第7章三維變換及三維觀察

第7章三維變換及三維觀察本章要解決的問題：?如何對三維圖形進行方向、尺寸和形狀方面的變換?如何進行投影變換?如何方便地實現(xiàn)在顯示設(shè)備上對三維圖形進行觀察7.1三維變換的基本概念■三維齊次坐標變換矩陣■幾何變換圖形的幾何變換是指對圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。?點的矩陣變換?線框圖的變換?用參數(shù)方程描述的圖形的變換■平面幾何投影投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測圖。觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變換。

投影中心、投影面、投影線：

平面幾何投影可分為兩大類：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的■觀察投影7.2三維幾何變換■三維基本幾何變換

?三維基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換。?假設(shè)三維形體變換前一點為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。平移變換比例變換

局部比例變換整體比例變換

例：對如圖7-6所示的長方形體進行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長方形體各點坐標。

旋轉(zhuǎn)變換右手規(guī)則繞z軸旋轉(zhuǎn)繞x軸旋轉(zhuǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)對稱變換

關(guān)于yoz平面對稱關(guān)于xoy平面對稱關(guān)于zox平面對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于z軸對稱錯切變換一般形式沿x方向錯切

沿z方向錯切

沿y方向錯切

逆變換所謂逆變換即是與上述變換過程的相反的變換平移的逆變換局部比例逆變換整體比例逆變換旋轉(zhuǎn)的逆變換■三維復合變換相對任一參考點的三維變換相對于參考點F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯切等變換的過程分為以下三步：(1)將參考點F移至坐標原點(2)針對原點進行三維幾何變換(3)進行反平移例：相對于F(xf,yf,zf)點進行比例變換T=Tt(-Tx,-Ty,-Tz)?Ts(Sx,Sy,Sz)?Tt(Tx,Ty,Tz)繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換問題：如何求出為TRAB。

分析：公式推導：①將坐標原點平移到A點②將O'B'繞x'軸逆時針旋轉(zhuǎn)α角，則O'B旋轉(zhuǎn)到x'o'z'平面上③將O'B繞y'軸順時針旋轉(zhuǎn)β角，則O'B旋轉(zhuǎn)到z'軸上。④經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z'軸重合，此時繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。⑤最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來的位置。類似地，針對任意方向軸的變換的五個步驟：①使任意方向軸的起點與坐標原點重合，此時進行平移變換。②使方向軸與某一坐標軸重合，此時需進行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。③針對該坐標軸完成變換。④用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。⑤用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。7.3平行投影平行投影可分成兩類：正投影和斜投影?！稣队罢队坝挚煞譃椋喝晥D和正軸測圖。當投影面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測圖。

三視圖包括主視圖（xoz面）、側(cè)視圖（yoz面）和俯視圖（xoy面）三種。三視圖的計算步驟：(1)確定三維形體上各點的位置坐標。(2)引入齊次坐標，求出所作變換相應的變換矩陣。(3)將所作變換用矩陣表示，通過運算求得三維形體上各點(x,y,z)經(jīng)變換后的相應點(x',y')或(y',z')。(4)由變換后的所有二維點繪出三維形體投影后的三視圖。

主視圖的變換矩陣：俯視圖的變換矩陣：繞X軸旋轉(zhuǎn)-90o于是得：側(cè)視圖的變換矩陣：繞Z軸旋轉(zhuǎn)90o于是得：正軸測圖分等軸測、正二測和正三測三種。等軸測：投影面與三個坐標軸之間的夾角都相等正二測：投影面與兩個坐標軸之間的夾角相等正三測：投影面與三個坐標軸之間的夾角都不相等正軸測圖的投影變換矩陣：分析公式推導：(1)先繞y軸順時針旋轉(zhuǎn)α角(2)再繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)β角(3)將三維形體向xoy平面作正投影

最后得到正軸測圖的投影變換矩陣正等測圖：可推出：α=45°β=35°將α和β的值代入T得到正等測圖的投影變換矩陣：正二測圖：分析：將α值代入T式得到正二測圖的投影變換矩陣：

特點分析：可見多面，主軸方向可量距離。正三測圖的投影變換矩陣見前述T.■斜投影即斜軸測圖，是將三維形體向一個單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常用的斜軸測圖有斜等測圖和斜二測圖。op=op’op=2op’斜軸測圖的形成:通常β取30°或45°。斜平行投影的投影變換矩陣為：對于斜等測圖有：α=45?,ctgα=1斜二測圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/2對于斜等測圖有：α=45?,ctgα=1斜二測圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/27.4透視投影分析：

假定投影中心在（0,0,-d)處：滅點：?不平行于投影面的平行線的投影會匯聚到一個點，這個點稱為滅點(VanishingPoint)。?坐標軸方向的平行線在投影面上形成的滅點稱作主滅點。?一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標軸正交，與另外兩個坐標軸平行。?兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行。?三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交?！鲆稽c透視分析：要考慮下列幾點：(1)三維形體與畫面（投影面）的相對位置；(2)視距，即視點（投影中心）與畫面的距離；(3)視點的高度。

假定視點（投影中心）在原點，畫面（投影面）與z軸垂直（z=d）。一點透視的步驟：(1)將三維形體平移到適當位置l、m、n；(2)令視點在z軸，進行透視變換；(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結(jié)果變換到xoy平面上。例：試繪制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點透視圖。假定l=0.8,m=-1.6,n=-2,d=-2.5化規(guī)范化齊次坐標：■二點透視構(gòu)造二點透視的一般步驟：(1)先將三維形體平移到適當位置，使視點有一定高度，且使形體的主要表面不會積聚成線；(2)將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)一個φ角(φ＜90?)，方向滿足右手定則；(3)進行透視變換(4)最后向xoy面作正投影，即得二點透視圖。令s=sinφ,c=cosφ,則得二點透視的變換矩陣為：例：試繪制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點透視圖。令p=-0.1,q=0,r=-0.45,φ=300,l=n=0,m=-1.4則可得二點透視的變換矩陣為：化規(guī)范化齊次坐標：■三點透視同樣可以簡單的構(gòu)造三點透視圖：(1)首先將三維形體平移到適當位置；(2)將形體進行透視變換(3)然后使形體先繞y軸旋轉(zhuǎn)φ角；(4)再繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角；(5)將變形且旋轉(zhuǎn)后的形體向xoy面作正投影。令s1=sinφ,c1=cosφ,s2=sinθ,c2=cosθ,則得三點透視的變換矩陣為：7.5觀察坐標系及觀察空間引入觀察坐標系及觀察空間主要想解決的問題：（1）在投影時便于保留指定的形體而去掉其他形體—通過指定觀察空間。（2）在不斷改變投影方向時便于確定視點位置和投影平面—通過重新建立觀察坐標系?！鲇^察坐標系觀察參考坐標系（ViewReferenceCoordinate）觀察參考點（ViewReferencePoint）觀察平面（ViewPlane），即投影平面。觀察坐標系（uvn坐標系）的建立法矢量N、法矢量V、法矢量U改變參考點的位置就可方便達到觀察形體的不同部位。■觀察空間觀察空間通過指定觀察窗口得到。觀察窗口：

觀察空間：無限觀察空間、有限觀察空間需注意，對于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。

規(guī)范化觀察空間:平行投影的規(guī)范化觀察空間定義為：透視投影的規(guī)范化觀察空間為：

7.6三維觀察流程■用戶坐標系到觀察坐標系的變換具體變換步驟：(1)平移觀察參考點到用戶坐標系原點(2)進行旋轉(zhuǎn)變換分別讓xv、yv和zv軸對應到用戶坐標系中的x、y和z軸。T=?■平行投影的規(guī)范化投影變換平行投影的規(guī)范化投影變換可由以下三步組成:(1)將投影中心平移到觀察坐標系原點。(2)對坐標系進行錯切變換，使投影中心和窗口中心的連線錯切到zv軸(3)進行坐標的歸一化變換■透視投影的規(guī)范化投影變換透視投影的規(guī)范化投影變換分兩步進行：(1)透視投影觀察空間—透視投影規(guī)范化觀察空間(2)透視投影規(guī)范化觀察空間—平行投影規(guī)范化觀察空間目的：便于裁剪變換步驟：(1)將投影中心平移到觀察坐標系原點(2)對坐標系進行錯切變換(3)進行比例變換（規(guī)范化）。(4)將透視投影的規(guī)范化觀察空間變換為平行投影的規(guī)范化觀察空間。

7.7三維裁剪三維裁剪三維裁剪保留所有在觀察空間內(nèi)的圖形以便在輸出設(shè)備中顯示，所有在觀察空間外的圖形被丟棄。三維直線段的裁剪

直線與平面求交（交點）多邊形面的裁剪

多邊形與平面求交（交線）四維齊次坐標表示的圖形裁剪：一是將齊次坐標轉(zhuǎn)換為三維坐標，在三維空間中關(guān)于規(guī)范化觀察空間剪裁；一是直接在齊次坐標空間中進行裁剪?！鲫P(guān)于規(guī)范化觀察空間的裁剪平行投影的三維編碼裁剪：規(guī)范化觀察空間6個面的方程：xv=1,xv=-1yv=1,yv=-1zv=0,zv=16個面將空間劃分為27個區(qū)域，直線段端點的編碼為6位：D5D4D3D2D1D0編碼規(guī)則：若x>1則D0=1,否則D0=0若x<-1則D1=1,否則D1=0若y>1則D2=1,否則D2=0若y<-1則D3=1,否則D3=0若z<0則D4=1,否則D4=0若z>1則D5=1,否則D5=0算法實現(xiàn)步驟參照二維情形。透視投影的三維編碼裁剪：規(guī)范化觀察空間6個面的方程：xv=zv,xv=-zvyv=zv,yv=-zvzv=zmin,zv=16個面將空間劃分為27個區(qū)域，直線