多元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)概念

多元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)概念第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日重點(diǎn)多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類(lèi)推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日①掌握多元函數(shù)基本概念，會(huì)表示定義域，了解二元極限、連續(xù)②深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，③掌握全微分概念④會(huì)求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，⑤會(huì)求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，⑥會(huì)求多元函數(shù)極值基本要求第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日（1）鄰域（2）區(qū)域一、多元函數(shù)的概念第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例如，即為開(kāi)集．第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例如，例如，連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．（3）聚點(diǎn)第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日（4）n維空間說(shuō)明：n維空間的記號(hào)為

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．設(shè)兩點(diǎn)為第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日（5）二元函數(shù)的定義類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈谑?yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日（6）二元函數(shù)的圖形（如右圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二、多元函數(shù)的極限第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。——這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫(xiě)出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。說(shuō)明：第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例2求證第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例3求極限解其中第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日確定極限不存在的方法：第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日利用點(diǎn)函數(shù)的形式有第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．三、多元函數(shù)的連續(xù)性第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日解取當(dāng)時(shí)故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日（2）介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日思考題第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日不能.例取但是不存在.原因?yàn)槿羧∷伎碱}解答第二十七頁(yè)，共三十一