江蘇省南通市2018屆高三上學期第一次調研測試數(shù)學試題+Word版含答案

高三第一次調研測試數(shù)學Ⅰ一、選擇題：本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.已知集合，.若，則實數(shù)的值為▲.2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部為▲.3.已知某校高一、高二、高三的學生人數(shù)分別為，，.為了解該校學生的身高情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為的樣本，則應從高三年級抽取▲名學生.4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果為▲.5.某同學欲從數(shù)學建模、航模制作、程序設計和機器人制作個社團中隨機選擇個，則數(shù)學建模社團被選中的概率為▲.6.若實數(shù)滿足則的最大值為▲.7.在平面直角坐標系中，已知點為拋物線的焦點，則點到雙曲線的漸近線的距離為▲.8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則的值為▲.9.在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度.若平移后得到的圖像經過坐標原點，則的值為▲.10.若曲線在與處的切線互相垂直，則正數(shù)的值為▲.11.如圖，銅質六角螺帽毛胚是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知正六棱柱的底面邊長、高都為，圓柱的底面積為.若將該螺帽熔化后鑄成一個高為的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為▲.（不計損耗）12.如圖，已知矩形的邊長，.點，分別在邊，上，且，則的最小值為▲.13.在平面直角坐標系中，已知點，，從直線上一點向圓引兩條切線，，切點分別為，.設線段的中點為，則線段長的最大值為▲.14.已知函數(shù).若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是▲.三、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱錐中，，，是的中點.點在棱上，點是的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.16.在中，角，，所對的邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）求的值.17.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，兩條準線之間的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知橢圓的左頂點為，點在圓上，直線與橢圓相交于另一點，且的面積是的面積的倍，求直線的方程.18.如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道，，將廣場分割為個區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，.（道路寬度忽略不計）（1）若經過圓心，求點到的距離；（2）設，.①試用表示的長度；②當為何值時，綠化區(qū)域面積之和最大.19.已知函數(shù)有極值，且函數(shù)的極值點是的極值點，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值）（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）當時，若函數(shù)的最小值為，證明：.20.若數(shù)列同時滿足：①對于任意的正整數(shù)，恒成立；②對于給定的正整數(shù)，對于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得，，，成等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-1：幾何證明選講]如圖，已知的半徑為，的半徑為，兩圓外切于點.點為上一點，與切于點.若，求的長.B.[選修4-2：矩陣與變換]已知，向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，求與.C.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系中，直線與曲線（為參數(shù)）相交于，兩點，求線段的長.D.[選修4-5：不等式選講]已知，，求的最小值.【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖，在四棱錐中，，，兩兩垂直，，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知點為線段上異于的點，且，求的值.23.（1）用數(shù)學歸納法證明：當時，（，且，）；（2）求的值.南通市2018屆高三第一次調研測試數(shù)學學科參考答案及評分建議一、選擇題1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、解答題15.【證明】（1）在中，是的中點，是的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）在中，，是的中點，所以，又因為，平面，平面，，所以平面.又因為平面，所以平面平面.16.【解】（1）在中，根據(jù)余弦定理及得，.又因為，所以.在中，由正弦定理得，.（2）因為，所以，即得.又，所以.在中，，所以.17.【解】（1）設橢圓的焦距為，由題意得，，解得，，所以.所以橢圓的方程為.（2）方法一：因為，所以，所以點為的中點.因為橢圓的方程為，所以.設，則.所以①，②，由①②得，解得，（舍去）.把代入①，得，所以，因此，直線的方程為即，.方法二：因為，所以，所以點為的中點.設直線的方程為.由得，所以，解得，所以，，代入得，化簡得，即，解得，所以，直線的方程為即，.18.【解】以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系.（1）直線的方程為，半圓的方程為，由得.所以，點到的距離為.（2）①由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所以，的長度為，.②區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以.設，則，..當且僅當，即時“”成立.所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.答：當時，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.19.【解】（1）因為，令，解得.列表如下.極小值所以時，取得極小值.因為，由題意可知，且所以，化簡得，由，得.所以，.（2）因為，所以記，則，令，解得.列表如下.極小值所以時，取得極小值，也是最小值，此時，.令，解得.列表如下.極小值所以時，取得極小值，也是最小值.所以.令，則，記，，則，.因為，，所以，所以單調遞增.所以，所以.20.【解】（1）當為奇數(shù)時，，所以..當為偶數(shù)時，，所以..所以，數(shù)列是“數(shù)列”.（2）由題意可得：，則數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設其公差為.因為，所以，所以，所以①，②.若，則當時，①不成立；若，則當時，②不成立；若，則①和②都成立，所以.同理得：，所以，記.設，則.同理可得：，所以.所以是等差數(shù)列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.21.A.【解】延長交與點，連結，，，則過點，由切割線定理得：.因為，與均為等腰三角形，所以，所以，所以，即.因為，所以.B.【解】由已知得，所以所以.設，則即.所以，，.所以，.C.【解】曲線的普通方程為.聯(lián)立解得或所以，，所以.D.【解】因為，，所以，.兩式相加：，所以.當且僅當且時“”成立.即時，取得最小值.22.【解】以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系.則，，，，（1）由題意可知，，.設平面的法向量為，則即