《數(shù)據(jù)的數(shù)字特征》設(shè)計(jì)

5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征【教學(xué)目標(biāo)】1.會(huì)求一組數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、方差.2．理解上述數(shù)字特征的意義，并能解決與之相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)重點(diǎn)】會(huì)求一組數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、方差.【教學(xué)難點(diǎn)】理解上述數(shù)字特征的意義，并能解決與之相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】認(rèn)知初探1．?dāng)?shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)(1)最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．(2)平均數(shù)①公式：指樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)一般地，利用平均數(shù)的計(jì)算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為aeq\o(x,\s\up6(－))＋b.②求和的性質(zhì)(xi＋yi)＝＋；(kxi)＝k；＝nt.(3)中位數(shù)一般地，有時(shí)也可以借助中位數(shù)來(lái)表示一組數(shù)的中心位置：如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱(chēng)xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱(chēng)eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．(4)百分位數(shù)①定義直觀來(lái)說(shuō)，一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p%位置的數(shù)．中位數(shù)就是一個(gè)50%分位數(shù)．②意義一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿(mǎn)足下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值．規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值)．(5)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．2．極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述．(1)極差一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．(2)方差如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則方差可用求和符號(hào)表示為s2＝eq\f(1,n)(此時(shí)，如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.(3)標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差．思考：方差與標(biāo)準(zhǔn)差的大小與樣本數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？[提示]標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．小試牛刀1．求下列一組數(shù)據(jù)1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30百分位數(shù)()A．2B．3C．4D．2.5解析：這組數(shù)據(jù)共10個(gè)，10×30%＝3即第30百分位數(shù)是第3項(xiàng)數(shù)據(jù)．答案：A2．已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)解析：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)皆為50，故選D.答案：D某鞋店試銷(xiāo)一種新女鞋，銷(xiāo)售情況如下表：鞋號(hào)3435363738394041數(shù)量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計(jì)量中對(duì)你來(lái)說(shuō)最重要的是________．①平均數(shù)；②眾數(shù)；③中位數(shù)；④方差．解析：鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪種鞋號(hào)的鞋銷(xiāo)量最大，即數(shù)據(jù)的眾數(shù)．由表可知，鞋號(hào)為37的鞋銷(xiāo)量最大，共銷(xiāo)售了16雙，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為37.答案：②4．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為_(kāi)_______．解析：由題意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以樣本方差為s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2例題講解百分位數(shù)的計(jì)算例1計(jì)算甲、乙兩組數(shù)的25%分位數(shù)與75%分位數(shù)．序號(hào)1234567891011121314151617181920甲組1222233355668891010121313乙組00001123456677101414141415【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為20，而且20×25%＝5,20×75%＝15.因此，甲組數(shù)的25%分位數(shù)為eq\f(x5＋x6,2)＝eq\f(2＋3,2)＝2.5；甲組數(shù)的75%分位數(shù)為eq\f(x15＋x16,2)＝eq\f(9＋10,2)＝9.5.乙組數(shù)的25%分位數(shù)為eq\f(x5＋x6,2)＝eq\f(1＋1,2)＝1；乙組數(shù)的75%分位數(shù)為eq\f(x15＋x16,2)＝eq\f(10＋14,2)＝12.求總體百分位數(shù)的估計(jì)，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，頻率直方圖看作數(shù)據(jù)均勻分布在直方圖上，然后計(jì)算出i＝n×p%，當(dāng)i不是整數(shù)要取整，頻率直方圖要計(jì)算出比例值．當(dāng)堂練習(xí)1某中學(xué)高二(2)班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來(lái)，每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.計(jì)算出學(xué)生甲、乙的第25,50的百分位數(shù)．解析：把甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)從小到大排序，可得甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.可得數(shù)據(jù)的第25,50百分位數(shù)為第4,7項(xiàng)數(shù)據(jù)，即學(xué)生甲的第25,50的百分位數(shù)為76,88.學(xué)生乙的第25,50的百分位數(shù)為86,98.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)[例2]據(jù)報(bào)道，某公司有33名職工，他們所在部門(mén)及相應(yīng)每人所創(chuàng)年利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)如下表所示：部門(mén)ABCDEFG人數(shù)11215320每人所創(chuàng)年利潤(rùn)5.553.532.521.5(1)求該公司職工每人所創(chuàng)年利潤(rùn)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．(2)假設(shè)部門(mén)A每人所創(chuàng)年利潤(rùn)從5.5萬(wàn)元提高到30萬(wàn)元，部門(mén)B每人所創(chuàng)年利潤(rùn)由5萬(wàn)元提高到20萬(wàn)元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(3)在(2)的條件下，你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工每人所創(chuàng)年利潤(rùn)的平均水平？[解](1)eq\x\to(x)＝eq\f(5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈2.1(萬(wàn)元)，中位數(shù)為1.5萬(wàn)元，眾數(shù)為1.5萬(wàn)元．(2)eq\x\to(x)′＝eq\f(30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈3.3(萬(wàn)元)，中位數(shù)為1.5萬(wàn)元，眾數(shù)為1.5萬(wàn)元．(3)中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工每人所創(chuàng)年利潤(rùn)的平均水平．這是因?yàn)楣局猩贁?shù)人每人所創(chuàng)年利潤(rùn)與大多數(shù)人每人所創(chuàng)年利潤(rùn)差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)或眾數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工每人所創(chuàng)年利潤(rùn)的平均水平．方法總結(jié)1．求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì)．2．求中位數(shù)時(shí)一定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒(méi)有眾數(shù)．當(dāng)堂練習(xí)2某電冰箱專(zhuān)賣(mài)店出售容積為182L、185L、228L、268L四種型號(hào)的同一品牌的冰箱，每出售一臺(tái)，售貨員就做一個(gè)記錄，月底得到一組由15個(gè)268，66個(gè)228，18個(gè)185和11個(gè)182組成的數(shù)據(jù)．(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有實(shí)際意義嗎？(2)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少？(3)專(zhuān)賣(mài)店總經(jīng)理關(guān)心的是中位數(shù)還是眾數(shù)？【解】(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒(méi)有實(shí)際意義，對(duì)專(zhuān)賣(mài)店經(jīng)營(yíng)沒(méi)有任何參考價(jià)值．(2)這組數(shù)據(jù)共有110個(gè)，中位數(shù)為228，眾數(shù)為228.(3)專(zhuān)賣(mài)店總經(jīng)理最關(guān)心的是眾數(shù)，眾數(shù)是228，說(shuō)明容積為228L型號(hào)的冰箱銷(xiāo)售量最大，它能為專(zhuān)賣(mài)店帶來(lái)較多的利潤(rùn)，所以這種型號(hào)的冰箱要多進(jìn)些．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用例3甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100mm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【解析】(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.方法總結(jié)1．在實(shí)際問(wèn)題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問(wèn)題，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)，方差大說(shuō)明取值分散性大，方差小說(shuō)明取值分散性小或者取值集中、穩(wěn)定．2．關(guān)于統(tǒng)計(jì)的有關(guān)性質(zhì)及規(guī)律：(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.當(dāng)堂練習(xí)3某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)．現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪名工人參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分、84分．(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85分，所以seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①?gòu)钠骄鶖?shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲，乙的成績(jī)好于甲；③從方差來(lái)看，因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績(jī)較穩(wěn)定；④從數(shù)據(jù)特點(diǎn)看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4