控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)教學(xué)內(nèi)容

第三節(jié)控制系統(tǒng)(kònɡzhìxìtǒnɡ)的傳遞函數(shù)第一頁(yè)，共21頁(yè)。第三節(jié)控制系統(tǒng)(kònɡzhìxìtǒnɡ)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)三、典型(diǎnxíng)環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)第二頁(yè)，共21頁(yè)。引言(yǐnyán)控制系統(tǒng)的微分方程：是在時(shí)域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。但系統(tǒng)中某個(gè)(mǒuɡè)參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變，便需要重新列寫并求解微分方程。傳遞函數(shù)：對(duì)線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本也是最重要的概念第三頁(yè)，共21頁(yè)。一、傳遞函數(shù)的概念(gàiniàn)圖2-14所示的RC電路中電容的端電壓uc(t)。根據(jù)克?；舴蚨桑闪袑懭缦?rúxià)微分方程：

(2.60)

(2.61)消去中間變量i(t)，得到(dédào)輸入ur(t)與輸出uc(t)之間的線性定常微分方程:(2.62)

圖2-14RC電路第四頁(yè)，共21頁(yè)?，F(xiàn)在對(duì)上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換(biànhuàn)，并考慮電容上的初始電壓uc(0)，得:

(2.63)式中Uc(s)——輸出(shūchū)電uc(t)的拉氏變換；Ur(s)——輸入電壓ur(t)的拉氏變換。當(dāng)輸入(shūrù)為階躍電壓ur(t)=u0·1(t)時(shí)，對(duì)Uc(s)求拉氏反變換，即得uc(t)的變化規(guī)律:由上式求出Uc(s)的表達(dá)式:

(2.64)第五頁(yè)，共21頁(yè)。

(2.65)式中第一項(xiàng)稱為零狀態(tài)(zhuàngtài)響應(yīng)，由ur(t)決定的分量；第二項(xiàng)稱為零輸入響應(yīng)，由初始電壓uc(0)決定的分量。圖2-15表示各分量的變化曲線，電容(diànróng)電壓uc(t)即為兩者的合成。圖2-15RC網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)(xiǎngyìng)曲線第六頁(yè)，共21頁(yè)。在式(2.65)中，如果把初始電壓uc(0)也視為一個(gè)輸入(shūrù)作用，則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以分別研究在輸入(shūrù)電壓ur(t)和初始電壓uc(0)作用時(shí)，電路的輸出響應(yīng)。若uc(0)=0，則有:

(2.66)當(dāng)輸入電壓ur(t)一定時(shí)，電路(diànlù)輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc(s)完全由1/(RCs+1)所確定，式(2.66)亦可寫為:

(2.67)當(dāng)初始(chūshǐ)電壓為零時(shí)，電路輸出響應(yīng)的象函數(shù)與輸入電壓的象函數(shù)之比，是一個(gè)只與電路結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)的函數(shù)。第七頁(yè)，共21頁(yè)。用式(2.67)來(lái)表征電路本身(běnshēn)特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立(quèlì)了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系。圖2-16傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)可用圖2-16表示。該圖表明(biǎomíng)了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過(guò)G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc(s)=G(s)Ur(s)。對(duì)傳遞函數(shù)作如下定義：線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始

條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)。第八頁(yè)，共21頁(yè)。若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)描述：

(2.68)式中c(t)是系統(tǒng)(xìtǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)(xìtǒng)輸入量，a0，a1，…an，b0，b1，…，bm是與系統(tǒng)(xìtǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時(shí)，對(duì)式(2.68)進(jìn)行拉氏變換，可得到(dédào)s的代數(shù)方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)第九頁(yè)，共21頁(yè)。由傳遞函數(shù)的定義(dìngyì)，由式(2.68)描述的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子(fēnzǐ)多項(xiàng)式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式。(2.69)傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時(shí)定義的。控制系統(tǒng)(xìtǒng)的零初始條件有兩方面的含義，一系統(tǒng)(xìtǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零；二系統(tǒng)(xìtǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也為零。第十頁(yè)，共21頁(yè)。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)(xìngzhì)從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(2.69)可知，傳遞函數(shù)具有(jùyǒu)以下性質(zhì)：1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m低于或等于分母的階數(shù)n（m≤n），且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。2.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)(xìtǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無(wú)關(guān)。

(2.70)

(2.70)3.傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。將式(2.69)中分子多項(xiàng)式及分母多項(xiàng)式因式分解后，寫為如下形式：第十一頁(yè)，共21頁(yè)。式中k為常數(shù)，-z1,…,-zm為傳遞函數(shù)分子(fēnzǐ)多項(xiàng)式方程的m個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；-p1,…,-pn為分母多項(xiàng)式方程的n個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。一般zi,pi可為實(shí)數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，且若為復(fù)數(shù)，必共軛成對(duì)出現(xiàn)。將零、極點(diǎn)標(biāo)在復(fù)平面上，則得傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，如圖2-17所示。圖中零點(diǎn)用“”表示，極點(diǎn)用“*”表示。圖2-17

G(s)=零極點(diǎn)(jídiǎn)分布圖第十二頁(yè)，共21頁(yè)。4.若取式(2.69)中s=0，則：常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分方程式(2.68)看，s=0相當(dāng)于所有導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)項(xiàng)為零，方程蛻變?yōu)殪o態(tài)方程

或b0/a0恰為輸出(shūchū)輸入時(shí)靜態(tài)比值。5.傳遞函數(shù)無(wú)法全面反映信號(hào)傳遞通路中的中間(zhōngjiān)變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。第十三頁(yè)，共21頁(yè)。三、典型(diǎnxíng)環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動(dòng)態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來(lái)看可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型(diǎnxíng)環(huán)節(jié)。（一）比例環(huán)節(jié)比例(bǐlì)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K

(2.71)輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無(wú)慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。圖2-18比例環(huán)節(jié)

圖2-18(a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖2-18(b)所示。

第十四頁(yè)，共21頁(yè)。（二）慣性環(huán)節(jié)(huánjié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)(huánjié)為慣性環(huán)節(jié)(huánjié)：

(2.72)當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)(hánshù)時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖2-19(a)所示。式中K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)(xìshù)；T——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

圖2-19

慣性環(huán)節(jié)

第十五頁(yè)，共21頁(yè)。（三）積分(jīfēn)環(huán)節(jié)它的傳遞函數(shù)為:

(2.73)

當(dāng)積分(jīfēn)環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，則輸出為t/T，它隨著時(shí)間直線增長(zhǎng)。T稱為積分時(shí)間常數(shù)。T很大時(shí)慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個(gè)積分(jīfēn)環(huán)節(jié)。圖2-20(b)為積分(jīfēn)調(diào)節(jié)器。積分時(shí)間常數(shù)為RC。

圖2-20積分(jīfēn)環(huán)節(jié)第十六頁(yè)，共21頁(yè)。（四）微分(wēifēn)環(huán)節(jié)理想微分(wēifēn)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s)=Ts

(2.74)輸入是單位階躍函數(shù)1(t)時(shí)，理想(lǐxiǎng)微分環(huán)節(jié)的輸出為c(t)=Td(t)，是個(gè)脈沖函數(shù)。

在實(shí)際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為：

理想微分環(huán)節(jié)的實(shí)例示于圖2-21(a)、(b)。(a)為測(cè)速發(fā)電機(jī)。圖中(b)為微分運(yùn)算放大器。(2.75)第十七頁(yè)，共21頁(yè)。它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖2-21(c)、(d)所示。在低頻時(shí)近似(jìnsì)為理想微分環(huán)節(jié)，否則就有式(2.75)的傳遞函數(shù)。圖2-21微分(wēifēn)環(huán)節(jié)第十八頁(yè)，共21頁(yè)。（五）振蕩(zhèndàng)環(huán)節(jié)振蕩(zhèndàng)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

(2.76)式中wn---無(wú)阻尼(zǔní)自然振蕩頻率，wn=1/T；z——阻尼(zǔní)比，0＜z＜1。圖2-22所示為單位階躍函數(shù)作用(zuòyòng)下的響應(yīng)曲線。圖2-22

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

第十九頁(yè)，共21頁(yè)。（六）延滯環(huán)節(jié)(huánjié)延滯環(huán)節(jié)(huánjié)是線性環(huán)節(jié)(huánjié)，t稱為延滯時(shí)間（又稱死時(shí)）。具有延滯環(huán)節(jié)(huánjié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng)。如圖2-23所示，當(dāng)輸入為階躍