回歸教材解析幾何

6.解析幾何第四篇回歸教材，糾錯例析，幫你減少高考失分點欄目索引要點回扣1易錯警示2

查缺補漏3要點回扣

答案答案錯2.直線方程的五種形式(1)點斜式：已知直線過點(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x軸的直線.(2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為y＝kx＋b，它不包括垂直于x軸的直線.(5)一般式：任何直線均可寫成Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的形式.[問題2]

已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為________________________.5x－y＝0或x＋y－6＝0答案3.兩條直線的位置關(guān)系(1)若已知直線的斜截式方程，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：①l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；②l1⊥l2?k1·k2＝－1；③l1與l2相交?k1≠k2.(2)若已知直線的一般方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則：①l1∥l2平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0；③l1與l2相交?A1B2－A2B1≠0；④l1與l2重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0.[問題3]

設(shè)直線l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m＝________時，l1∥l2；當(dāng)m＝________時，l1⊥l2；當(dāng)______________時l1與l2相交；當(dāng)m＝____時，l1與l2重合.答案－1

m≠3且m≠－134.點到直線的距離及兩平行直線間的距離答案[問題4]

兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________.5.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.－1答案[問題5]

若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________.6.直線與圓的位置關(guān)系的判斷(1)幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來判定.(2)代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)Δ的符號來判斷.

解析

√7.圓錐曲線的定義和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)圖形范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0頂點(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱關(guān)于x軸對稱焦點(±c,0)軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b

離心率e＝1準(zhǔn)線

通徑|AB|＝2p漸近線

√所以拋物線方程為y2＝8x.解析8.(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時相交；無解時相離；有唯一解時，在橢圓中相切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切.(2)直線與圓錐曲線相交時的弦長問題斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長√解析返回所以|NF|∶|FM|＝1∶2.返回易錯點1直線的傾斜角和斜率關(guān)系不清例1

直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(

)易錯警示易錯分析本題易混淆α和傾斜角的關(guān)系，不能真正理解斜率和傾斜角的實質(zhì)，忽視傾斜角本身的范圍.解析易錯分析解析設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα.因為sinα∈[－1,1]，所以－1≤tanθ≤1，√易錯點2忽視直線的特殊位置易錯分析本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a＝0的情況.解析答案易錯分析例2

已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值.解當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；易錯點3焦點位置考慮不全易錯分析本題易出現(xiàn)的問題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點在x軸上導(dǎo)致漏解.該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒有確定焦點所在坐標(biāo)軸，所以應(yīng)該根據(jù)其焦點所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論.解析易錯分析1或16答案解析①當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，則由方程，得a2＝4，即a＝2.則由方程，得b2＝4，即b＝2.綜上，m＝1或16.易錯點4忽視二次項系數(shù)討論和判別式限制例4

求過點(0,1)的直線，使它與拋物線y2＝2x僅有一個公共點.易錯分析直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點.Δ>0是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件.易錯分析解析答案解①當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直于x軸，因為過點(0,1)，所以x＝0，即y軸，它正好與拋物線y2＝2x相切；

易錯點5定點問題思路不清返回易錯分析例5

已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過F作兩條相互垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N.求證：直線MN恒過定點.易錯分析直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個方程必有一組常數(shù)解.本題容易出錯的地方有兩個：一是在用參數(shù)表示直線MN的方程時計算錯誤；二是在得到了直線系MN的方程后，對直線恒過定點的思路不清，找錯方程的常數(shù)解.解析答案證明由題設(shè)，知F(1,0)，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，同理，可得N(2k2＋1，－2k).解析答案返回故不論k為何值，直線MN恒過點(3,0).1.設(shè)向量a＝(a,1)，b＝(1，b)(ab≠0)，若a⊥b，則直線b2x＋y＝0與直線x－a2y＝0的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直

D.重合1234查缺補漏√

解析5 678910√解析12345 678910解析如圖，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B.由題意知|OP|＝2，|OA|＝1，12345 678910√解析12345 678910解析兩圓方程可化為(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，由題意知兩圓外切，12345 678910即a2＋4b2＝9，√解析由∠F1PF2＝60°，|PF1|＝2|PF2|，可得∠PF2F1＝90°，解析12345 678910√解析12345 678910解析設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab∵a＋b＝|AF|＋|BF|＝2|MN|，12345 6789106.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________.解析答案12345 678910解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，7.(2015·課標(biāo)全國Ⅱ改編)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為________.

解析12345 678910答案

12345 678910x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.

解析12345 678910答案解析根據(jù)題意，知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，

①解析12345 67891012345 678910

解析答案12345 678910解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

12345 678910解析答案解設(shè)|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由橢圓定義可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，12345 678910化簡得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，所以a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，(1)求橢圓E的方程；12345 678910解析答案(2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.返回1234