云南省昆明市祿勸彝族苗族自治縣崇德中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

云南省昆明市祿勸彝族苗族自治縣崇德中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，則a5·a6的最大值等于（

）A.3

B.6

C.9

D.36參考答案：C2.過橢圓C：+=1上任一點P，作橢圓C的右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），延長PH到點Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．當(dāng)點P在橢圓C上運動時，點Q的軌跡的離心率的取值范圍為（） A．（0，] B．（，] C．[，1） D．（，1）參考答案：C【考點】圓錐曲線的軌跡問題． 【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】先確定P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用橢圓方程，可得Q點軌跡方程，從而可求離心率的取值范圍． 【解答】解：設(shè)P（x1，y1），Q（x，y）， 因為右準(zhǔn)線方程為x=3， 所以H點的坐標(biāo)為（3，y）． 又∵|HQ|=λ|PH|（λ≥1）， 所以=， ∴由定比分點公式，可得x1=，y1=y， 代入橢圓方程，得Q點軌跡方程為+=1 ∴離心率e==∈[，1）． 故選：C． 【點評】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質(zhì)，是高考的壓軸題型，綜合能力強，運算量大，屬于難題． 3.在等差數(shù)列{an}中，已知a5=15，則a2+a4+a6+a8的值為（） A．30 B．45 C．60 D．120參考答案：C【考點】等差數(shù)列的前n項和． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可． 【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq， ∴a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=4×15=60． 故選：C． 【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計算，要求熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq． 4.過點A（，0）作橢圓的弦，弦中點的軌跡仍是橢圓，記為,若和的離心率分別為和，則和的關(guān)系是（

）。A

＝

B

＝2

C

2＝

D

不能確定

參考答案：正解：A。設(shè)弦AB中點P（，則B（

由+=1，+=1*=

誤解：容易產(chǎn)生錯解往往在*式中前一式分子不從括號里提取4，而導(dǎo)致錯誤。5.已知二次函數(shù)，則存在，使得對任意的（

）A． B． C． D．參考答案：C6.某同學(xué)利用圖形計算器研究教材中一例問題“設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為、，

直線AM、BM相交于M，且它們的斜率之積為．求點M的軌跡方程”時，將其

中的已知條件“斜率之積為”拓展為“斜率之積為常數(shù)”之后，進(jìn)行了如

下圖所示的作圖探究：

參考該同學(xué)的探究，下列結(jié)論錯誤的是

A．時，點M的軌跡為焦點在x軸的雙曲線（不含與x軸的交點）

B．時，點M的軌跡為焦點在x軸的橢圓（不含與x軸的交點）

C．時，點M的軌跡為焦點在y軸的橢圓（不含與x軸的交點）

D．時，點M的軌跡為橢圓（不含與x軸的交點）參考答案：D7.已知圓（x+2）2+（y﹣2）2=a截直線x+y+2=0所得弦的長度為6，則實數(shù)a的值為（）A．8 B．11 C．14 D．17參考答案：B【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出弦心距，再由條件根據(jù)弦長公式求得a的值．【解答】解：圓（x+2）2+（y﹣2）2=a，圓心（﹣2，2），半徑．故弦心距d==．再由弦長公式可得a=2+9，∴a=11；故選：B．8.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p= (A)1 (B) (C)2 (D)3參考答案：C略9.橢圓（m>0，n>0）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率e為，則此橢圓的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線上一點，且，則等于（

）.A.

B.

C.

D.

參考答案：A由題意，得，則，則；故選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下圖是一個物體的三視圖，根據(jù)圖中尺寸（單位：cm），計算它的體積為

cm3.參考答案：12.已知函數(shù)f（x）=x﹣4lnx，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．參考答案：3x+y﹣4=0【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題．【分析】在填空題或選擇題中，導(dǎo)數(shù)題考查的知識點一般是切線問題．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣4lnx，所以函數(shù)f′（x）=1﹣，切線的斜率為：﹣3，切點為：（1，1）所以切線方程為：3x+y﹣4=0故答案為：3x+y﹣4=0【點評】考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點的切線方程，考查計算能力，注意正確求導(dǎo)．13.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5﹣S4=3，則S9=．參考答案：27【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】由數(shù)列性質(zhì)得a5=S5﹣S4=3，由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式得S9==9a5，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，∵S5﹣S4=3，∴a5=S5﹣S4=3，∴S9==9a5=27．故答案為：27．14.如果一個正四面體與正方體的體積比是，則其表面積（各面面積之和）之比

．參考答案：設(shè)正四面體的棱長為a，正方體的邊長為x，則正四面體的體積為，正方體的體積為，所以，解得，所以正四面體與正方體的表面積的比為：．

15.已知，，，，則__________（其中）．參考答案：試題分析：第一個式子左邊1個數(shù)的平方，右邊從1開始，連續(xù)的2個整數(shù)相乘，再乘；第二個式子左邊2個數(shù)的平方，右邊從2開始，連續(xù)的2個整數(shù)相乘，再乘；第個式子左邊個數(shù)的平方和，右邊從開始，連續(xù)的2個數(shù)相乘，在乘，即為．考點：歸納推理的應(yīng)用．16.對于函數(shù)f（x）給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，計算=．參考答案：2016【考點】63：導(dǎo)數(shù)的運算；3T：函數(shù)的值．【分析】由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點（，1）對稱，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到結(jié)論．【解答】解：由，∴f′（x）=x2﹣x+3，所以f″（x）=2x﹣1，由f″（x）=0，得x=．∴f（x）的對稱中心為（，1），∴f（1﹣x）+f（x）=2，故設(shè)f（）+f（）+f（）+…+f（）=m，則f（）+f（）+…+f（）=m，兩式相加得2×2016=2m，則m=2016，故答案為：2016．【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．17.已知，為第四象限角，則

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的焦距為4,且過點.（1）求橢圓C的方程;（2）設(shè)為橢圓上一點,過點作軸的垂線,垂足為.取點,連接,過點作的垂線交軸于點.點是點關(guān)于軸的對稱點,作直線,問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.參考答案：解:(1)因為橢圓過點

且

橢圓C的方程是(2)由題意,各點的坐標(biāo)如上圖所示,

則的直線方程:

化簡得

又,所以帶入得

所以直線與橢圓只有一個公共點略19.已知橢圓過點，其焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質(zhì)解決以下問題：（i）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為.當(dāng)點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（I）解：依題意得：橢圓的焦點為，由橢圓定義知：，所以橢圓的方程為.（II）（?。┰O(shè)，則橢圓在點B處的切線方程為

令，，令，所以又點B在橢圓的第一象限上，所以

，

，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時，三角形OCD的面積的最小值為

（Ⅲ）設(shè)，則橢圓在點處的切線為：又過點，所以，同理點也滿足，所以都在直線上，即：直線MN的方程為

所以原點O到直線MN的距離，所以直線MN始終與圓相切.

略20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最小值為2，求實數(shù)a的值；（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)或.(2)【分析】（1）利用絕對值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等價于在上恒成立，故的解集是的子集，據(jù)此可求的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以.令，得或，解得或.（2）當(dāng)時，.由，得，即，即.據(jù)題意，，則，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】（1）絕對值不等式指：及，我們常利用它們求含絕對值符號的函數(shù)的最值.（2）解絕對值不等式的基本方法有公式法、零點分段討論法、圖像法、平方法等，利用公式法時注意不等號的方向，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖像法求解時注意圖像的正確刻畫．21.已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案：解：（1）由，

得.

依題意△是等腰直角三角形，從而，故.

所以橢圓的方程是.

（2）設(shè)，，直線的方程為.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得.

所以，.

若平分，則直線，的傾斜角互補，所以.

設(shè)，則有.將，代入上式，整理得，所以.

將，代入上式，整理得.由于上式對任意實數(shù)都成立，所以.

綜上，存在定點，使平分22.某市居民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如圖頻率分布直方圖：（Ⅰ）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？（Ⅱ）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當(dāng)w=3時，估計該市居民該月的人均水費．參考答案：（1）由頻率分布直方圖得：用水量在[0.5，1）的頻率為0.1，用水量在[1，1.5）的頻率為0.15，用水量在[1.5，2）的頻率為0.2，用水量在[2，2.5）的頻率為0.25，用水量在[2.5，3）的頻率為0.15，用水量在[3，