有限元法及程序設(shè)計(jì)教案7

第五章等參元應(yīng)用中的若干問題參考書目：清華第四、五章1、最小勢(shì)能解答的位移下限定理。用有限單元將連續(xù)介質(zhì)離散化后，按位移法由最小勢(shì)能原理求出的位移近似解。其值小于精確解。應(yīng)變能總勢(shì)能：最小勢(shì)能原理“若選擇的位移滿足位移連續(xù)及邊界條件,

則滿足平衡方程的一組位移使總勢(shì)能最小”即：即：結(jié)論:(1)對(duì)于任何一個(gè)給定的位移模式,按FEM離散后的力學(xué)模型剛度皆大于真實(shí)剛度。（2）當(dāng)網(wǎng)格無限細(xì)分時(shí)，由下方收斂于精確解。2、Gauss積分階次的選擇被積函數(shù)為n－1次多項(xiàng)式在求積公式中，由于與的值無關(guān)，當(dāng)取n個(gè)及n個(gè)，共有2n個(gè)未知數(shù)，所以要求是2n-1次，能確定2n個(gè)未知數(shù)，得到完全精確的積分值，故由Guass積分的意義看，當(dāng)是2n-1次多項(xiàng)式，對(duì)n個(gè)積分點(diǎn)才是精確成立的。（1）分布體力三維：一次二次二次二維：（2）三角形分布面力：其中：（3）、單剛：可由以下近似方法做出判別：則：n必須隨單元所處的不同部位取不同的值。

實(shí)際選擇n的方法由位移下限定理，［k］值計(jì)算比實(shí)際大，由Guass積分精度，［k］的計(jì)算值隨n的減小而減小。故，采用較小的n，使上述兩方面的誤差抵消。3、四邊形形狀的限制為了使等參變換成立，，有以下結(jié)論：在整體坐標(biāo)系下，曲邊四邊形的任意兩條邊，不能在單元上出現(xiàn)交點(diǎn)。（出現(xiàn)則意味）。一般要求四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在90°左右（接近矩形正方形）當(dāng)單元上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)非常接近，在二結(jié)附近的數(shù)值迅速減小，可能引起很大誤差，所以單元各邊線性尺寸不能相差太大：一般：長(zhǎng)邊長(zhǎng)≤3短邊長(zhǎng)4、邊中結(jié)點(diǎn)的位置（1）邊中結(jié)點(diǎn)盡量處與兩角結(jié)點(diǎn)連線上。（2）盡量取在邊長(zhǎng)的中點(diǎn)上可以證明，當(dāng)x中結(jié)點(diǎn)取在1／4邊長(zhǎng)處時(shí)，，意味著σ→∞，稱為奇異點(diǎn)，但在斷裂力學(xué)中，用奇異性構(gòu)造奇異單元，以模擬縫端的奇異性。（5）利用過渡單元過渡元的母元（6）、采用等參元可達(dá)到以下3個(gè)目的1、改善計(jì)算精度，消除形函數(shù)誤差2、適應(yīng)曲線邊界，減小幾何誤差3、提高成果的確定性，給出指定點(diǎn)應(yīng)力，消除等參元成果的不確定性。（7）應(yīng)力成果的修勻有限元成果屬c°連續(xù)性問題，即場(chǎng)變量（位移u、v）在交界邊上連續(xù)，但其導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，即應(yīng)力不連續(xù)。需對(duì)應(yīng)力成果進(jìn)行修勻，修勻方法主要有：1、單元平均或結(jié)點(diǎn)平均三角形元———單元平均其它元————結(jié)點(diǎn)平均2、總體應(yīng)力磨平總體應(yīng)力磨平，計(jì)算工作量