2022年高考沖刺理數(shù)模擬沖刺沖刺（全國(guó)Ⅰ卷）

2018年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)Ⅰ卷）一、選擇題：1.（2018?卷Ⅰ）設(shè)QUOTE,則QUOTE|z||z|=（

）

B.QUOTE1212

D.QUOTE222.（2018?卷Ⅰ）已知集合QUOTE，則QUOTECRA=CRA=(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE3.（2018?卷Ⅰ）某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番。為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例。得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（

）A.

新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.

新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.

新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.

新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半4.（2018?卷Ⅰ）記QUOTESnSn為等差數(shù)列QUOTE{an}{an}的前n項(xiàng)和，若QUOTE3S3=S2+A.

-12

B.

-10

C.

10

D.

125.（2018?卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)QUOTE，若QUOTEf(x)f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為（

）A.

y=-2x

B.

y=-x

C.

y=2x

D.

y=x6.（2018?卷Ⅰ）在QUOTE中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則QUOTE(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE7.（2018?卷Ⅰ）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（

）

A.QUOTE217217

B.QUOTE2525

C.QUOTE33

8.（2018?卷Ⅰ）設(shè)拋物線QUOTEC:y2=4xC:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)（-2,0）且斜率為QUOTE2323的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則QUOTE(

)A.

5

B.

6

C.

7

D.

89.（2018?卷Ⅰ）已知函數(shù)QUOTE，QUOTEg(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a.若QUOTEg(x)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE10.（2018?卷Ⅰ）下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為QUOTEp1,p2,p3A.

QUOTEp1=p2pB.

QUOTEp1=p3pC.

QUOTEp2=p3pD.

QUOTEp1=p2+11.（2018?卷Ⅰ）已知雙曲線C:QUOTE，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若QUOTE為直角三角形，則QUOTE|MN||MN|=（

）A.QUOTE3232

C.QUOTE2323

12.（2018?卷Ⅰ）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面QUOTEαα所成的角都相等，則QUOTEαα截此正方體所得截面面積的最大值為（

）A.QUOTE334334

B.QUOTE233233

C.QUOTE324324

D.QUOTE32二、填空題13.（2018?卷Ⅰ）若QUOTExx，QUOTEyy滿足約束條件QUOTE則QUOTEz=3x+2yz=3x+2y的最大值為_(kāi)_______.14.（2018?卷Ⅰ）記QUOTESnSn為數(shù)列QUOTE{an}{an}的前n項(xiàng)的和，若QUOTESn=2an+1Sn=2an+115.（2018?卷Ⅰ）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案)16.（2018?卷Ⅰ）已知函數(shù)QUOTEf(x)=2sinx+sin2xf(x)=2sinx+sin2x，則QUOTEf(x)17.（2018?卷Ⅰ）在平面四邊形QUOTEABCDABCD中，QUOTEQUOTEQUOTEAB=2,AB=2,QUOTEBD=5.BD=5.（1）求QUOTE;（2）若QUOTEDC=22,DC=22,求QUOTEBCBC.18.（2018?卷Ⅰ）如圖，四邊形QUOTEABCDABCD為正方形，QUOTEE,FE,F分別為QUOTEAD,BCAD,BC的中點(diǎn)，以QUOTEDFDF為折痕把QUOTE折起，使點(diǎn)QUOTECC到達(dá)點(diǎn)QUOTEPP的位置，且QUOTE.

（1）證明：平面QUOTE平面QUOTEABFDABFD;（2）求QUOTEDPDP與平面QUOTEABFDABFD所成角的正弦值.19.（2018?卷Ⅰ）設(shè)橢圓QUOTEC:x22+y2=1C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為QUOTEFF，過(guò)QUOTEFF得直線QUOTEll與QUOTECC交于QUOTEA,BA,B兩點(diǎn)，點(diǎn)QUOTEMM的坐標(biāo)為QUOTE(2,0)(2,0).（1）當(dāng)QUOTEll與QUOTExx軸垂直時(shí)，求直線QUOTEAMAM的方程；（2）設(shè)QUOTEOO為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：QUOTE.20.（2018?卷Ⅰ）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格的概率為品p（QUOTE0<p<10<p<1）,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為QUOTEf(p)f(p)，求QUOTEf(p)f(p)的最大值點(diǎn)QUOTEp0p0（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的QUOTEp0p0作為QUOTEpp的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為QUOTEXX，求QUOTEEXEX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？21.（2018?卷Ⅰ）已知函數(shù)QUOTE（1）討論QUOTEf(x)f(x)的單調(diào)性；（2）若QUOTEf(x)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)QUOTEx1,x2x1,x2，證明：QUOTE三、選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.（2018?卷Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線QUOTEC1C1的方程為QUOTEy=k|x|+2y=k|x|+2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，QUOTExx軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線QUOTEC2C2的極坐標(biāo)方程為QUOTE（1）求QUOTEC2C2的直角坐標(biāo)方程（2）若QUOTEC1C1與QUOTEC2C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求QUOTEC1C1的方程四、選考題[選修4-5：不等式選講]23.（2018?卷Ⅰ）已知QUOTE（1）當(dāng)QUOTEa=1a=1時(shí)，求不等式QUOTEf(x)>1f(x)>1的解集（2）若QUOTE時(shí)，不等式QUOTEf(x)>xf(x)>x成立，求QUOTEaa的取值范圍答案與解析一、選擇題：1.（2018?卷Ⅰ）設(shè)QUOTE,則QUOTE|z||z|=（

）

B.QUOTE1212

D.QUOTE22答案：C知識(shí)點(diǎn)：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入難度：較易解析：z=QUOTE+QUOTE2i2i=QUOTE,∴QUOTE|z|=1|z|=1，故答案為：C。

2.（2018?卷Ⅰ）已知集合QUOTE，則QUOTECRA=CRA=(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE答案：B知識(shí)點(diǎn)：集合的概念及其基本運(yùn)算難度：較易解析：A=QUOTE，

∴QUOTE，

3.（2018?卷Ⅰ）某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番。為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例。得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（

）A.

新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.

新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.

新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.

新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案：A知識(shí)點(diǎn)：用樣本估計(jì)總體難度：較易解析：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)一倍，A中種植收入應(yīng)為2aQUOTE37%>aQUOTE60%,∴種植收入增加，則A錯(cuò)。

4.（2018?卷Ⅰ）記QUOTESnSn為等差數(shù)列QUOTE{an}{an}的前n項(xiàng)和，若QUOTE3S3=S2+A.

-12

B.

-10

C.

10

D.

12答案：B知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列求和難度：中等解析：3S3=S2+S4?S3+3a3=a3+a4?9a2=5a2+a3?4a2=a3，又a1=2，

∴d=-3.

則QUOTE，故答案為：B。

5.（2018?卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)QUOTE，若QUOTEf(x)f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為（

）A.

y=-2x

B.

y=-x

C.

y=2x

D.

y=x答案：D知識(shí)點(diǎn)：變化率、導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算難度：中等解析：∵QUOTE，且QUOTEf(x)f(x)是奇函數(shù)，

∴a-1=0QUOTEa=1.

QUOTE,

∴QUOTE.而y-0=x-0QUOTEy=x,

6.（2018?卷Ⅰ）在QUOTEΔABCΔABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則QUOTE(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE答案：A知識(shí)點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用難度：中等解析：QUOTEQUOTE=QUOTE,

故答案為：A。

7.（2018?卷Ⅰ）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（

）

A.QUOTE217217

B.QUOTE2525

C.QUOTE33

答案：B知識(shí)點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖難度：中等解析：畫出圓柱側(cè)面展開(kāi)圖如圖：

QUOTEMN=16+4=25MN=16+4=258.（2018?卷Ⅰ）設(shè)拋物線QUOTEC:y2=4xC:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)（-2,0）且斜率為QUOTE2323的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則QUOTE(

)A.

5

B.

6

C.

7

D.

8答案：D知識(shí)點(diǎn)：拋物線難度：中等解析：設(shè)QUOTE，

∴QUOTEx1=1,x2=4x1=1,x2=4，即QUOTEy1=2,y2=4y1=2,y2=4，

設(shè)QUOTEM(x1,y1),N(x2,y2)M(x1,y9.（2018?卷Ⅰ）已知函數(shù)QUOTE，QUOTEg(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a.若QUOTEg(x)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE答案：C知識(shí)點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難度：中等解析：令QUOTE，∴QUOTE

QUOTE，

當(dāng)QUOTE，

∴QUOTE，

當(dāng)x﹥0時(shí)，QUOTE

∴QUOTE在（0，+∞）QUOTE

∴QUOTE，

10.（2018?卷Ⅰ）下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為QUOTEp1,p2,p3A.

QUOTEp1=p2p1=p2

B.

QUOTEp1=p3p1=p3

C.

QUOTEp2=p3答案：A知識(shí)點(diǎn)：幾何概型難度：中等解析：記三角形區(qū)域面積為S1，黑色部分面積為S2，AB=a,AC=b,BC=c.則c2=a2+b2,

∴S1=QUOTE1212ab,S2=QUOTE.

即S1=S2,

11.（2018?卷Ⅰ）已知雙曲線C:QUOTE，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若QUOTEΔOMNΔOMN為直角三角形，則QUOTE|MN||MN|=（

）A.QUOTE3232

C.QUOTE2323

答案：B知識(shí)點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難度：中等解析：QUOTE,不妨設(shè)QUOTE,QUOTE,

∴QUOTE,即QUOTE|FN|=2,|MF|=1|FN|=2,|MF|=1,

∴QUOTE|MN|=|FN|+|MF|=2+1=3|MN|=|FN|+|MF|=2+1=3,

12.（2018?卷Ⅰ）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面QUOTEαα所成的角都相等，則QUOTEαα截此正方體所得截面面積的最大值為（

）A.QUOTE334334

B.QUOTE233233

C.QUOTE324324

D.QUOTE32答案：A知識(shí)點(diǎn)：空間幾何體的表面積和體積難度：中等解析：如圖截面，S=6QUOTE,

二、填空題13.（2018?卷Ⅰ）若QUOTExx，QUOTEyy滿足約束條件QUOTE則QUOTEz=3x+2yz=3x+2y的最大值為_(kāi)_______.答案：6知識(shí)點(diǎn)：二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃難度：中等解析：z=3x+2y,過(guò)點(diǎn)A（2,0）時(shí)，zmax=3QUOTE2+2QUOTE0=6.

14.（2018?卷Ⅰ）記QUOTESnSn為數(shù)列QUOTE{an}{an}的前n項(xiàng)的和，若QUOTESn=2an+1Sn=2an+1答案：-63知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列求和難度：中等解析：∵QUOTE

QUOTE，作差，

∴QUOTE，

∴QUOTE，

∴QUOTE。

15.（2018?卷Ⅰ）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案)答案：16知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用難度：中等解析：沒(méi)有女生入選有QUOTEC43=4C43=4種選法，從6名學(xué)生中任意選3人有QUOTEC63=20C63=2016.（2018?卷Ⅰ）已知函數(shù)QUOTEf(x)=2sinx+sin2xf(x)=2sinx+sin2x，則QUOTEf(x)答案：QUOTE-332-3知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的圖象難度：中等解析：由題意得：T=2π是QUOTEf(x)=2sinx+sin2xf(x)=2sinx+sin2x的一個(gè)周期。只需要考慮函數(shù)在[0，2π)上的值域，

先求該函數(shù)在[0，2π)上的極值點(diǎn)

QUOTE，

令QUOTE可得：QUOTEcosx=12cosx=12或QUOTE

此時(shí)x=QUOTE或QUOTE

∴QUOTEy=2sinx+sin2xy=2sinx+sin2x的最小值只能在點(diǎn)x=QUOTE,π或QUOTE和邊界點(diǎn)x=0中取到，計(jì)算可得QUOTE

∴函數(shù)的最小值為：QUOTE-332-332

17.（2018?卷Ⅰ）在平面四邊形QUOTEABCDABCD中，QUOTEQUOTEQUOTEAB=2,AB=2,QUOTEBD=5.BD=5.（1）求QUOTE;（2）若QUOTEDC=22,DC=22,求QUOTEBCBC.答案：（1）解：在QUOTE中，由正弦定理得QUOTE.

由題設(shè)知，QUOTE，所以QUOTE.

由題設(shè)知，QUOTE，所以QUOTE.

（2）解：由題設(shè)及（1）知，QUOTE.

在QUOTE中，由余弦定理得

QUOTE=25=25.

所以QUOTEBC=5BC=5.知識(shí)點(diǎn)：正弦定理和余弦定理難度：中等解析：(1)在三角形ABD中,由正弦定理求出QUOTE,再由同角關(guān)系式求出QUOTE;(2)由QUOTE,求出QUOTEcosBDCcosBDC,再在QUOTE中由余弦定理求出BC.18.（2018?卷Ⅰ）如圖，四邊形QUOTEABCDABCD為正方形，QUOTEE,FE,F分別為QUOTEAD,BCAD,BC的中點(diǎn)，以QUOTEDFDF為折痕把QUOTEΔDFCΔDFC折起，使點(diǎn)QUOTECC到達(dá)點(diǎn)QUOTEPP的位置，且QUOTE.

（1）證明：平面QUOTE平面QUOTEABFDABFD;（2）求QUOTEDPDP與平面QUOTEABFDABFD所成角的正弦值.答案：（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又QUOTE，

∴BF⊥平面PEF.

∴又QUOTE平面ABFD，

平面PEF⊥平面ABFD.

（2）解：作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，QUOTEHFHF的方向?yàn)閥軸正方向，QUOTE|BF||BF|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=QUOTE33.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

可得QUOTEPH=32,EH=32PH=32,EH=32.

則QUOTE

QUOTEHP=(0,0,32)HP=(0,0,32)為平面ABFD的法向量.

設(shè)DP與平面ABFD所成角為QUOTEθθ，則QUOTE.

∴DP與平面ABFD所成角的正弦值為QUOTE3434.知識(shí)點(diǎn)：立體幾何綜合難度：中等解析：(1)在翻折過(guò)程中,作QUOTE于H,由QUOTE得到QUOTE,從而得到面面垂直;(2)DP與平面所成的角就是QUOTE,在三角形中求其正弦值.19.（2018?卷Ⅰ）設(shè)橢圓QUOTEC:x22+y2=1C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為QUOTEFF，過(guò)QUOTEFF得直線QUOTEll與QUOTECC交于QUOTEA,BA,B兩點(diǎn)，點(diǎn)QUOTEMM的坐標(biāo)為QUOTE(2,0)(2,0).（1）當(dāng)QUOTEll與QUOTExx軸垂直時(shí)，求直線QUOTEAMAM的方程；（2）設(shè)QUOTEOO為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：QUOTE.答案：（1）解：由已知得QUOTEF(1,0)F(1,0)，l的方程為x=1.

由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為QUOTE(1,22)(1,22)或QUOTE.

所以AM的方程為QUOTE或QUOTE.

（2）解：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，QUOTE.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以QUOTE.

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為QUOTE，QUOTEA(x1,y1),B(x2,y2)A(x1,y1),B(x2,y2)，

則QUOTEx1<2,x2<2x1<2,x2<2，直線MA，MB的斜率之和為QUOTE.

由QUOTE得

QUOTE.

將QUOTE代入QUOTEx22+y2=1x22+y2=1得

QUOTE.

所以，QUOTEx1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.

則QUOTE知識(shí)點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難度：較難解析：(1)由橢圓方程得F的坐標(biāo),得到直線l的方程,代入橢圓方程中求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再求出直線AM的方程;(2)QUOTE等價(jià)于直線MA,MB的斜率互為相反數(shù),設(shè)出直線l的方程代入到橢圓的方程中,消去x得到關(guān)于y的二次方程,由韋達(dá)定理計(jì)算直線MA,MB的斜率的和為0,得證.20.（2018?卷Ⅰ）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格的概率為品p（QUOTE0<p<10<p<1）,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為QUOTEf(p)f(p)，求QUOTEf(p)f(p)的最大值點(diǎn)QUOTEp0p0（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的QUOTEp0p0作為QUOTEpp的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為QUOTEXX，求QUOTEEXEX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？答案：（1）解：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為QUOTE.因此

QUOTE.

令QUOTE，得QUOTEp=0.1p=0.1.當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE；當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE.

所以QUOTEf(p)f(p)的最大值點(diǎn)為QUOTEp0=0.1p0=0.1.

（2）解：由（1）知，QUOTEp=0.1p=0.1.

（i）令QUOTEYY表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知QUOTE，QUOTEX=20?2+25hYX=20?2+25hY，即QUOTEX=40+25YX=40+25Y.

所以QUOTEEX=E(40+25Y)=40+25EY=490EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于QUOTEEX>400EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差難度：中等解析：(1)由20件產(chǎn)品恰有2件不合格的產(chǎn)品,則其余18件產(chǎn)品合格,得到f(p)的表達(dá)式,由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最值;(2)由題意得到X的可能取值為2,27,求出X=2和X=27時(shí)對(duì)應(yīng)的概率,得到分布列,再求期望值;(3)由于對(duì)每一箱產(chǎn)品都檢驗(yàn)時(shí)費(fèi)用為400元,由(2)中期望值為依據(jù),則費(fèi)用為900元,由此作出決定.21.（2018?卷Ⅰ）已知函數(shù)QUOTEf(x)=1x-x+alnx（1）討論QUOTEf(x)f(x)的單調(diào)性；（2）若QUOTEf(x)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)QUOTEx1,x2x1,x2，證明：QUOTE答案：（1）解：QUOTEf(x)f(x)的定義域?yàn)镼UOTE，QUOTE.

若QUOTE，則QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEa=2a=2，QUOTEx=1x=1時(shí)QUOTE，所以QUOTEf(x)f(x)在QUOTE單調(diào)遞減.

若QUOTEa>2a>2，令QUOTE得，QUOTE或QUOTE.

當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE；

當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE.所以QUOTEf(x)f(x)在QUOTE單調(diào)遞減，在QUOTE單調(diào)遞增.

（2）解：由（1）知，QUOTEf(x)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEa>2a>2.

由于QUOTEf(x)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)QUOTEx1,x2x1,x2滿足QUOTEx2-ax+1=0x2-ax+1=0，所以QUOTEx1x2=1x1x2=1，不妨設(shè)QUOTEx1<x2x1<x2，則QUOTEx2>1x2>1.

由于QUOTE，

所以QUOTE等價(jià)于QUOTE.

設(shè)函數(shù)QUOTE，

由（1）知，QUOTEg(x)g(x)在QUOTE單調(diào)遞減，又QUOTEg(1)=0g(1)=0，從而當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTEg(x)<0g(x)<0.

所以QUOTE，

即QUOTE.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用難度：困難解析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)a分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),則函數(shù)有導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)即導(dǎo)方程有兩個(gè)相異實(shí)根,求出a的范圍,不等式左邊即相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù),從而證明不等式.三、選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.（2018?卷Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線QUOTEC1C1的方程為QUOTEy=k|x|+2y=k|x|+2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，QUOTExx軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線QUOTEC2C2的極坐標(biāo)方程為QUOTE（1）求QUOTEC2C2的直角坐標(biāo)方程（2）若QUOTEC1C1與QUOTEC2C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求QUOTEC1C1的方程答案：（1）解：由QUOTE，QUOTE得QUOTEC2C2的直角坐標(biāo)方程為QUOTE(x+1)2+y2=4(x+1)2+y2=4．

（2）解：由（1）知QUOTEC2C2是圓心為QUOTE，半徑為QUOTE22的圓．

由題設(shè)知，QUOTEC1C1是過(guò)點(diǎn)QUOTEB(0,2)B(0,2)且關(guān)于QUOTEyy軸對(duì)稱的兩條射線．

記QUOTEyy軸右邊的射線為QUOTEl1l1，QUOTEyy軸左邊的射線為QUOTEl2l2．

由于QUOTEBB在圓QUOTEC2C2的外面，

故