充分條件與要條件·典型例題

充分條件與必要條件·典型例題能力素質(zhì)例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，q：x1＋x2＝－5，則p是q的[]A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件分析利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，∴x1，x2的值分別為1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此選A．說明：判斷命題為假命題可以通過舉反例．例2p是q的充要條件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．p：a≠0，q：關(guān)于x的方程ax＝1有惟一解分析逐個驗證命題是否等價．解對A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要條件；對B．pq但qp，p是q的充分非必要條件；對C．pq且qp，p是q的必要非充分條件；說明：當(dāng)a＝0時，ax＝0有無數(shù)個解．例3若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的[]A．充分條件C．充要條件B．必要條件D．既不充分也不必要條件分析通過B、C作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D．解∵A是B的充分條件，∴AB①∵D是C成立的必要條件，∴CD②由①③得AC④由②④得AD．∴D是A成立的必要條件．選B．說明：要注意利用推出符號的傳遞性．例4設(shè)命題甲為：0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的[]A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件分析先解不等式再判定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不必要條件，選A．說明：一般情況下，如果條件甲為x∈A，條件乙為x∈B．當(dāng)且僅當(dāng)A＝B時，甲為乙的充要條件．例5設(shè)A、B、C三個集合，為使A(B∪C)，條件AB是[]A．充分條件C．充要條件B．必要條件D．既不充分也不必要條件分析可以結(jié)合圖形分析．請同學(xué)們自己畫圖．∴A(B∪C)．但是，當(dāng)B＝N，C＝R，A＝Z時，顯然A(B∪C)，但AB不成立，綜上所述：“AB”“A(B∪C)”，而“A(B∪C)”“AB”．即“AB”是“A(B∪C)”的充分條件(不必要)．選A．說明：畫圖分析時要畫一般形式的圖，特殊形式的圖會掩蓋真實情況．例6給出下列各組條件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要條件的有[]A．1組B．2組C．3組D．4組分析使用方程理論和不等式性質(zhì)．解(1)p是q的必要條件(2)p是q充要條件(3)p是q的充分條件(4)p是q的必要條件．選A．說明：ab＝0指其中至少有一個為零，而a2＋b2＝0指兩個都為零．分析將前后兩個不等式組分別作等價變形，觀察兩者之間的關(guān)系．點(diǎn)擊思維例8已知真命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，則“c≤d”是“e≤f”的________條件．分析∵a≥bc＞d(原命題)，∴c≤da＜b(逆否命題)．而a＜be≤f，∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分條件．答填寫“充分”．說明：充分利用原命題與其逆否命題的等價性是常見的思想方法．例9ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件是[]A．0＜a≤1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1D．0＜a≤1或a＜0分析此題若采用普通方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，可通過選項提供的信息，用排除法解之．當(dāng)a＝1時，方程有負(fù)根x＝－1，當(dāng)a＝0時，x＝當(dāng)a≠0時綜上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件是a≤1．說明：特殊值法、排除法都是解選擇題的好方法．例10已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s，r，p分別是q的什么條件？分析畫出關(guān)系圖1－21，觀察求解．解s是q的充要條件；(sr是q的充要條件；(rq，qp是q的必要條件；(qrq，qs)sr)srp)說明：圖可以畫的隨意一些，關(guān)鍵要體現(xiàn)各個條件、命題之間的邏輯關(guān)系．例11關(guān)于x的不等式分析化簡A和B，結(jié)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}B＝{x|2≤x≤3a＋1}．B＝{x|3a＋1≤x≤2}說明：集合的包含關(guān)系、命題的真假往往與解不等式密切相關(guān)．在解題時要理清思路，表達(dá)準(zhǔn)確，推理無誤．學(xué)科滲透要條件？分析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系．說明：分類討論要做到不重不漏．例13設(shè)α，β是方程x2－ax＋b＝0的兩個實根，試分析a＞2且b＞1是兩根α，β均大于1的什么條件？分析把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系，解題時需∴qp．上述討論可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分條件．說明：本題中的討論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用．高考巡禮例14(1991年全國高考題)設(shè)甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么[]A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙