章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域第一部分

第三章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析§3.1復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性與傅立葉級(jí)數(shù)§3.2周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)§3.3非周期信號(hào)的頻譜§3.4傅立葉變換的性質(zhì)§3.5線性非時(shí)變系統(tǒng)的頻域分析頻域分析的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)：

１、分析信號(hào)的頻域特點(diǎn)：如信號(hào)的帶寬，信號(hào)的譜含量等等，物理概念清晰。２、系統(tǒng)頻域分析方法：給定頻率正弦信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)是同樣頻率的正弦信號(hào)，系統(tǒng)的作用只體現(xiàn)在振幅和相位上，數(shù)學(xué)上簡單。３、信號(hào)頻譜函數(shù)和系統(tǒng)的頻域傳輸函數(shù)：包含了信號(hào)和系統(tǒng)的全部信息，雖然數(shù)學(xué)形式變化，但信息不丟失。1768年，科學(xué)史有“牛頓第二”之稱的傅立葉出生在法國的奧塞爾城一個(gè)裁縫之家；1789年，參加過革命軍，反對(duì)路易斯王朝。后退出軍隊(duì)，教會(huì)學(xué)校教數(shù)學(xué)，提出“數(shù)值分析”求得多項(xiàng)式根的方法。1794年拿破侖任命為巴黎師范大學(xué)首席數(shù)學(xué)教授，27歲。1801年，傅立葉被任命為法國格勒諾布爾的行政長宮。1807年發(fā)表了《熱的傳播》，傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始.1814年拿破侖戰(zhàn)敗，被流放。1815年拿破侖偷渡回國，受到全國熱烈的歡迎。傅立葉卻公開反對(duì)拿破侖，后被捕，拿破侖親自審問。1815年拿破侖兵敗滑鐵盧，傅立葉從監(jiān)獄中放出。傅立葉繼續(xù)研究熱的理論數(shù)學(xué)，并發(fā)表以邊界條件解微分方程式的方法。1830年，因心臟病去世。傅里葉：1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模?，后世稱傅里葉級(jí)數(shù)為一種特殊的三角級(jí)數(shù)。

傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)“周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)3.1

復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性與傅里葉級(jí)數(shù)

3.1.1復(fù)指數(shù)的正交時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=f(t)*h(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。歐拉公式：所以，在分析周期和非周期信號(hào)時(shí)，通常把ejwt作為基本信號(hào)將任意周期和非周期信號(hào)分解為一系列虛指數(shù)函數(shù)的離散和或連續(xù)和。由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量（長，寬，高）vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。

例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。一、信號(hào)分解為正交函數(shù)1.矢量正交與正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即

定義：假設(shè)有n個(gè)函數(shù)g1(t)，g2(t)，…，gn(t)構(gòu)成的一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間[t1，t2]內(nèi)滿足如下的正交特性其中ki為常數(shù)，則函數(shù)序列g(shù)1(t),g2(t),g3(t),…,gn(t)是[t1，t2]區(qū)間上的正交函數(shù)集。三角函數(shù)序列{1，cosω1t,

cos2ω1t,

cos3ω1t,…,cosnω1t,…，sinω1t,sin2ω1t,sin3ω1t,…,sinnω1t,…為區(qū)間[t0,t0+T]

T=2π/ω上的正交函數(shù)集。2、信號(hào)正交與正交函數(shù)集函數(shù)集中任意兩個(gè)不同函數(shù)在[t1，t2]區(qū)間的內(nèi)積為零常用的完備正交函數(shù)集有（1）三角函數(shù)

1，cos1t，cos21t，…，cosn1t

…

sin1t，sin21t，…，sinn1t

…（2）復(fù)指數(shù)函數(shù)

ejn1t,n=0,1,2,……（3）沃爾什函數(shù)Wal(k,t)沃爾什函數(shù)系是函數(shù)值僅取“+1”、“-1”兩值的非正弦型的標(biāo)準(zhǔn)正交完備函數(shù)系。3.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足(i=1，2，…，n)則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如，函數(shù)集合的標(biāo)準(zhǔn)正交集是：sin(NX),cos(NX),N取整數(shù)。這樣就可以說這組函數(shù)是完備正交的。（因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以由他們通過線性疊加而構(gòu)成）f(t)可用傅立葉級(jí)數(shù)表示為：（三角級(jí)數(shù)）3.1.2傅立葉級(jí)數(shù)f(t)=a0+a1cosω1t+

b1sinω1t

+

a2cos2ω1t+b2sin2ω1t+…+ancosnω1t

+bnsinnω1t

+…2/T1=ω1

稱為

f(t)的基波頻率；nω1稱為n次諧波；

a0為f(t)的直流分量，an和bn為各余弦分量和正弦分量的幅度。（an和bn又稱為傅里葉系數(shù)）注：三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)之間的內(nèi)積為零，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時(shí)才不為0.3、傅里葉級(jí)級(jí)數(shù)展開的充充分條件通常所遇到的的周期性信號(hào)號(hào)都能滿足此此條件，因此此，以后除非非特殊需要，，一般不再考考慮這一條件件。對(duì)于任意周期期信號(hào)f(t)=f(t+nT),在滿足足狄里里赫利利條件下下，可可展成成傅里里葉級(jí)級(jí)數(shù)。。1：基波波角頻頻率a0：直流流分量量，an：余弦弦幅度度，bn：正弦弦幅度度，An：諧波波幅度度，周期信信號(hào)分分解為為三角角級(jí)數(shù)數(shù)（三角函函數(shù)集集是一一組完完備函函數(shù)集集）周期信信號(hào)的的分解解與合合成注：an為n的的偶偶函數(shù)數(shù)bn為n的的奇奇函數(shù)數(shù)為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：基波、、諧波波通常把頻率為：稱為基波。頻率為：稱為二次諧波。頻率為：稱為三次諧波?？梢?，，直流流分量量的大大小以以及基基波與與各次次諧波波的幅幅度、、相位位取決決于周周期信信號(hào)的的波形形。圖1鋸鋸齒齒波的的三角角級(jí)數(shù)數(shù)合成成例3-1如圖所所示的的周期期矩形形波，，試求求其傅傅里葉葉級(jí)數(shù)數(shù)。解由于這這里f(t)是奇奇函數(shù)數(shù)，故故有所以f(t)的傅傅里葉葉級(jí)數(shù)數(shù)為圖2周期矩矩形波波的分分解與與合成成：：圖3當(dāng)選取取傅里里葉有有限級(jí)級(jí)數(shù)的的項(xiàng)數(shù)數(shù)N很很大時(shí)時(shí)，該該峰起起值趨趨于一一個(gè)常常數(shù)，，它大大約等等于總總跳變變值的的9%，并并從不不連續(xù)續(xù)點(diǎn)開開始以以起伏伏振蕩蕩的形形式逐逐漸衰衰減下下去。。此現(xiàn)現(xiàn)象稱稱為吉吉布斯斯現(xiàn)象象。吉布斯斯（Gibbs）現(xiàn)現(xiàn)象周期三三角波波的分分解與與合成成：圖4其他形形式余弦形形式正弦形形式即把周周期信信號(hào)分分解為為各次次諧波波之和和正弦級(jí)級(jí)數(shù)與與余弦弦級(jí)數(shù)數(shù)有關(guān)結(jié)結(jié)論：：一般說說來,一個(gè)個(gè)函數(shù)數(shù)的傅傅里葉葉級(jí)數(shù)數(shù)既含含有正正弦項(xiàng)項(xiàng),又又含有有余弦弦項(xiàng).但是是,也也有一一些函函數(shù)的的傅里里葉級(jí)級(jí)數(shù)只只含有有正弦弦項(xiàng)或或者只只含有有常數(shù)數(shù)項(xiàng)和和余弦弦項(xiàng).(1)當(dāng)周周期為為2π的奇函函數(shù)f(t)展開成成傅里里葉級(jí)級(jí)數(shù)時(shí)時(shí),它它的傅傅里葉系數(shù)數(shù)為2、周周期信信號(hào)的的對(duì)稱稱性與與傅立立葉系系數(shù)的的關(guān)系系（例例3-1））注：周期奇奇函數(shù)數(shù)只含正弦項(xiàng)項(xiàng)定義稱為

如果)(tf為奇函數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)。

ntbnnsin1?￥=

ω1

定義如果分f(t)為偶函數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù).（2）當(dāng)周期為2π的偶函數(shù)f(t)展開成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為注：周期偶函數(shù)僅含直流項(xiàng)項(xiàng)和余弦項(xiàng)項(xiàng)（3））奇諧諧函數(shù)數(shù)若若周周期信信號(hào)f(t)波波形形沿時(shí)時(shí)間軸軸平移移半個(gè)個(gè)周期期后與與原波波形相相對(duì)于于時(shí)間間軸鏡鏡像對(duì)對(duì)稱，，即滿滿足：：（半半周周期期對(duì)對(duì)稱稱））（4））偶偶諧諧函函數(shù)數(shù)周期期信信號(hào)號(hào)f(t)波波形形沿沿時(shí)時(shí)間間軸軸平平移移半半個(gè)個(gè)周期期后后與與原原波波形形完完全全重重疊疊，，即即滿滿足足：：f(t)稱稱奇奇諧諧函函數(shù)數(shù)或或半波波對(duì)稱稱函數(shù)數(shù)，傅傅立立葉葉展展開開式式中中只只含含有有正正弦弦和和余弦弦項(xiàng)項(xiàng)的的奇奇次次諧諧波波分分量量，，不不含含偶偶次次項(xiàng)項(xiàng)。。f(t)稱稱偶偶諧諧函函數(shù)數(shù)或或半周周期期重疊疊函數(shù)數(shù)，傅傅立立葉葉展展開開式式中中只只含含有有正正弦弦和和余弦弦項(xiàng)項(xiàng)的的偶偶次次諧諧波波分分量量，，不不含含奇奇次次項(xiàng)項(xiàng)。。*周期期偶偶函函數(shù)數(shù)、、奇奇諧諧函函數(shù)數(shù)：：只只含含基基波波和和奇奇次次諧諧波波的的余余弦弦分分量量；；*周期期奇奇函函數(shù)數(shù)、、奇奇諧諧函函數(shù)數(shù)：：只只含含基基波波和和奇奇次次諧諧波波的的正正弦弦分分量量；；*周期期奇奇函函數(shù)數(shù)只只含含正正弦弦分分量量；；*周期期偶偶函函數(shù)數(shù)含含有有直直流流分分量量和和余余弦弦分分量量。。總結(jié)結(jié)：：從上上面面例例子子看看出出：：（1））n愈愈大大，，則則愈愈逼逼近近原原信信號(hào)號(hào)f(t)。。(2)當(dāng)當(dāng)信信號(hào)號(hào)f(t)是是脈脈沖沖信信號(hào)號(hào)時(shí)時(shí)，，其其高高頻頻分分量量主主要要影影響響脈脈沖沖的的跳跳變變沿沿；；低低頻頻分分量量影影響響脈脈沖沖的的頂頂部部。。f(t)波波形形變變化化愈愈劇劇烈烈，，所所含含的的高高頻頻分分量量愈愈豐豐富富；；f(t)變變化化愈愈緩緩慢慢，，所所含含的的低低頻頻分分量量愈愈豐豐富富。。(3)當(dāng)信信號(hào)中中任一一頻譜譜分量量的幅幅度或或相位位發(fā)生生相對(duì)對(duì)變化化時(shí)，，輸出出波形形一般般要發(fā)發(fā)生失失真。。取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量有限級(jí)級(jí)數(shù)對(duì)對(duì)原函函數(shù)的的逼近近情況況周期信信號(hào)的的復(fù)指指數(shù)表表示設(shè)由于則歐拉公公式：：{所以

由

令

，則

Fn為傅立立葉系系數(shù)周期信信號(hào)f(t)的的指指數(shù)形形式傅傅立葉葉展開開式又稱復(fù)系數(shù)數(shù)形式式傅立立葉級(jí)級(jí)數(shù)展展開式式例1對(duì)于周周期矩矩形波波，試試求其其指數(shù)數(shù)表示示式。。解所以圖5例2設(shè)有周周期沖沖激信信號(hào)T(t)，求其其指數(shù)數(shù)表示示式。。解因則所以即T(t)是無窮窮多個(gè)個(gè)復(fù)指指數(shù)的的累加加和。。圖6總結(jié)：：（1））周期期信號(hào)號(hào)的三三角級(jí)級(jí)數(shù)和和復(fù)指指數(shù)表表示形形式只只是同同一信號(hào)的的兩種種不同同表示示方法法。前者為實(shí)數(shù)級(jí)級(jí)數(shù)，后者為復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)，均是是把周周期信信號(hào)表表示為為不同同頻率率的各各分量量之和和。（2））任意意周期期函數(shù)數(shù)可分分解為為偶函函數(shù)fod(t)與奇奇函數(shù)數(shù)fev(t)之和。。單邊頻譜圖圖例：矩形波波3.2周期信信號(hào)的的頻譜譜圖2圖11.頻頻譜：：將周期期信號(hào)號(hào)各頻頻率分分量的的振幅幅和相相位隨隨頻率率變化化的關(guān)系系用圖圖形描描繪出出來，，稱之之為““頻譜譜圖””。（頻譜譜圖：：包括括振幅幅頻譜譜和相相位頻頻譜兩兩部分分）幅度譜譜、相相位譜譜單邊頻譜An：：振振幅頻頻譜相相位位頻譜譜：φn雙邊頻頻譜│Fn│與nωω所描描述的的振幅幅頻譜譜與Fn的的相位Φn與與nωω所描描述的的相位位頻譜譜Fn一般是是復(fù)函函數(shù)，，所以以稱這這種頻頻譜為為復(fù)數(shù)頻頻譜。。2.周周期信信號(hào)頻頻譜的的特點(diǎn)：：離散性性：離離散譜譜線諧波性性：基基波1的整數(shù)數(shù)倍頻頻率收斂性性：高高次諧諧波幅幅度漸漸小（隨諧諧波次次數(shù)增增高而而逐漸漸減小?。┓茸V與相位譜合并正、負(fù)負(fù)頻率率相應(yīng)應(yīng)項(xiàng)成成對(duì)合合并，，才是是實(shí)際際頻譜譜函數(shù)數(shù)。Fn一一般為為復(fù)數(shù)數(shù)，引引入了了負(fù)頻率率變量量F-n周期復(fù)復(fù)指數(shù)數(shù)信號(hào)號(hào)的頻頻譜圖圖的特特點(diǎn)引入了了負(fù)頻頻率變變量，，沒有有物理理意義義，只只是數(shù)數(shù)學(xué)推推導(dǎo)；；An是是實(shí)函函數(shù)，，F(xiàn)n一一般是是復(fù)函函數(shù)；當(dāng)Fn是是實(shí)實(shí)函數(shù)數(shù)時(shí)，，可用用Fn的的正正負(fù)表表示0和ππ相位位，幅幅度度譜和和相位位譜合合一；；3.頻譜與與信號(hào)號(hào)的帶帶寬對(duì)于周周期矩矩形脈脈沖，，在一一個(gè)周周期內(nèi)內(nèi)為則復(fù)系系數(shù)圖4其中Sa()形式式如下下。抽樣函函數(shù)：：是偶函函數(shù)當(dāng)時(shí)，Sa(t)=0圖51.抽抽樣函函數(shù)Sa(x)的特特點(diǎn)：：（1））偶函函數(shù)（（2）正正負(fù)軸軸（對(duì)對(duì)稱））呈衰衰減的的正弦弦振蕩蕩f(t)的的幅度度譜和和相位位譜圖70→只可用用一個(gè)個(gè)頻譜譜圖表表示2.頻帶寬寬度由周期期矩形形脈沖沖信號(hào)號(hào)的頻頻譜可可以看看出：：振幅相相對(duì)減減小。。能量主主要集集中在在第一一個(gè)零零點(diǎn)以以內(nèi)。。信號(hào)一一般主主要集集中在在低頻頻段。。結(jié)論：信號(hào)的頻帶寬度與信號(hào)的持續(xù)時(shí)間（脈沖寬度）成反比。3.系系統(tǒng)的的通頻頻帶>信號(hào)的的帶寬寬，才才能不不失真真例：語音信信號(hào)頻頻率率大約約為300~3400Hz，音樂信信號(hào)50~15,000Hz，擴(kuò)大器器與揚(yáng)揚(yáng)聲器器有有效效帶寬寬約為為15~20,000Hz。周期矩矩形脈脈沖頻頻譜的的變化化規(guī)律律頻譜與與周期期T和脈寬寬的關(guān)系系T不變，，減小時(shí)時(shí)，譜譜線間間隔ω不變，，頻帶帶加寬寬。圖8不變，，T增大時(shí)時(shí)，譜譜線間間隔變變密，，帶寬寬不變變。圖9頻譜分分析表表明離散頻頻譜，，譜線線間隔隔為基波頻頻率，脈沖沖周期期越大大，譜譜線越越密。。各分量量的大大小與與脈幅幅成正正比，，與脈脈寬成成正比比，與與周期期成反反比。。各譜線線的幅幅度按按包絡(luò)線線變化化。過過零點(diǎn)為為主要能能量在在第一一過零零點(diǎn)內(nèi)內(nèi)。帶帶寬4.周周期信信號(hào)的的功率率特性性—時(shí)域域和頻頻域能能量守守恒定定理周期信信號(hào)的的平均功功率P：在一一個(gè)周周期內(nèi)內(nèi)求平平方再再求積積分。。帕塞瓦瓦爾定定理任意周周期信信號(hào)f(t)在在時(shí)時(shí)域的的平均均功率率等于于頻域域中的的直流流功率率分量和和各次次諧波波平均均功率率分量量之和和。時(shí)域與與頻域域的能能量守守恒：：舉例周期信信號(hào)的的功率率譜：：圖12(1)周期期信號(hào)號(hào)f(t)的傅立葉葉級(jí)數(shù)有有兩種種形式式三角形形式指數(shù)形形式總結(jié)(2)三個(gè)個(gè)性質(zhì)質(zhì)離散性性：離散譜譜線(3)兩兩種種頻頻譜譜圖圖的的關(guān)關(guān)系系(4)引引入入負(fù)負(fù)頻頻率率9、靜夜四無無鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。20:02:3020:02:3020:021/1/20238:02:30PM11、以以我我獨(dú)獨(dú)沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2320:02:3020:02Jan-2301-Jan-2312、故人人江海海別，，幾度度隔山山川。。。20:02:3020:02:3020:02Sunday,January1,202313、乍見翻疑疑夢(mèng)，相悲悲各問年。。。1月-231月-2320:02:3020:02:31January1,202314、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。01一一月20238:02:31下午午20:02:311月-2315、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。一月238:02下下午1月-2320:02January1,202316、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2023/1/120:02:3120:02:3101January202317、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時(shí)，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點(diǎn)的射線線向前。。8:02:31下午8:02下下午20:02:311月-239、沒有失失敗，只只有暫時(shí)時(shí)停止成成功！。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、很多事情情努力了未未必有結(jié)果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒有。。。20:02:3120:02:3120:021/1/20238:02:31PM11、成功就是是日復(fù)一日日那一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小努力力的積累。。。1月-2320:02:3120:02Jan-2301-Jan-2312、世間成成事，不不求其絕絕對(duì)圓滿滿，留一一份不足足，可得得無限完完美。。。20:02:3120:02:3120:02Sunday,January1,202313、不知香積寺寺，數(shù)里入云云峰。。1月-231月-2320:02:3120:02:31January1,202314、意志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)的人人能把世世界放在在手中像像泥塊一一樣任意意揉捏。。01一一月20238:02:31下午午20:02:311月-2315、楚塞三湘接接，荊門九