醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)-6復(fù)習(xí)過程

通常是指與隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)有關(guān)的，雖然不能完整地刻劃隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)，但卻能較為集中地反映隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)某些方面的重要特征的一些數(shù)值。3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)(shùxué)期望；3.2隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)的方差；本章內(nèi)容：數(shù)字特征第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一頁，共35頁。定義設(shè)離散(lísàn)型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=xk

}=pk，k=1,2,3…若級數(shù)(jíshù)，則稱級數(shù)(jíshù)和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記作E（X）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望完全是由它的概率分布確定的，而不應(yīng)受X的可能取值的排列次序的影響，因此要求否則，稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在．第二頁，共35頁。解易知

X－13P0.40.6

例1設(shè)隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)X的分布列為求

若將此例視為甲、乙兩隊(duì)“比賽(bǐsài)”，甲隊(duì)贏的概率為0.6，輸?shù)母怕蕿?.4，并且甲隊(duì)每贏一次得3分，每輸一次扣1分，則E(X)=1.4是指甲隊(duì)平均每次可得分．第三頁，共35頁。定義(dìngyì)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分說明：如果積分不收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。收斂，則稱積分值為X的數(shù)學(xué)期望（或均值）。記作E(X)，2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)(shùxué)期望第四頁，共35頁。試證X的數(shù)學(xué)(shùxué)期望不存在．證因?yàn)?yīnwèi)例2設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布(fēnbù),其密度函數(shù)為即不收斂，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在．

第五頁，共35頁。求X的數(shù)學(xué)(shùxué)期望（page56）.例3設(shè)隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)X的概率密度函數(shù)為解第六頁，共35頁。3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)(shùxué)期望如果級數(shù)

收斂，則有

定理(dìnglǐ)3設(shè)X是隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數(shù)，則有(1)若為離散型變量，其概率函數(shù)為

(2)如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),如果積分收斂則有第七頁，共35頁。求E(X2)及E(2X-1).

例3.5設(shè)隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)X的概率密度函數(shù)為第八頁，共35頁。證可將C看成離散型隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)，分布律為P{X=C}=1，故由定義即得E(C)=C.2.設(shè)C為常數(shù)(chángshù)，X為隨機(jī)變量，則有E(CX)=CE(X)．證設(shè)X的密度函數(shù)為，則有

3.設(shè)為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，都有

1.設(shè)C為常數(shù)(chángshù)，則有E(C)=C．4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有注：3、4可以推廣到有限個(gè)的情形第九頁，共35頁。解:二項(xiàng)分布的均值(jūnzhí)第十頁，共35頁。Poisson分布(fēnbù)解:解:均勻分布第十一頁，共35頁。指數(shù)分布解:第十二頁，共35頁。常見(chánɡjiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p的0-1分布pB(n,p)npP()第十三頁，共35頁。分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)第十四頁，共35頁。例為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血,可采用兩種方法驗(yàn)血：(1)分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n次；(2)將k個(gè)人的血混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果為陰性,則此k個(gè)人的血只需化驗(yàn)一次；若為陽性,則對k個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn)，找出有病者,這時(shí)k個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)某地區(qū)化驗(yàn)呈陽性的概率為p，且每個(gè)人是否為陽性是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù)第十五頁，共35頁。為簡單計(jì)，設(shè)n是k的倍數(shù)(bèishù)，設(shè)共分成n/k組第i組需化驗(yàn)(huàyàn)的次數(shù)為XiXi

P

1k+1解:第十六頁，共35頁。若則EX<n例如(lìrú)，第十七頁，共35頁。中位數(shù)、眾數(shù)(zhònɡshù)和分位點(diǎn)第十八頁，共35頁。定義(dìngyì)定義(dìngyì)第十九頁，共35頁。定義(dìngyì)第二十頁，共35頁。例例解:解:第二十一頁，共35頁。第二十二頁，共35頁。雙側(cè)分位數(shù)的概念(gàiniàn)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ),其概率密度函數(shù)為f(x)則對于(duìyú)滿足0<<1/2的,則稱

x/2為X

所服從的分布的雙側(cè)分位數(shù)

若第二十三頁，共35頁。標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)zu?常用(chánɡyònɡ)數(shù)字/2

-u/2=u1-/2/2

u/2?-u/2?第二十四頁，共35頁。四分(sìfēn)位數(shù)指例：page63例3.11第二十五頁，共35頁。若E[X-E(X)]2存在(cúnzài),則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.方差(fānɡchà)的定義定義(dìngyì)1

即V(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為V(X)或Var(X)兩者量綱相同D(X)——描述隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度——

數(shù)第二十六頁，共35頁。若X為離散型隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)，分布律為若X為連續(xù)型隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)，概率密度為f(x)計(jì)算方差(fānɡchà)的常用公式：第二十七頁，共35頁。(1)V(C)=0(2)V(aX)=a2V(X)（3）若X,Y相互(xiānghù)獨(dú)立，則方差(fānɡchà)的性質(zhì)若相互獨(dú)立，為常數(shù)則第二十八頁，共35頁。常見(chánɡjiàn)隨機(jī)變量的方差(P.70)分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()第二十九頁，共35頁。分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)第三十頁，共35頁。例1設(shè)X~P(),求V(X).解方差(fānɡchà)的計(jì)算第三十一頁，共35頁。例2設(shè)X~B(n,p)，求V(X).解引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故第三十二頁，共35頁。例3設(shè)X~N(,2),求V(X)解第三十三頁，共35頁。僅知r.v.的期望與方差(fānɡchà)