的角動量隨時間的變化率等于作用于質點的合力對該點的力矩---質點的角量形式的牛頓第二定律。力矩和角動量必須相對同一固定點定義。注意質點對參考點O的角動量隨時間的變化率等于作用于質點的合力160兩邊積分2質點的角動量（動量矩）定理定義

為沖量矩單位：米·牛頓·秒(m·N·s)量綱：ML2T-1

沖量矩是描述剛體轉動狀態(tài)發(fā)生改變的物理量，它表示力矩在時間過程中的累積效應。（1）（1）式的含義：質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量。質點的角動量定