《離散型隨機(jī)變量的均值與方差》同步練習(xí) 名師獲獎(jiǎng)

《離散型隨機(jī)變量的均值與方差》同步練習(xí)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2022·西安模擬)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為()． A.eq\r(\f(6,5)) \f(6,5)\r(2) D．2解析由題意，知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝eq\f(－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12,5)＝2.答案D2．簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為()．A．5 B．C． D．解析由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝.答案B3．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2) 則E(ξ)的最大值為()．A．1 \f(3,2)\f(2,3) D．2解析由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，則0≤p≤eq\f(1,2)，E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2).答案B4．(2022·廣州一模)已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10，，則E(η)，D(η)分別是()．A．6和 B．2和C．2和 D．6和解析由已知隨機(jī)變量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10××＝.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Pxy 已知ξ的期望E(ξ)＝，則y的值為_(kāi)_______．解析x＋＋＋y＝1，即x＋y＝.①又7x＋＋＋10y＝，化簡(jiǎn)得7x＋10y＝.②由①②聯(lián)立解得x＝，y＝.答案eq\a\vs4\al(6.,,,)(2022·溫州調(diào)研)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))答案eq\f(5,12)eq\f(1,4)三、解答題(共25分)7．(12分)某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場(chǎng)的事件是獨(dú)立的，并且勝場(chǎng)的概率是eq\f(1,3).(1)求這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率；(2)求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰好勝了3場(chǎng)的概率；(3)求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中勝場(chǎng)數(shù)的均值和方差．解(1)P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).所以這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已負(fù)兩場(chǎng)的概率為eq\f(4,27)；(2)∴P＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝20×eq\f(1,27)×eq\f(8,27)＝eq\f(160,729).所以這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰勝3場(chǎng)的概率為eq\f(160,729)；(3)由于ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).所以在6場(chǎng)比賽中這支籃球隊(duì)勝場(chǎng)的期望為2，方差為eq\f(4,3).8．(13分)(2022·汕頭一模)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．解(1)X的分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5) ∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝.D(X)＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×＋b，得b＝－2.當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即為所求．分層B級(jí)創(chuàng)新能力提升1．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()．\f(32,3) \f(28,3)\f(14,3) \f(16,3)解析由已知得，3a＋2b＋0×c即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時(shí)取“等號(hào)”，又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時(shí)，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3)，故選D.答案D2．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6) 則在下列式子中：①E(X)＝－eq\f(1,3)；②D(X)＝eq\f(23,27)；③P(X＝0)＝eq\f(1,3).正確的個(gè)數(shù)是()．A．0 B．1C．2 D．3解析E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正確．D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正確．由分布列知③正確．答案C3．隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝eq\f(1,3)，則D(ξ)的值是________．解析根據(jù)已知條件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,2b＝a＋c，,－a＋c＝\f(1,3)，))解得：a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)4．(2022·濱州一模)設(shè)l為平面上過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線(xiàn)，l的斜率等可能地取－2eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2)，用ξ表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.解析當(dāng)l的斜率k為±2eq\r(2)時(shí)，直線(xiàn)l的方程為±2eq\r(2)x－y＋1＝0，此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離d＝eq\f(1,3)；當(dāng)k為±eq\r(3)時(shí)，d＝eq\f(1,2)；當(dāng)k為±eq\f(\r(5),2)時(shí)，d＝eq\f(2,3)；當(dāng)k為0時(shí)，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：ξeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7) 所以E(ξ)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,7)＋1×eq\f(1,7)＝eq\f(4,7).答案eq\f(4,7)5．(2022·大連二模)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為eq\f(1,2)，a，a(0<a<1)，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為ξ.(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中，3－ξ個(gè)人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))(1－a)2＝eq\f(1,2)(1－a)2，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)(1－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))a(1－a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))(1－a)a＝eq\f(1,2)(1－a2)，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))a2＋eq\f(1,2)(1－a)a＋eq\f(1,2)a(1－a)＝eq\f(1,2)(2a－a2)，P(ξ＝3)＝eq\f(a2,2).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,2)(1－a)2eq\f(1,2)(1－a2)eq\f(1,2)(2a－a2)eq\f(a2,2) ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×eq\f(1,2)(1－a)2＋1×eq\f(1,2)(1－a)2＋2×eq\f(1,2)(2a－a2)＋3×eq\f(a2,2)＝eq\f(4a＋1,2).(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)[(1－a2)－(2a－a2)]＝eq\f(1－2a,2)，P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)[(1－a2)－a2]＝eq\f(1－2a2,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1－a≥0，,\f(1－2a,2)≥0，,\f(1－2a2,2)≥0))及0<a<1，得0<a≤eq\f(1,2)，即a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).6．(2022·福州模擬)隨機(jī)抽取某廠(chǎng)的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)