概率論 第五章

第5章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)的矩法估計(jì)、參數(shù)估計(jì)的無偏性和有效性；一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)；一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（強(qiáng)調(diào)先檢驗(yàn)方差后檢驗(yàn)期望，檢驗(yàn)期望時(shí)用方差未知）。

參數(shù)估計(jì)是利用從總體抽到樣本的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù)(或參數(shù)的函數(shù)).

在參數(shù)估計(jì)問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù).參數(shù)估計(jì)問題的一般提法

設(shè)總體X

的分布函數(shù)為F(x,θ1,…,θm),其中θ1,…,θm為未知參數(shù).

從該總體中抽取樣本X1,X2,…,Xn，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

，當(dāng)樣本取定后，用該統(tǒng)計(jì)值對參數(shù)θ1,…,θm作出估計(jì).點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)5.1點(diǎn)估計(jì)

對某參數(shù)估計(jì)時(shí),我們需要構(gòu)造出適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…Xn),將從總體中抽取的樣本值代入，算出統(tǒng)計(jì)值，用來作為該參數(shù)的估計(jì)值.

將一組樣本值代入估計(jì)量中，就得到該參數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值g(x1,x2,…xn).

故此稱g(X1,X2,…Xn)為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量.點(diǎn)估計(jì)的方法1.矩法估計(jì)

2.最大似然估計(jì)3.最小二乘法估計(jì)4.貝葉斯方法……5.1.1矩法估計(jì)

其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.

矩法估計(jì)是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計(jì)方法.它是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜最早提出的.k階總體原點(diǎn)矩為k階樣本原點(diǎn)矩為k階總體中心矩為k階樣本中心矩為例1設(shè)是取自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，X的分列為為求未知參數(shù)的矩估計(jì)量.

例2設(shè)總體X的密度函數(shù)為X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參數(shù)α的矩估計(jì).

5.1.3估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)

評價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次抽樣的結(jié)果，而必須由多次抽樣結(jié)果來衡量.

常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1．無偏性2．有效性3．相合性1．無偏性則稱為θ的無偏估計(jì)量

.定義設(shè)是未知參數(shù)θ的估計(jì)量若滿足無偏性的實(shí)際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差.2．有效性則稱較更有效

.都是參數(shù)θ的無偏估計(jì)量，若有定義

設(shè)

和其中最小方差的無偏估計(jì)量是參數(shù)θ較好的估計(jì)量.3.一致性(相合性)定義設(shè)統(tǒng)計(jì)量是未知參數(shù)θ的點(diǎn)估計(jì)量,樣本容量為n

,若對任意ε>0，有

則稱為θ的一致(相合)估計(jì)量.5.2區(qū)間估計(jì)

5.2.1區(qū)間估計(jì)的概念定義設(shè)θ為總體的未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn為取自總體的樣本，為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，且，若給定α(0<α<1),有則稱隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)θ的置信水平(置信度)為1-α的置信區(qū)間.稱為置信下限和上限.關(guān)于定義的說明

確定未知參數(shù)θ的置信區(qū)間的關(guān)鍵是確定置信上下限,一般采用以下步驟：確定一個(gè)含有未知參數(shù)θ及其點(diǎn)估計(jì)量

的

樞軸量；根據(jù)樞軸量的分布和置信水平1-α,確定分位數(shù)x1,x2,使得3.

對不等式作等價(jià)變形,得到設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有樣本均值的分布樣本方差的分布5.2.2一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(1)選擇樞軸量(2)取概率式(3)得到μ的置信區(qū)間設(shè)總體X~N(μ,σ2),

X1,X2,…,Xn

為X的樣本.1.σ2已知時(shí)μ以1-α為置信度的置信區(qū)間5.2.2一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)例2設(shè)總體X~N(μ,0.92),X1,X2,…,X9為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值為5，求μ的置信度0.95的置信區(qū)間.2.σ2未知時(shí)μ以1-α為置信度的置信區(qū)間

(1)選擇樞軸量(2)取概率式(3)得到μ的置信區(qū)間f(x)x例3某種零件的重量服從正態(tài)分布.現(xiàn)從中抽取容量為16的樣本,由測到的重量(單位:千克)計(jì)算得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，求總體均值的置信區(qū)間,置信水平為0.95.

(1)選擇樞軸量3.μ未知時(shí)σ2以1-α為置信度的置信區(qū)間xf(x)取分位數(shù)如圖所示，稱為“概率對稱”.(2)取概率式(3)得到σ2的置信區(qū)間xf(x)例4投資的回收利潤率常常用來衡量投資的風(fēng)險(xiǎn).隨機(jī)的調(diào)查了26個(gè)年回收利潤率,其樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15.

設(shè)回收利潤率為正態(tài)分布,求其方差的置信區(qū)間，置信度為0.95.5.3假設(shè)檢驗(yàn)小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會發(fā)生.

在對總體參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，首先要提出某種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，稱之為原假設(shè)，記作H0,通常將不易被否定的統(tǒng)計(jì)假設(shè)作為原假設(shè).H0的“對立假設(shè)”稱為備擇假設(shè)，記作H1.

如“H0:μ=μ0

或H1:μ≠μ0”4.假設(shè)檢驗(yàn)的概念

以“H0:μ=μ0

或H1:μ≠μ0”為例，確定“假設(shè)H0”后，選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中樣本均值

是總體均值μ

較好的估計(jì)量，用代替,故取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

.其中δ稱為臨界值,小正數(shù)α

稱為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平.

故構(gòu)造小概率事件，在原假設(shè)H0成立時(shí)有，當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，確定統(tǒng)計(jì)量的分布，此時(shí)應(yīng)為零，即

應(yīng)較小.

若小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)H0，故稱為原假設(shè)H0的拒絕域.

若小概率事件沒有發(fā)生，則接受原假設(shè),故稱為原假設(shè)

H0的接受域.

假設(shè)檢驗(yàn)中作出的結(jié)論是依據(jù)小概率原理(小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會發(fā)生)得出的,然而小概率事件不是一定不發(fā)生.所以當(dāng)小概率事件發(fā)生時(shí)，可能會造成判斷失誤.

如果H0確實(shí)成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入拒絕域，從而作出拒絕H0的結(jié)論，那就犯了“拒真”的錯(cuò)誤，稱為第一類錯(cuò)誤

.

如果H0確實(shí)不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入接受域，從而作出接受H0的結(jié)論，那就犯了“取偽”的錯(cuò)誤，稱為第二類錯(cuò)誤

.5、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤檢驗(yàn)結(jié)論實(shí)際情況H0為真H0不真拒絕H0第一類錯(cuò)誤正確接受H0正確

第二類錯(cuò)誤

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤P{拒絕H0|H0為真}=αP{接受H0|H0不真}=β

犯兩類錯(cuò)誤的概率:犯第一類錯(cuò)誤的概率α為檢驗(yàn)顯著性水平.一般說來，按照檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量,分為U檢驗(yàn)利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t檢驗(yàn)利用t分布檢驗(yàn)利用分布

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)：單側(cè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟

第一步提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；

第二步選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,并在原假設(shè)H0成立條件下,確定該統(tǒng)計(jì)量(借助樞軸量)的概率分布；

第三步構(gòu)造樞軸量。根據(jù)顯著性水平α和所選取統(tǒng)計(jì)量的概率分布,由臨界值得到拒絕域；

第四步將樣本值代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中,計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值,若該值落入拒絕域,則拒絕原假設(shè)H0,否則就接受原假設(shè)H0.單正態(tài)總體對期望的假設(shè)檢驗(yàn):單正態(tài)總體對方差的假設(shè)檢驗(yàn):(2)選擇統(tǒng)計(jì)量:設(shè)總體X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn

為X的樣本.1.方差σ2已知,期望μ的雙側(cè)檢驗(yàn)(1)提出假設(shè):

H0:μ=μ0

H1:μ≠μ05.3.1一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)(3)由檢驗(yàn)水平α,確定臨界值構(gòu)造小概率事件樞軸量接受域拒絕域拒絕域f(x)x(4)將樣本值代入U(xiǎn),若

,拒絕原假設(shè);若

,接受原假設(shè).得拒絕域例1.已知某零件重量X~N(15,0.05),技術(shù)革新后,抽查6個(gè)樣品測得重量為(單位克)14.7,15.1,14.8,15.0,15.2,14.6,已知方差不變,

問平均重量是否仍為15?(α=0.05)2.方差σ2未知,期望μ的雙側(cè)檢驗(yàn)：

(2)選擇統(tǒng)計(jì)量(1)

提出假設(shè)H0:μ=μ0，

H1:μ≠μ0,當(dāng)H0成立時(shí)，(3)由檢驗(yàn)水平α,確定臨界值得拒絕域構(gòu)造小概率事件(4)將樣本值代入T,若

,

則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè).例2.已知某零件重量X~N(15,σ2),技術(shù)革新后,抽查6個(gè)樣品測得重量為(單位克)14.7,15.1,14.8,15.0,15.2,14.6,問平均重量是否仍為15?(α=0.05)(1)提出假設(shè):(2)選擇統(tǒng)計(jì)量當(dāng)H0成立時(shí)，3.期望μ未知,方差σ2的雙側(cè)檢驗(yàn)：(3)由檢驗(yàn)水平α,構(gòu)造小概率事件接受域拒絕域拒絕域λ1λ2xf(x)得到拒絕域(4)將樣本值代入,若或拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè).例3

某煉鐵廠鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對操作工藝進(jìn)行了改變，從中抽取7爐鐵水的試樣測得問新工藝煉出的鐵水含碳量的方差是否為0.1122

?(α=0.05)4.期望μ未知，方差σ2的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)(1)提出假設(shè):(2)選擇統(tǒng)計(jì)量和樞軸量(3)得到拒絕域(4)將樣本觀測值代入,若拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè).

當(dāng)H0成立時(shí),由一般情況下，方差越小越好，故需要考慮單側(cè)檢驗(yàn).接受域xf(x)α拒絕域單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)例4某種導(dǎo)線要求電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005Ω,今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品9根,測得s=0.007Ω.設(shè)總體服從正態(tài)分布,在顯著性水平α=0.05條件下,能認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大嗎?(4)將樣本觀測值代入U(xiǎn),

若u>uα,拒絕原假設(shè);u≤uα,接受原假設(shè).5.方差σ2已知，期望μ的單側(cè)檢驗(yàn)(μ≤μ0

)

(1)提出假設(shè):

H0:μ≤μ0H1:μ>μ0(3)由給定α,確定臨界值uα,得到拒絕域{U>uα

}(2)選擇統(tǒng)計(jì)量:及樞軸量當(dāng)H0成立時(shí),U

≤

U?,即接受域拒絕域單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)f(x)x0例5

某織物強(qiáng)力指標(biāo)X的均值μ=21公斤.改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤.假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布且已知σ=1.2公斤，問在顯著性水平α=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力是否有提高?6.方差σ2

未知，期望μ的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)(1)提出假設(shè):(2)選擇統(tǒng)計(jì)量和樞軸量(3)得到