華科矩陣論、數(shù)值分析復(fù)習(xí)-2015

矩陣論復(fù)習(xí)一、線性空間（子空間）的基與維數(shù)的求法、直和的概念二、兩個(gè)基之間過渡矩陣的求法線性變換的特征值、特征向量的計(jì)算四、特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式、Cayley-Hamilton定理六、向量與矩陣的范數(shù)、條件數(shù)的概念與計(jì)算七、矩陣的三角分解五、會(huì)求可逆矩陣將方陣化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型三、線性變換的概念及其矩陣表示的簡單應(yīng)用12.B中的向量稱為第i個(gè)基向量.

定義

中給定順序的n個(gè)線性無關(guān)向量所成的向量組稱為的一個(gè)基(或基底),記為B=定理設(shè)B是的一個(gè)基,則Vn中任一向量都可由B唯一表示。,是的兩個(gè)基,則每個(gè)都可由線性表出:3將按順序排列,并使用矩陣記號,則得就是中第j個(gè)基向量在基其中n階方陣稱為由基到(或過渡矩陣).顯然,基變換矩陣P中的第j個(gè)列向量的變換矩陣下的坐標(biāo).簡記為4

解

故

例

已知的兩個(gè)基是求由到的變換矩陣P.5例

中的兩個(gè)子空間是求的基和維數(shù)。但由于且線性無關(guān)，所以的一個(gè)基為解維數(shù)公式（*）給出定理設(shè)是V的兩個(gè)子空間，則為了求的基，設(shè)，則由知，存在使，又由知，存在使因而，應(yīng)滿足方程。即用矩陣表示則為解得其中c為任意非零實(shí)數(shù)，從而因此，即是的一個(gè)基。7定義若中任一向量只能唯一地分解為中的一個(gè)向量與中的一個(gè)向量之和，則稱為的直和，記為（2）（3）定理的充分必要條件是下列條件的之一滿足：（1）

例設(shè)是R4的一個(gè)基，，

，證明：8在T下的像，定義

的變換T稱為線性的，如果對任意的中的任意向量恒有特別，當(dāng)T是到自身的一個(gè)線性變換，則稱T是的線性變換。記則稱的原像。數(shù)中分別取基則的像可由基唯一地線性表出：的線性變換，在設(shè)T是那么上式可簡寫為為了簡化記法和便于運(yùn)算，令

其中矩陣（1.2-1）（1.2-1）式叫做T的矩陣表示，稱A為T在基偶下的矩陣。9如果把按順序排列，并使用矩陣記號，則有10則稱是T的一個(gè)特征值，稱為T關(guān)于特征向量。的定義

的一個(gè)線性變換，如果存在使（1.2-5）T的特征值問題與A的特征值問題是一一對應(yīng)的。由于相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，所以我們可以把A的特征多項(xiàng)式

稱為T的特征多項(xiàng)式，于是T的特征值就是T的特征多項(xiàng)式的根。11為了求出T的特征值和特征向量，在中取一個(gè)基，且設(shè)T在B下的矩陣是A。那么可由B的線性表出：是T的一個(gè)特征向量，是相應(yīng)的特征值，即如果可推得解取的一個(gè)基則T在B下的矩陣是A的特征值是相應(yīng)的特征向量分別為因此，T的特征T關(guān)于的特征向量上述的可為任意非零實(shí)數(shù)。值是分別是多項(xiàng)式12

例

的線性變換T的定義為求T的特征值和特征向量。13這個(gè)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域有n個(gè)根

特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式對于復(fù)數(shù)域上n

階方陣A=[aij]，它的特征多項(xiàng)式是λ的

n次多項(xiàng)式14定理(Cayley-Hamilton)

設(shè)n

階方陣A的特征多項(xiàng)式為則f

(A)=O,即A的特征多項(xiàng)式是A的一個(gè)零化多項(xiàng)式.定義

設(shè)A是一個(gè)n階方陣,g(t)是一多項(xiàng)式,如果g(A)=O,則稱g(t)是A

的零化多項(xiàng)式.A的最小多項(xiàng)式，記為。定義

A的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱為且是唯一的。定理

A的最小多項(xiàng)式可整除A的任何零化多項(xiàng)式,小多項(xiàng)式的根。定理

是A的特征值的充分必要條件是是A的最證設(shè)是A的特征值，ｘ0是相應(yīng)的特征向量，則有故，即是的根。反之，若是的根，那么由于可整除A的特征多項(xiàng)式，故必是特征多項(xiàng)式的根，即是A的特征值。1516定理

l0是A的特征值的充分必要條件是l0是A的最小多項(xiàng)式的根。例求的最小多項(xiàng)式。解由于

所以A的最小多項(xiàng)式只能有下列三種可能：但而例如，

例設(shè)求可逆矩陣P使P－1AP為Jordan矩陣。解:

是A的三重特征值。齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A－2I的秩是1，因而基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，17征值的各級根向量.1級根向量可以解齊次線性方程組把相似簡化為Jordan矩陣的關(guān)鍵是,尋找關(guān)于其特注：且通解的表達(dá)式為對它的增廣矩陣施行行初等變換：18代入式得由此可見,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)這個(gè)非齊次方程組才有解。若取性方程組的一個(gè)解是，且有，即,上述非齊次線因此，取19(1)自備正規(guī)的2B鉛筆、橡皮擦和黑色中性筆/鋼筆(2)在學(xué)號信息框內(nèi)正確填涂學(xué)號，注意學(xué)號起始的類別。(3)在姓名，院系等信息的指示欄內(nèi)正確填寫考生的姓名，院系等信息(4)學(xué)號、判斷題填涂時(shí)，要注意使用2B鉛筆填涂，且填涂區(qū)域要豐滿、不要使用劃線、打鉤、打叉等錯(cuò)誤填涂方式，修改客觀題答題時(shí)，要注意使用橡皮擦先擦除干凈、后再填涂。《應(yīng)用高等工程數(shù)學(xué)》考試計(jì)算機(jī)閱卷考生須知（修訂版）(5)主觀題使用黑色中性筆/鋼筆，在標(biāo)注題號的正確答題區(qū)域答題，答題內(nèi)容不要超出答題區(qū)域框，且不要使用附加紙進(jìn)行答題。(6)不要使用涂改液、涂改紙、透明膠粘貼等方式修改主、客觀題的答題(7)填涂不規(guī)范，解答內(nèi)容不在題目相應(yīng)標(biāo)號的正確區(qū)域內(nèi)，都屬無效內(nèi)容，后果比較嚴(yán)重，請注意責(zé)任自負(fù)。(8)不要涂改答題卡標(biāo)識，禁止答題區(qū)域請勿作答考試時(shí)間：2015年12月11日晚上7點(diǎn)到9點(diǎn)半，答疑時(shí)間：12月10日上午9:00-11:30，下午2:30-5:0012月11日上午9:00-11:30，下午2:30-4:00答疑地點(diǎn)：科技南樓813數(shù)值分析復(fù)習(xí)一誤差分析1舍入誤差、截?cái)嗾`差、有效數(shù)字；2數(shù)值計(jì)算的一些原則；如：P10-例1.3、例1.6。3數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。21二.插值法1.插值的概念：（1）問題的引出；（2）唯一性：待定系數(shù)法； 反證法。2.構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）基函數(shù)法；（3）承襲性思想。223插值的分類：（1）不含導(dǎo)數(shù)插值條件（Lagrange型插值）；

Lagrange插值公式、Newton插值公式。（2）含導(dǎo)數(shù)插值條件（Hermite插值）；構(gòu)造法、 帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值法。（3）余項(xiàng)表達(dá)式、截?cái)嗾`差估計(jì)、總的誤差界。（4）

差商的定義、基本性質(zhì)。（5）例.23三、函數(shù)逼近

241最小二乘擬合問題：①給出數(shù)據(jù)能求出擬合曲線；教P69.例3.4，3.5，3.7四、數(shù)值積分

1、基本概念：(1)代數(shù)精度；(2)插值型求積公式；(3)復(fù)化求積公式；(4)Gauss型求積公式；(5)收斂階(復(fù)化)；(6)計(jì)算的穩(wěn)定性。252、構(gòu)造求積公式的方法：(1)待定系數(shù)(利用代精)；(2)插值型求積公式；(3)Newton-Cotes公式；

(節(jié)點(diǎn)等距)，幾種低階，及余項(xiàng)。教P91,例4.2P101例：P96例4.4263、提高求積公式精度的方法：(1)增加求積節(jié)點(diǎn)及采用Gauss型求積公式；(2)構(gòu)造復(fù)化求積公式；誤差的(3)線性外推公式、Romberg算法。例：P99.例4.5P101274、Gauss型求積公式：(1)Gauss點(diǎn)的概念及其有關(guān)定理；(2)利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造Gauss求積公式；(3)利用Gauss型求積公式構(gòu)造奇異積分的數(shù)值方法。例：P109例4.11例：P111例4.12系數(shù)特點(diǎn)穩(wěn)定、收斂例：P113例4.14５、例。28五、常微分方程數(shù)值解⒈將方程離散化的三種方法。⒉掌握Euler法和改進(jìn)的Euler法、隱式Euler法和梯形法的基本公式和構(gòu)造。⒊領(lǐng)會(huì)R-K方法的基本思想，會(huì)進(jìn)行二階R-K方法的推導(dǎo)。⒋會(huì)求差分格式的局部截?cái)嗾`差及方法的階。⒌能利用單步法收斂定理判斷方法的收斂性。⒍能給出一般單步法的絕對穩(wěn)定性區(qū)域（區(qū)間）。P139-14129⒎掌握線性多步法的構(gòu)造原理，能構(gòu)造線性多步格式。8.例．P147.例5.1030六、線性代數(shù)方程組的解法

直接法、⒈方法：①Gauss順序消去法；②列主元Gauss消去法；③直接三角分解法（不選主元）；④平方根法和改進(jìn)的平方根法；⑤追趕法。31⒉以上各方法的算法步驟。⒊誤差分析。⒋向量、矩陣的范數(shù)、條件數(shù)、譜半徑。⒌矩陣的三角分解定理。迭代法、⒈方法：①Jacobi迭代法；32②Gauss-Seidel迭代，

⒉上述三種方法的算法步驟。⒊收斂性定理：①充要條件；②充分條件；③系數(shù)矩陣A嚴(yán)格對角占優(yōu)，則Jacobi迭代、G-S迭代必收斂。331簡單迭代法： （1）迭代函數(shù) 的構(gòu)造和選擇；（2）整體與局部收斂定理；（3）加速收斂的方法。2收斂階的判斷方法：（1）根據(jù)定義判斷；（2）用 的高階導(dǎo)數(shù)判斷（局部收斂）。3Newton迭代及其各種改進(jìn)。4例。P215Th7.2P218Th7.4P212Th7.1P215定義7.2P215Th7.3七、方程求根343