多元函數(shù)微分學相關(guān)概念

多元函數(shù)微分學相關(guān)概念第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日重點多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日①掌握多元函數(shù)基本概念，會表示定義域，了解二元極限、連續(xù)②深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，③掌握全微分概念④會求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，⑤會求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，⑥會求多元函數(shù)極值基本要求第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日（1）鄰域（2）區(qū)域一、多元函數(shù)的概念第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日例如，即為開集．第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日例如，例如，連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．（3）聚點第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日說明：內(nèi)點一定是聚點；邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點．點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日（4）n維空間說明：n維空間的記號為

n維空間中兩點間距離公式第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日特殊地當時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．設(shè)兩點為第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日（5）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1求的定義域．解所求定義域為第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日（6）二元函數(shù)的圖形（如右圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日二、多元函數(shù)的極限第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。——這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等，建議自行復(fù)習，寫出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。說明：第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日證當時，原結(jié)論成立．例2求證第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日例3求極限解其中第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日確定極限不存在的方法：第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日利用點函數(shù)的形式有第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．三、多元函數(shù)的連續(xù)性第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日解取當時故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日（2）介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日思考題第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日不能.例取但是不存在.原因為若取思考題解答第二十七頁，共三十一