自控原理(第八章)

第八章

非線性控制系統(tǒng)分析8-1非線性控制系統(tǒng)概述1.

研究非線性控制理論的意義以上各章詳細(xì)地討論了線性定?？刂葡到y(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。但實(shí)際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，因?yàn)榻M成控制系統(tǒng)的各元件的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性。以隨動(dòng)系統(tǒng)為例，1)放大元件由于受電源電壓或輸出功率的限制，在輸入電壓超過(guò)放大器的線性工作范圍時(shí)，輸出呈飽和現(xiàn)象，如圖8-l(a)所示；2)執(zhí)行元件電動(dòng)機(jī)，由于軸上存在著摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在電樞電壓達(dá)到一定數(shù)值后，電機(jī)才會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，存在著死區(qū)，而當(dāng)電樞電壓超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速將不再增加，出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，其特性如圖

8-l

(b)

所示；3)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，受加工和裝配精度的限制，換向時(shí)存在著間隙特性，如圖

8-1

(c)

所示。圖8-1幾種典型的非線性特性

在圖8-2所示的柱形液位系統(tǒng)中，設(shè)H

為液位高度，Qi

為液體流入量，Qo為液體流出量，C為貯槽的截面積。根據(jù)水力學(xué)原理：

(8-1)

其中比例系數(shù)

k

取決于液體的粘度和閥阻。液位系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：

(8-2)

圖8-2液位系統(tǒng)顯然，液位

H

和液體輸入量Qi的數(shù)學(xué)關(guān)系式為非線性微分方程。由此可見(jiàn)，實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在非線性因素。當(dāng)系統(tǒng)中含有一個(gè)或多個(gè)具有非線性特性的元件時(shí)，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。一般地，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為：(8-3)其中，f()

和g()為非線性函數(shù)。

1)

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)非線性程度不嚴(yán)重時(shí)，可以忽略非線性特性的影響，從而可將非線性環(huán)節(jié)視為線性環(huán)節(jié)；2)當(dāng)系統(tǒng)方程解析且工作在某一數(shù)值附近的較小范圍內(nèi)時(shí)，可運(yùn)用小偏差法將非線性模型線性化。忽略非線性特性的影響或作小偏差線性化處理后，非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，因此可以采用線性定常系統(tǒng)的方法加以分析和設(shè)計(jì)。但是，對(duì)于非線性程度比較嚴(yán)重，且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)，只有使用非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法，才能得到正確的結(jié)果。2.非線性系統(tǒng)的特征線性系統(tǒng)的重要特征是可以應(yīng)用線性疊加原理。由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應(yīng)用。能否應(yīng)用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。

非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)主要有以下特點(diǎn)：(1)穩(wěn)定性分析復(fù)雜

按照平衡狀態(tài)的定義，在無(wú)外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。顯然，對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)y

=0，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性即為該平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條件無(wú)關(guān)。但是，對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，則穩(wěn)定性問(wèn)題變得較為復(fù)雜。首先，系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)?？紤]下述非線性一階系統(tǒng)：

(8-6)

令=

0，可知該系統(tǒng)存在兩個(gè)平衡狀態(tài)x

=

0

和

x

=1，為了分析各個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，需要求解式(8-6)。設(shè)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

x0，由式(8-6)得：積分得：

(8-7)

或：相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)，會(huì)隨初始條件而改變。

1)當(dāng)

x0>1，t

<

ln[x0/(x0-1)]

時(shí)，隨

t

增大，x(t)

遞增；當(dāng)t

=

ln[x0/(x0-1)]

時(shí)，x(t)為無(wú)窮大；3)當(dāng)

x0<1

時(shí)，x(t)

遞減并趨于0。不同初始條件下的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖8-3所示。考慮上述平衡狀態(tài)受小擾動(dòng)的影響。

平衡狀態(tài)x=l是不穩(wěn)定的，因?yàn)樯杂衅x,系統(tǒng)不能恢復(fù)至原平衡狀態(tài)；

而平衡狀態(tài)

x=0

在一定范圍的擾動(dòng)下

(x0<1

)

是穩(wěn)定的。由上例可見(jiàn)，非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。(2)可能存在自激振蕩現(xiàn)象所謂自激振蕩，是指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱自振。考慮著名的范德波爾方程：該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。當(dāng)擾動(dòng)使

x

<1時(shí)，因?yàn)?1x2)<0，系統(tǒng)具有負(fù)阻尼，此時(shí)系統(tǒng)從外部獲得能量，x(t)

的運(yùn)動(dòng)呈發(fā)散形式；當(dāng)

x

>1

時(shí)，因?yàn)?(1x2)

>0，系統(tǒng)具有正阻尼，此時(shí)系統(tǒng)消耗能量，x(t)

的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式；而當(dāng)

x=1

時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式。

必須指出，長(zhǎng)時(shí)間大幅度的振蕩會(huì)造成機(jī)械磨損，增加控制誤差，因此，多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自振發(fā)生。

上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動(dòng)對(duì)

x

的影響，保持幅值為1

的等幅振蕩，見(jiàn)圖8-5。(3)

頻率響應(yīng)發(fā)生畸變穩(wěn)定的線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出量是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，其幅值

A

和相位

為輸入正弦信號(hào)頻率

的函數(shù)。而非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，除了含有與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)分量

(基頻分量)

外，還含有關(guān)于

的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。3．非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法

系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的目的是通過(guò)求取系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式，以解決穩(wěn)定性問(wèn)題為中心，對(duì)系統(tǒng)實(shí)施有效的控制。由于非線性系統(tǒng)形式多樣，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，只能采用工程上適用的近似方法。本章重點(diǎn)介紹以下三種方法：(1)相平面法

相平面法是一種圖解分析方法。該方法通過(guò)在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。

(2)描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。該方法對(duì)于滿足結(jié)構(gòu)要求的一類非線性系統(tǒng)，通過(guò)諧波線性化，將非線性特性近似地表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。(3)逆系統(tǒng)法

逆系統(tǒng)法是運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問(wèn)題，不必求解非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的一個(gè)發(fā)展方向。8-2常見(jiàn)非線性特性

繼電器特性、死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性、摩擦特性這五種非線性特性是實(shí)際系統(tǒng)中常見(jiàn)的非線性因素。在很多情況下，非線性系統(tǒng)可以表示為在線性系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的輸入或輸出端加入非線性環(huán)節(jié)。因此，非線性元素的影響會(huì)使線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化。1.非線性特性的等效增益設(shè)非線性特性可以表示為：

(8-12)

將非線性特性視為一個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)的輸入為x，輸出為

y，按照線性系統(tǒng)中比例環(huán)節(jié)的描述，定義非線性環(huán)節(jié)輸出

y

和輸入

x

的比值為等效增益：

(8-l3)

應(yīng)當(dāng)指出，比例環(huán)節(jié)的增益為常值，其輸出和輸入呈線性關(guān)系；而式(8-12)所示非線性環(huán)節(jié)的等效增益為變?cè)鲆妫蚨蓪⒎蔷€性特性視為變?cè)鲆姹壤h(huán)節(jié)。

1)繼電器、接觸器、可控硅等電氣元件的特性，通常都表現(xiàn)為繼電器特性。

繼電特性的等效增益曲線如圖

8-6

(a)

所示。當(dāng)輸入

x

趨于零時(shí)，等效增益趨于無(wú)窮大；由于輸出

y

的幅值保持不變(或者為M，或者為M)，故當(dāng)

|x|

增大時(shí)，等效增益減??；|x|趨于無(wú)窮大時(shí)，等效增益趨于零。2)死區(qū)特性一般是由測(cè)量元件、放大元件及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)所造成的。死區(qū)特性的等效增益曲線如圖

8-6

(b)

所示。當(dāng)|x|<

時(shí)，k

=

0；當(dāng)

|x|>

時(shí)，k

為

|x|

的增函數(shù)，且隨|x|趨于無(wú)窮時(shí)，k

趨于

k0。3)放大器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電壓或功率的限制將導(dǎo)致飽和現(xiàn)象，等效增益曲線如圖

8-6

(c)所示。當(dāng)輸入

|x|≤a

時(shí)，輸出

y

隨輸入

x

線性變化，等效增益k

=

k0；當(dāng)|x|>a時(shí)，由于輸出量y

保持常值，k為|x|的減函數(shù)，且隨|x|趨于無(wú)窮而趨于零。

4)齒輪、蝸輪軸系的加工及裝配誤差或磁滯效應(yīng)是形成間隙特性的主要原因。以齒輪傳動(dòng)為例，一對(duì)嚙合齒輪，當(dāng)主動(dòng)輪驅(qū)動(dòng)從動(dòng)輪正向運(yùn)行時(shí)，若主動(dòng)輪改變方向，則需運(yùn)行兩倍的齒隙才可使從動(dòng)輪反向運(yùn)行，如圖8-6

(d)

所示，圖中

b

為間隙量。間隙特性為非單值函數(shù)：

(8-14)

根據(jù)式(8-14)分段確定等效增益，并作等效增益曲線如圖8-6

(d)所示。受間隙特性的影響，在主動(dòng)輪改變方向的瞬間和從動(dòng)輪由停止變?yōu)楦S主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬間

(x

=

(a2b)，等效增益曲線發(fā)生轉(zhuǎn)折；當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角過(guò)零時(shí)，等效增益發(fā)生+到

的跳變；在其它的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)上，等效增益的絕對(duì)值為|x|的減函數(shù)。4)摩擦特性是機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中普遍存在的非線性特性。摩擦力一般表示為三種形式的組合，如圖8-6(e)所示。圖中，F(xiàn)1

是物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)所需克服的靜摩擦力；當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)以后，則變?yōu)閯?dòng)摩擦力F2；第三種摩擦力為粘性摩擦力，與物體運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)平面相對(duì)速率成正比。摩擦特性的等效增益為物體運(yùn)動(dòng)速率的減函數(shù)。趨于無(wú)窮大時(shí)，等效增益趨于

k0；當(dāng)在零附近作微小變化時(shí)，由于靜摩擦力和動(dòng)摩擦力的突變式轉(zhuǎn)變，等效增益的變化非常劇烈。

非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式繼電器特性

繼電器特性如下圖所示：其數(shù)學(xué)表達(dá)示為：(2)死區(qū)特性死區(qū)特性如下圖所示：其數(shù)學(xué)表達(dá)示為：(3)飽和特性飽和特性如下圖所示：其數(shù)學(xué)表達(dá)示為：(4)間隙特性間隙特性如下圖所示：其數(shù)學(xué)表達(dá)示為：8-3相平面法

相平面法由龐加萊1885年首先提出。該方法通過(guò)圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀、準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)、穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。相軌跡的繪制方法步驟簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，特別適用于分析常見(jiàn)非線性特性和一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。1.相平面的基本概念

考慮可用下列常微分方程描述的二階時(shí)不變系統(tǒng)：(8-15)其中，是

x(t)

和

的線性或非線性函數(shù)。該方程的解可以用

x(t)

的時(shí)間函數(shù)曲線表示，也可以用和

x(t)

的關(guān)系曲線表示，而

t

為參變量。

x(t)

和稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相變量(狀態(tài)變量)。以

x(t)

為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)構(gòu)成的直角坐標(biāo)平面稱為相平面。

相變量從初始時(shí)刻

t0

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)(x0，)

起，隨著時(shí)間

t的推移,在相平面上運(yùn)動(dòng)所形成的曲線稱為相軌跡。在相軌跡上用箭頭符號(hào)表示參變量時(shí)間

t

的增加方向。根據(jù)微分方程解的存在與惟一性定理，對(duì)于任一給定的初始條件，相平面上有一條相軌跡與之對(duì)應(yīng)。多個(gè)初始條件下的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)多條相軌跡，形成相軌跡簇，而由一簇相軌跡所組成的圖形稱為相平面圖。若巳知x

和的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖8-10(b)，(c)所示，則可根據(jù)任一時(shí)間點(diǎn)的

x(t)

和的值，得到相軌跡上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并由此獲得一條相軌跡，如圖8-10

(a)所示。相軌跡在某些特定情況下，也可以通過(guò)積分法，直接由微分方程獲得和

x(t)

的解析關(guān)系式。因?yàn)椋?/p>

由式

(8-15)

得：(8-16)若該式可以分解為：

(8-17)兩端積分得：(8-18)

由此可得和x

的解析關(guān)系式，其中

x0

和為初始條件。[例8-1]

彈簧-質(zhì)量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖8-11所示，圖中

m

為物體的質(zhì)量，k

為彈簧的彈性系數(shù)，若初始條件為：試確定系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡。[解]描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程式為：

(8-19)將上式寫為：令：，則按式(8-18)，有：

整理得：

(8-20)該系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓，見(jiàn)圖8-12。2.相軌跡繪制的等傾線法

等傾線法是求取相軌跡的一種作圖方法，不需求解微分方程。對(duì)于求解困難的非線性微分方程，圖解方法顯得尤為實(shí)用。等傾線法的基本思想是先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場(chǎng)，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場(chǎng)逐步繪制相軌跡。由式(8-16)可得相軌跡微分方程為：(8-21)

該方程給出了相軌跡在相平面上任一點(diǎn)處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)

a，得等傾線方程：(8-22)由該方程可在相平面上作一條曲線，稱為等傾線。當(dāng)相軌跡經(jīng)過(guò)該等傾線上任一點(diǎn)時(shí)，其切線的斜率都相等，均為

a。取

a

為若干不同的常數(shù)，即可在相平面上繪制出若干條等傾線。在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為

a

的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場(chǎng)。在圖8-13中，已繪制某系統(tǒng)的等傾線和切線方向場(chǎng)，給定初始點(diǎn)，則相軌跡的繪制過(guò)程如下：由初始點(diǎn)出發(fā)，按照該點(diǎn)所處等傾線的短直線方向作一條小線段，并與相鄰一條等傾線相交；由該交點(diǎn)起，并按該交點(diǎn)所在等傾線的短直線方向作一條小線段，再與其相鄰的一條等傾線相交；循此步驟依次進(jìn)行，就可必獲得一條從初始點(diǎn)出發(fā)，由各小線段組成的折線，最后對(duì)該折線作光滑處理，即得到所求系統(tǒng)的相軌跡。

使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1)坐標(biāo)軸

x

和應(yīng)選用相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點(diǎn)的相軌跡切線；

2)在相平面的上半平面，由于>0，則

x

隨

t

的增大而增加，相軌跡的走向應(yīng)是由左向右；在相平面的下半平面<0,則

x

隨

t

增大而減小，相軌跡的走向應(yīng)由右向左；

3)除系統(tǒng)的平衡點(diǎn)外,

相軌跡與

x

軸相交點(diǎn)處切線的斜率應(yīng)為

或，即相軌跡與

x

軸垂直相交。

4)一般地，等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確。但隨所取等傾線的增加,

作圖產(chǎn)生的積累誤差會(huì)增大。為提高作圖精度,

可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線所對(duì)應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。

3.線性系統(tǒng)的相軌跡

線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，對(duì)于許多非線性一階和二階系統(tǒng)（系統(tǒng)中所含非線性環(huán)節(jié)可用分段折線表示），常可以分成多個(gè)區(qū)間進(jìn)行研究，而在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性可用線性微分方程描述。此外，對(duì)于某些非線性微分方程，為研究各平衡狀態(tài)附近的運(yùn)動(dòng)特性，可在平衡點(diǎn)附近作增量線性化處理，即對(duì)非線性微分方程兩端的各非線性函數(shù)作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并取一次項(xiàng)近似，獲得平衡點(diǎn)處的增量線性微分方程。下面研究線性一階、二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡，所得結(jié)論可作為非線性一階、二階系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。

(1)線性一階系統(tǒng)的相軌跡

描述線性一階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

相軌跡方程為：

(8-23)設(shè)系統(tǒng)初始條件為c(0)=c0，則，相軌跡如圖

8-14

所示。由圖8-14知，相軌跡位于過(guò)原點(diǎn)，斜率為

1/T

的直線上。當(dāng)

T

>0

時(shí)，相軌跡沿該直線收斂于原點(diǎn)；當(dāng)

T

<0

時(shí)，相軌跡沿該直線發(fā)散至無(wú)窮。(2)線性二階系統(tǒng)的相軌跡

描述線性二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

(8-24)當(dāng)

b>0

時(shí)，上述微分方程又可以表示為：

(8-25)線性二階系統(tǒng)的特征根：

(8-26)相軌跡微分方程為：(8-27)

令，可得等傾線方程為：(8-28)其中

k

為等傾線的斜率。當(dāng)

a24b>0，且

b≠0

時(shí)，可得滿足k=a的兩條特殊的等傾線，其斜率為：

(829)該式表明，特殊的等傾線的斜率等于位于該等傾線上相軌跡任一點(diǎn)的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至特殊的等傾線上時(shí)，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不可能脫離該等傾線。下面就參數(shù)

b<0，b=0

和

b>0

的七種不同情況進(jìn)行具體討論，其相軌跡曲線采用等傾線法或解析法繪制而得。1)b<0。系統(tǒng)特征根為：

s1、s2為兩個(gè)符號(hào)相反的互異實(shí)根，系統(tǒng)相平面圖見(jiàn)圖8-15。由圖可見(jiàn)，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其它相軌跡的漸近線，此外作為相平面的分隔線，還將相平面劃分為四個(gè)具有不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)域。當(dāng)初始條件位于對(duì)應(yīng)的相軌跡上時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將趨于原點(diǎn)，但只要受到極其微小的擾動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將偏離該相軌跡，并最終沿著

對(duì)應(yīng)的相軌跡的方向發(fā)散至無(wú)窮。因此，b<0時(shí)，線性二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。2)b=0。系統(tǒng)特征根為：

相軌跡微分方程為：(8-30)運(yùn)用積分法求得相軌跡方程：

(8-31)相平面圖見(jiàn)圖8-16，相軌跡為過(guò)初始點(diǎn)，斜率為

a

的直線。當(dāng)

a

>0

時(shí)，相軌跡收斂并最終停止在

c

軸上；a

<0時(shí)，相軌跡發(fā)散至無(wú)窮。3)b>0。取，并分以下幾種情況加以分析：①0<<1。系統(tǒng)特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。由時(shí)域分析知，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為衰減振蕩形式。取

=0.5，n=1，運(yùn)用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡如圖8-17所示。相軌跡為向心螺旋線，最終趨于原點(diǎn)。②

>1。系統(tǒng)特征根為兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根：，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非振蕩衰減形式，存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為：

(8-32)系統(tǒng)相平面圖見(jiàn)圖8-18。當(dāng)初始點(diǎn)落在或直線上時(shí)，相軌跡沿該直線趨于原點(diǎn)；除此之外，相軌跡最終沿著的方向收斂至原點(diǎn)，如圖8-19所示。③

=1。系統(tǒng)特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根。取n=1，其相平面圖見(jiàn)圖8-20。與

>1

相比，相軌跡的漸近線即特殊等傾線蛻化為一條，不同初始條件的相軌跡最終將沿著這條特殊的等傾線趨于原點(diǎn)。④

=0。系統(tǒng)特征根為一對(duì)純虛根s1,2=jn。系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)為等幅正弦振蕩。給定初始點(diǎn)，

仿照例8-1，采用直接積分方法可得系統(tǒng)的相軌跡方程：

顯然，上式為相平面的橢圓方程。系統(tǒng)的相平面圖為圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的一簇橢圓，見(jiàn)圖8-21。橢圓的橫軸和縱軸由初始條件給出。⑤1<<0。系統(tǒng)特征根為一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)呈發(fā)散振蕩形式。取

=0.5,

n=1時(shí)，系統(tǒng)相軌跡如圖8-22所示，為離心螺旋線，最終發(fā)散至無(wú)窮。⑥

1。<

1時(shí)采統(tǒng)特征根為兩個(gè)正實(shí)根：，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)呈非振蕩發(fā)散，系統(tǒng)相平面圖見(jiàn)圖8-23。如圖所示，存在兩條特殊的等傾線和。當(dāng)初始點(diǎn)落在這兩條直線上，則相軌跡沿該直線趨于無(wú)窮；當(dāng)初始點(diǎn)位于其余位置時(shí)，相軌跡發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)處，相軌跡曲線的形式與>1的情況相同，只是運(yùn)動(dòng)方向相反。

當(dāng)

=

1時(shí)，系統(tǒng)特征根為兩個(gè)相同的正實(shí)根，存在一條特殊的等傾線；系統(tǒng)相軌跡發(fā)散，如圖8-24所示。4.奇點(diǎn)和奇線系統(tǒng)分析的目的是確定系統(tǒng)所具有的各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其性質(zhì)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，平衡狀態(tài)和平衡狀態(tài)附近系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式以及極限環(huán)的存在制約著整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，為此必須加以討論和研究。(1)

奇點(diǎn)以微分方程表示的二階系統(tǒng)，其相軌跡上每一點(diǎn)切線的斜率為：若在某點(diǎn)處

和

同時(shí)為零，即有的不定形式，則稱該點(diǎn)為相平面的奇點(diǎn)。相軌跡在奇點(diǎn)處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點(diǎn)處可以按任意方向趨近或離開(kāi)奇點(diǎn)。因此，在奇點(diǎn)處，多條相軌跡相交；而在相軌跡的非奇點(diǎn)（稱為普通點(diǎn)）處，不能同時(shí)滿足=

0和=

0，相軌跡的切線斜率一定是一個(gè)確定的值，故經(jīng)過(guò)普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。由奇點(diǎn)定義知，奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上。

在奇點(diǎn)處：

=

0，

=

0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度同時(shí)為零。對(duì)于二階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)將不再發(fā)生運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)。故相平面的奇點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)。

線性系統(tǒng)為非線性二階系統(tǒng)的特殊情況。按前分析，特征根在

s

平面上的分布，決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的形式，因而可由此劃分線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)(0，0)的類型：

1)焦點(diǎn)。當(dāng)特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)特征根為一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。2)節(jié)點(diǎn)。當(dāng)特征艱為兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；特征根為兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。3)鞍點(diǎn)。當(dāng)特征根一個(gè)為正實(shí)根。一個(gè)為負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)的各個(gè)平衡點(diǎn)，若描述非線性過(guò)程的非線性函數(shù)解析時(shí)，可以通過(guò)平衡點(diǎn)處的線性化方程，基于線性系統(tǒng)特征根的分布，確定奇點(diǎn)的類型，進(jìn)而確定平衡點(diǎn)附近相軌跡的運(yùn)動(dòng)形式。

對(duì)于常微分方程

，若

解

析，設(shè)

為非線性系統(tǒng)的某個(gè)奇點(diǎn)，則可將

在奇點(diǎn)

處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),在奇點(diǎn)的小鄰域內(nèi),略去

x

=

xx0

和

的高次項(xiàng)，即取一次近似，則得到奇點(diǎn)附近關(guān)于

x

增量

x

的線性二階微分方程：

(8-38)

若

不解析，例如非線性系統(tǒng)中含有用分段折線表示的常見(jiàn)非線性因素，可以根據(jù)非線性特性，將相平面劃分為若干個(gè)區(qū)域，在各個(gè)區(qū)域，非線性方程中

或滿足解析條件或可直接表示為線性微分方程。當(dāng)非線性方程在某個(gè)區(qū)域可以表示為線性微分方程時(shí)，則奇點(diǎn)類型決定該區(qū)域系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的形式。若對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)位于本區(qū)域內(nèi)，則稱之為實(shí)奇點(diǎn)；若對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)位于其它區(qū)域，則稱為虛奇點(diǎn)。(2)奇線當(dāng)非線性系統(tǒng)存在多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，奇點(diǎn)類型只決定奇點(diǎn)附近相軌跡的運(yùn)動(dòng)形式，而整個(gè)系統(tǒng)的相軌跡，特別是離奇點(diǎn)較遠(yuǎn)的部分，還取決于多個(gè)奇點(diǎn)的共同作用，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的多個(gè)區(qū)域。這種特殊的相軌跡稱為奇線。最常見(jiàn)的奇線是極限環(huán)。極限環(huán)把相平面的某個(gè)區(qū)域劃分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分。極限環(huán)是非線性系統(tǒng)中的特有現(xiàn)象，它只發(fā)生在非守恒系統(tǒng)中，產(chǎn)生的原因是由于系統(tǒng)中非線性特性的作用，使得系統(tǒng)能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運(yùn)動(dòng)形式。

根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，可將極限環(huán)分為三種類型：

1)穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡最終都卷向極限環(huán)，則該極限環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)，其內(nèi)部和外部均為該極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域。穩(wěn)定的極限環(huán)對(duì)狀態(tài)的較小擾動(dòng)具穩(wěn)定性。系統(tǒng)沿極限環(huán)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為自激振蕩。

2)不穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡最終均卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。不穩(wěn)定的極限環(huán)所表示的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，因?yàn)榧词瓜到y(tǒng)狀態(tài)沿該極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，但狀態(tài)的微小擾動(dòng)都將使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)偏離該閉合曲線，并將永遠(yuǎn)回不到該閉合曲線。不穩(wěn)定極限環(huán)的鄰近范圍其內(nèi)部及外部均為該極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。

3)半穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部的相軌跡均卷向極限環(huán)，外部的相軌跡均卷離極限環(huán)，或者內(nèi)部的相軌跡均卷離極限環(huán)，外部的相軌跡均卷向極限環(huán)，則這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。對(duì)于半穩(wěn)定極限環(huán)，相軌跡均卷向極限環(huán)的內(nèi)部或外部鄰域?yàn)樵摌O限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域，相軌跡均卷離極限環(huán)的外部或內(nèi)部鄰域?yàn)樵摌O限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。應(yīng)當(dāng)指出，只有穩(wěn)定的極限環(huán)所對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中才可以觀察得到。[例8-2]

已知非線性系統(tǒng)的微分方程為：

(8-39)試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。[解]系統(tǒng)相軌跡微分方程為：

令，則求得系統(tǒng)的兩個(gè)奇點(diǎn)：

為確定奇點(diǎn)類型，需計(jì)算各奇點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)及增量線性化方程。奇點(diǎn)(0，0)處：

特征根為s1,2=

0.25

j1.39，故奇點(diǎn)(0，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。奇點(diǎn)(2，0)處：特征根為s1=1.19，

s2=1.69，故奇點(diǎn)(2，0)為鞍點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)的位置和奇點(diǎn)類型，結(jié)合線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類型和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，繪制本系統(tǒng)在各奇點(diǎn)附近的相軌跡，再使用等傾線法，繪制其它區(qū)域的相軌跡，獲得系統(tǒng)的相平面圖，見(jiàn)圖8-25。圖中相交于鞍點(diǎn)(2，0)的兩條相軌跡為奇線，將相平面劃分為兩個(gè)區(qū)域，相平面圖中陰影線內(nèi)區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，陰影線外區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域。凡初始條件位于陰影線內(nèi)區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)均收斂至原點(diǎn)；凡初始條件位于陰影線外區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)散至無(wú)窮大。該例說(shuō)明，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。5.由相軌跡求取時(shí)間間隔相軌跡能清楚地反映系統(tǒng)的狀態(tài)變化，而確定時(shí)間響應(yīng)、周期運(yùn)動(dòng)的周期和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，則涉及到由相軌跡確定參變量

t。從初始點(diǎn)起沿相軌跡運(yùn)動(dòng)方向選取若干點(diǎn)：

若計(jì)算出相鄰兩點(diǎn)的時(shí)間增量

ti，則系統(tǒng)從初態(tài)

運(yùn)動(dòng)至的時(shí)間：

因而時(shí)間

t

的計(jì)算歸結(jié)為相軌跡上相鄰兩點(diǎn)時(shí)間增量的計(jì)算。一般有以下三種方法：(1)增量法設(shè)相軌跡上兩點(diǎn)的位移增量較小，設(shè)為兩點(diǎn)處相軌跡狀態(tài)即速度變量的平均值，則：

在選擇相軌跡穿過(guò)橫軸段的點(diǎn)時(shí)，應(yīng)避免出現(xiàn)=0

的情況。最直接的方法，是將其中一點(diǎn)選在橫軸上。(2)積分法因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)時(shí)間為t1，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)時(shí)間為t2，則：

將兩點(diǎn)間的相軌跡取倒數(shù)，如圖8-26所示。計(jì)算陰影區(qū)面積，即可得t。(3)圓弧法這種方法的基本思想是在橫軸上確定圓心和半徑，用對(duì)應(yīng)圓上的一段圓弧近似表示相軌跡上的兩點(diǎn)之間的曲線，再計(jì)算系統(tǒng)沿諸圓弧運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間。

設(shè)圓心坐標(biāo)為(A，0)，半徑為

r，圓心到和的連線與

x

軸正方向的夾角分別為

1

和2

(1,2<

0)，對(duì)圓弧上任一點(diǎn)：

則dx

=

rsind

式(842)轉(zhuǎn)化為：(8-43)6.

非線性系統(tǒng)的相平面分析常見(jiàn)非線性特性多數(shù)可用分段直線來(lái)表示，或者本身就是分段線性的。

根據(jù)非線性的分段特點(diǎn)，將相平面分成若干區(qū)域進(jìn)行研究，可使非線性微分方程在各個(gè)區(qū)域表現(xiàn)為線性微分方程，再應(yīng)用線性系統(tǒng)的相平面分析方法，則問(wèn)題將迎刃而解。這一類非線性特性曲線的折線的各轉(zhuǎn)折點(diǎn)，構(gòu)成相平面區(qū)域的分界線，稱為開(kāi)關(guān)線。下面通過(guò)具有幾種典型非線性特性的控制系統(tǒng)的研究，具體介紹該方法的應(yīng)用。(1)具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-28所示，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸入r(t)=R1(t)

根據(jù)圖8-28，可列寫系統(tǒng)的微分方程如下：為便于分析，取作為狀態(tài)變量，并按特性曲線分區(qū)域列寫微分方程式：

顯然e=

和e=

為死區(qū)特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，亦為相平面的開(kāi)關(guān)線。代入

r

(t)

形式，因?yàn)椋?，整理得：若給定參數(shù)T

=1，Kk

=1，根據(jù)線性系統(tǒng)相軌跡分析結(jié)果

t

可得奇點(diǎn)類型：

由零初始條件：和r

(t)=R1(t)得：根據(jù)區(qū)域奇點(diǎn)類型及對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式，作相軌跡如圖8-29實(shí)線所示。由圖可知，各區(qū)域的相軌跡運(yùn)動(dòng)形式由該區(qū)域的線性微分方程的奇點(diǎn)類型決定，相軌跡在開(kāi)關(guān)線上改變運(yùn)動(dòng)形式，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，而穩(wěn)態(tài)誤差的大小取決于系統(tǒng)參數(shù)，亦與輸入和初始條件有關(guān)。若用比例環(huán)節(jié)

k

=1

代替死區(qū)特性，即無(wú)死區(qū)影響時(shí)，線性二階系統(tǒng)的相軌跡如圖8-29中虛線所示。由此亦可以比較死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。(2)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖8-30所示。圖中T=1，K=4，e0=M0=0.2，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。取狀態(tài)變量為e(t)

和，按飽和特性可列寫以下三個(gè)線性微分方程：可知開(kāi)關(guān)線e=

e0

和e

=

e0

將相平面分為負(fù)飽和區(qū)、線性區(qū)和正飽和區(qū)。下面分別研究系統(tǒng)在r

(t)=R1(t)

和

r

(t)

=

V0

t。t作用下的相軌跡。

1)

r

(t)=R1(t)。整理式(8-47)得：

這里涉及到在飽和區(qū)需要確定形如下式的的相軌跡：由上式得相軌跡微分方程：

相軌跡無(wú)奇點(diǎn)，而等傾線方程：

為一簇平行于橫軸的直線，其斜率

k

均為零。令

=

0得

，即為特殊的等傾線(

k

==

0

)。代入給定參數(shù)求得線性區(qū)的奇點(diǎn)為原點(diǎn)，且為實(shí)奇點(diǎn)，其特征根為

所以奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。由零初始條件和輸入r

(t)=R1(t)

得：e(0)=R，

。

取R＝2繪制系統(tǒng)的相軌跡，如圖8-31所示。由圖可見(jiàn)，相軌跡在e

<

e0

區(qū)域漸近趨近的等傾線；在e

>e0

區(qū)域，漸近趨近于的等傾線。相軌跡雖終趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

仿照1）討論，在給定參數(shù)值下，線性區(qū)間奇點(diǎn)

(V0/K，0)

為穩(wěn)定焦點(diǎn)；負(fù)飽和區(qū)內(nèi)特殊的等傾線為(

k

==

0

)；正飽和區(qū)內(nèi)特殊的等傾線為：(

k

==

0

)。綜上知，

r

(t)=V0t

對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，與r

(t)=R1(t)

的情況相比較，奇點(diǎn)將沿橫軸向右平移V0/K，兩條特殊的等傾線將沿縱軸向上平移V0。對(duì)于初始條件。由于：而正因?yàn)槠纥c(diǎn)和特殊的等傾線的平移使奇點(diǎn)的虛實(shí)發(fā)生變化，特別是系統(tǒng)相軌跡的運(yùn)動(dòng)變得復(fù)雜，因此需根據(jù)參數(shù)

K

及輸入系數(shù)V0，分別加以研究，下面僅討論其中的三種情況。當(dāng)V0=1.2

>

KM0

時(shí)。線性區(qū)內(nèi)，相軌跡奇點(diǎn)

(0.3，0)

為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為虛奇點(diǎn)，飽和區(qū)的兩條特殊的等傾線均位于相平面的上半平面。系統(tǒng)的相平面圖如圖8-32(a)所示，起始于任何初始點(diǎn)的相軌跡將沿正飽和區(qū)的特殊相軌跡發(fā)散至無(wú)窮。當(dāng)

V0

=

0.4<KM0

時(shí)，線性區(qū)內(nèi)，相軌跡奇點(diǎn)

(0.1，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為實(shí)奇點(diǎn)；負(fù)飽和區(qū)和正飽和區(qū)的兩條特殊的等傾線分別位于的上半平面和下半平面。系統(tǒng)的相平面圖如圖8-32(b)所示，起始于任何初始點(diǎn)的相軌跡最終都收斂于(0.1，0)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1。當(dāng)V0

=

0.8=KM0

時(shí)，線性區(qū)內(nèi)，相軌跡奇點(diǎn)(0.2，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，為實(shí)奇點(diǎn)，且位于開(kāi)關(guān)線e=e0

上。正飽和區(qū)的線性微分方程為：按線性系統(tǒng)相軌跡分析知，

該區(qū)域內(nèi)的相軌跡是斜率為1/T

的直線，橫軸上大于

e0

的各點(diǎn)皆為奇點(diǎn)，起始于任何初始點(diǎn)的相軌跡最終都會(huì)落在e>e0

的橫軸上。系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，大小取決于初始條件。相平面圖為圖8-32(c)。(3)具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-33所示，H(s)為反饋網(wǎng)絡(luò)，r(t)=0。1)

單位反饋H(s)=l。根據(jù)滯環(huán)繼電特性分區(qū)間列寫微分方程如下：

由式(8-51)易知，三條開(kāi)關(guān)線：將相平面劃分為左右兩個(gè)區(qū)域。根據(jù)式(8-49)的分析結(jié)果，左區(qū)域內(nèi)存在一條特殊的相軌跡(

k

==

0

)，右區(qū)域內(nèi)亦存在一條特殊的相軌跡。所繪制的系統(tǒng)相平面圖如圖8-34所示。

橫軸上區(qū)間(h，h)為發(fā)散段,即初始點(diǎn)位于該線段時(shí)，相軌跡運(yùn)動(dòng)呈向外發(fā)散形式，初始點(diǎn)位于該線段附近時(shí)也同樣向外發(fā)散；而由遠(yuǎn)離該線段的初始點(diǎn)出發(fā)的相軌跡均趨向于兩條特殊的等傾線，即向內(nèi)收斂，故而介于從內(nèi)向外發(fā)散和從外向內(nèi)收斂的相軌跡之間，存在一條閉合曲線，構(gòu)成極限環(huán)。按極限環(huán)定義，該極限環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)。因此在無(wú)外作用下，不論初始條件如何，系統(tǒng)最終都將處于自振狀態(tài)。而在輸人為r

(t)=R1(t)

條件下，仍有：系統(tǒng)狀態(tài)仍將最終處于自振狀態(tài)?？梢?jiàn)滯環(huán)特性惡化了系統(tǒng)的品質(zhì)，使系統(tǒng)處于失控狀態(tài)。

2)速度反饋H(s)=1+

s(0

<

<T

)。滯環(huán)非線性因素對(duì)系統(tǒng)影響的定性分析和相平面法分析表明，滯環(huán)的存在導(dǎo)致了控制的滯后，

為補(bǔ)償其不利影響，

引入輸出的速度反饋，以期改善非線性系統(tǒng)的品質(zhì)。加入速度反饋控制以后，

非線性系統(tǒng)在無(wú)輸入作用下的微分方程為：

由滯環(huán)繼電特性可知，式(8-53)中方程的第二個(gè)條件只是在區(qū)域內(nèi)保持非線性環(huán)節(jié)輸出為

KM0或KM0

的條件。設(shè)直線。當(dāng)相軌跡點(diǎn)位于第Ⅳ象限()

且位于L1

上方以及L1

上時(shí):故當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至

A1

點(diǎn)后，非線性環(huán)節(jié)輸出仍將保持KM0

，系統(tǒng)仍將按H(s)=1時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)至A2

點(diǎn)。此時(shí)，非線性環(huán)節(jié)輸出切換為KM0

。當(dāng)相軌跡點(diǎn)位于第Ⅱ象限且位于L2下方以及L2

上時(shí)的運(yùn)動(dòng)，可仿上分析。由此可知，三條開(kāi)關(guān)線：將相平面劃分為左右兩個(gè)區(qū)域，相平面圖如圖8-35所示。且且且與單位反饋時(shí)的切換線相比，引入速度反饋后，開(kāi)關(guān)線反向旋轉(zhuǎn)，相軌跡將提前進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使得系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的超調(diào)量減小，極限環(huán)減小，同時(shí)也減小了控制的滯后。由于開(kāi)關(guān)線反向旋轉(zhuǎn)的角度

隨著速度反饋系數(shù)

的增大而增大，因此當(dāng)

0<

<T

時(shí)，系統(tǒng)性能的改善，將隨著的增大愈加明顯。一般來(lái)說(shuō)，控制系統(tǒng)可以允許存在較小幅值的自振蕩，因而通過(guò)引入速度反饋減小自振蕩幅值，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。8-4描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是達(dá)尼爾

(

P.J.Daniel

)

于1940

年首先提出的，其基本思想是；當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。描述函數(shù)法主要用來(lái)分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問(wèn)題，并且不受系統(tǒng)階次的限制，一般都能給出比較滿意的結(jié)果，因而獲得了廣泛的應(yīng)用。但是，描述函數(shù)法只能用來(lái)研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。1.描述函數(shù)的基本概念(1)

描述函數(shù)的定義設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為：

當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)：

時(shí)．可對(duì)非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出

y(t)

進(jìn)行諧波分析。一般情況下，y(t)為非正弦的周期信號(hào)，因而可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：其中，A0

為直流分量；Ynsin(nt+n)為第

n

次諧波分量，且有：

式中,An、Bn為傅里葉系數(shù)，以下式描述：

而直流分量：若A0=0且當(dāng)

n

>1

時(shí)，Yn

均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量：

上式表明，非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。為此，定義正弦輸入信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)表示：

[例8-3]

設(shè)繼電特性為：試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。[解]

一般情況下，描述函數(shù)

N

是輸入信號(hào)幅值

A

和頻率

的函數(shù)。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)中不包含儲(chǔ)能元件時(shí)，其輸出的一次諧波分量的幅值和相位差與

無(wú)關(guān)，故描述函數(shù)只與輸入信號(hào)幅值

A有關(guān)。

至于直流分量，若非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)為關(guān)于

t

的奇對(duì)稱函數(shù)，即：

則由式(8-58)得：

取變換，有：而當(dāng)非線性特性為輸入

x

的奇函數(shù)時(shí)，即f(x)=f(x)，有：即

y(t)

為

t

的奇對(duì)稱函數(shù)，直流分量為零。B1、

A1按下式計(jì)算：

關(guān)于描述函數(shù)計(jì)算，還具有以下特點(diǎn)。若y(t)為奇函數(shù)，即y(t)=

y(t)，則：若

y(t)

為奇函數(shù)，且又為半周期內(nèi)對(duì)稱時(shí)，即

y(t)=y(/t)

時(shí)：[例8-4]

設(shè)某非線性元件的特性為：

試計(jì)算其描述函數(shù)。[解]

因y(x)

為x

的奇函數(shù)，故A0=0。當(dāng)輸入x

=Asint

時(shí)

為

t

的奇函數(shù)，故A1。又因?yàn)?/p>

y(t)

具有半周期對(duì)稱，按式(8-66)有：由定積分公式：

得：

則該非線性元件的描述函數(shù)為：

(2)非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件

1)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡(jiǎn)化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖8-36所示。2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性y(x)

應(yīng)是x

的奇函數(shù)，即：f(x)=f(x)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對(duì)稱函數(shù)，即：y(t+/)=

y(t)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即

A0=0。

3)系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)時(shí)，實(shí)際輸出必定含有高次諧波分量，但經(jīng)線性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，因此閉環(huán)通道內(nèi)近似地只有一次諧波分量流通，從而保證應(yīng)用描述函數(shù)分析方法所得的結(jié)果比較準(zhǔn)確。對(duì)于實(shí)際的非線性系統(tǒng)，大部分都容易滿足這一條件。線性部分的階次越高，低通濾波性能越好；而欲具有低通濾波性能，線性部分的極點(diǎn)應(yīng)位于復(fù)平面的左半平。(3)

描述函數(shù)的物理意義線性系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出中與輸入同頻率的分量的幅值和相位相對(duì)于輸入信號(hào)的變化；而非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)則反映非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中一次諧波分量的幅值和相位相對(duì)于輸入信號(hào)的變化。因此忽略高次諧波分量，僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。2.典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性具有分段線性特點(diǎn)，描述函數(shù)的計(jì)算重點(diǎn)在于確定正弦響應(yīng)曲線和積分區(qū)間，一般采用圖解方法。下面針對(duì)兩種典型非線性特性，介紹計(jì)算過(guò)程和步驟。(1)死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)

將正弦輸入信號(hào)x(t)、非線性特性y(x)

和輸出信號(hào)y(t)的坐標(biāo)按圖8-37

所示方式和位置旋轉(zhuǎn)，由非線性特性的區(qū)間端點(diǎn)

(,y())和(a,y(a))

可以確定y(t)

關(guān)于

t

的區(qū)間端點(diǎn)1和2。死區(qū)飽和特性及其正弦響應(yīng)如圖8-37所示。輸出y(t)

的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：如圖所示，由非線性特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)

和

a，可確定

y(t)

產(chǎn)生不同線性變化的區(qū)間端點(diǎn)為：

由于

y(t)

為奇函數(shù)，所以A0=0，A1=0，而

y(t)

又為半周期內(nèi)對(duì)稱，故：死區(qū)飽和特性的描述函數(shù)為：

取

=0，由式(8-74)得飽和特性的描述函數(shù)為:

對(duì)于死區(qū)特性，2=/2。由式(8-73)得

a

/A=1，則由式(8-74)得死區(qū)特性的描述函數(shù)為：(2)

死區(qū)與滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)

注意到滯環(huán)與輸入信號(hào)及其變化率的關(guān)系，通過(guò)作圖法獲得y(t)如圖8-38所示。

輸出

y(t)

的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

圖中，由于非線性特性導(dǎo)致

y(t)

產(chǎn)生不同線性變化的區(qū)間端點(diǎn)為：

由圖可見(jiàn)，y(t)為奇對(duì)稱函數(shù)，而非奇函數(shù)，由式(8-64)得；

死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為：

取

h=0，得理想繼電特性的描述函數(shù)為：

取

m=1，得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為：取

m=

1，得滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為：表8-1列出了一些典型非線性特性的描述函數(shù)，以供查用。

3．非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化

前面有關(guān)非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析，是建立在圖8-36所示的典型結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上。當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)非線性環(huán)節(jié)和多個(gè)線性環(huán)節(jié)組合而成時(shí)，在一些情況下，可通過(guò)等效變換，使系統(tǒng)簡(jiǎn)化為典型結(jié)構(gòu)形式。等效變換的原則是在

r(t)

=

0

的條件下，根據(jù)非線性特性的串、并聯(lián)，簡(jiǎn)化非線性部分為一個(gè)等效非線性環(huán)節(jié)，再保持等效非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系不變，簡(jiǎn)化線性部分。(1)

非線性特性的并聯(lián)

若兩個(gè)非線性特性輸入相同，輸出相加、減，則等效非線性特性為兩個(gè)非線性特性的疊加。圖8-39為死區(qū)非線性和死區(qū)繼電非線性并聯(lián)的情況。

由描述函數(shù)定義，并聯(lián)等效非線性特性的描述函數(shù)為各非線性特性描述函數(shù)的代數(shù)和。(2)非線性特性的串聯(lián)

若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可采用圖解法簡(jiǎn)化。以圖8-40所示死區(qū)特性和死區(qū)飽和特性串聯(lián)簡(jiǎn)化為例。

通常，先將兩個(gè)非線性特性按圖8-41(a)，(b)形式放置，再按輸出端非線性特性的變化端點(diǎn)

2

和

a2

確定輸入

x

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

和

a，獲得等效非線性特性如圖8-4l(c)所示，最后確定等效非線性的參數(shù)。由

a2=K1(a1)

得：當(dāng)x

時(shí)，由

y

(x1)特性知，y

(x)=0；當(dāng)xa

時(shí)，由

y

(x1)

亦可知，y

(x)

=

K2(a22)；當(dāng)<x<a

時(shí)，y

(x1)

位于線性區(qū)，y

(x)

亦呈線性，設(shè)斜率為

K，即有：

特殊地，當(dāng)x

=a

時(shí)，x1

=a2，由于x1=2+K1(a)，故：a=(a22)/K1，因此K=K1K2。由

2=K1(1)

得：

應(yīng)該指出，兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后次序。調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。描述函數(shù)需按等效非線性環(huán)節(jié)的特性計(jì)算。多個(gè)非線性特性串聯(lián)，可按上述兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)簡(jiǎn)化方法，依由前向后順序逐一加以簡(jiǎn)化。(3)線性部分的等效變換

考慮圖8-42(a)示例，按等效變換原則，掉換綜合點(diǎn)，系統(tǒng)可表示為圖8-42(b)形式，再接線性系統(tǒng)等效變換得典型結(jié)構(gòu)形式，見(jiàn)圖8-42(c)。4.非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法若非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化后，具有圖8-36所示的典型結(jié)構(gòu)形式，且非線性環(huán)節(jié)和線性部分滿足描述函數(shù)法應(yīng)用的條件，則描述函數(shù)可以作為一個(gè)具有復(fù)變?cè)鲆娴谋壤h(huán)節(jié)。于是非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)諧波線性化后，已變成一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率域穩(wěn)定判據(jù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(1)變?cè)鲆婢€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為了應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們可以先來(lái)研究圖8-43

(a)所示線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中

K

為比例環(huán)節(jié)增益。設(shè)

G(s)

的極點(diǎn)均位于

s

的左半平面，即

P=0（見(jiàn)P197奈氏判劇），G(j)

的奈奎斯特曲線

G

如圖8-43(b)所示。

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：或：

由奈氏判據(jù)知，1)當(dāng)

G

曲線不包圍

(1/K,j0)

點(diǎn)時(shí)，即

Z=P2N=2N=0

。系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；2)當(dāng)

G

曲線包圍

(1/K,j0)

點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；3)當(dāng)

G

曲線穿過(guò)

(1/K,j0)

點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，將產(chǎn)生等幅振蕩。更進(jìn)一步，若設(shè)

K

在一定范圍內(nèi)可變。即有

K1KK2，則(1/K，j0)

為復(fù)平面實(shí)軸上的一段直線，若

G

曲線不包圍該直線，

則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；

而當(dāng)

G

包圍該直線時(shí)，

則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。(2)應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

上述分析為應(yīng)用描述函數(shù)判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性奠定了基礎(chǔ)。由于要求

G(s)

具有低通特性，故其極點(diǎn)均應(yīng)位于

s

的左半平面。當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：即：

稱

為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。在復(fù)平面上繪制

G

曲線和曲線時(shí)，

曲線上箭頭表示隨

A

增大，

的變化方向。若

G

曲線和

曲線無(wú)交點(diǎn)，表明式

(8-88)

無(wú)

的正實(shí)數(shù)解。圖

8-44

給出了這一條件下的兩種可能的形式。

圖8-44

(a)中，G

曲線包圍

曲線，對(duì)于非線性環(huán)節(jié)具有任一確定振幅

A

的正弦輸入信號(hào)，(,j0)

點(diǎn)被

G

包圍，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，A

將增大，并最終使

A

增大到極限位置或使系統(tǒng)發(fā)生故障。

圖8-44(b)中，G

曲線不包圍

曲線，對(duì)于非線性環(huán)節(jié)的具有任一確定振幅

A

的正弦信號(hào)，[

Re(

),Im(

)]

點(diǎn)不被

G

曲線包圍，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，A

將減小，并最終使

A

減小為零或使非線性環(huán)節(jié)的輸入值為某定值，或位于該定值附近較小的范圍。

綜上可得，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：若G

曲線不包圍

曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若

G

曲線

包圍曲線，則非線性系統(tǒng)

不穩(wěn)定。[例8-5]

已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-45所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]

對(duì)于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率：

非線性環(huán)節(jié)為庫(kù)侖摩擦加黏性摩擦，由表8-1得：

作

G

曲線和