數(shù)學建模灰色預測模型

灰色預測模型

數(shù)學建模

灰色系統(tǒng)分析方法在建模中的應(yīng)用CUMCM2003ASARS的傳播問題CUMCM2005A長江水質(zhì)的評價和預測CUMCM2006A出版社的資源配置

CUMCM2006B艾滋病療法的評價及療效的預測問題CUMCM2007A中國人口增長預測

CUMCM2003ASARS的傳播SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥,俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下：（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。CUMCM2003ASARS的傳播（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。（3）收集SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學模型并進行預測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。

1、問題水是人類賴以生存的資源，保護水資源就是保護我們自己，對于我國大江大河水資源的保護和治理應(yīng)是重中之重。專家們呼吁：“以人為本，建設(shè)文明和諧社會，改善人與自然的環(huán)境，減少污染?！遍L江是我國第一、世界第三大河流，長江水質(zhì)的污染程度日趨嚴重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護長江萬里行”考察團，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個CUMCM2005A長江水質(zhì)的評價和預測

重點城市做了實地考察，揭示了一幅長江污染的真實畫面，其污染程度讓人觸目驚心。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態(tài)10年內(nèi)將瀕臨崩潰”（附件１），并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件2）。

附件3給出了長江沿線17個觀測站（地區(qū)）近兩年多主要水質(zhì)指標的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上７個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)（站點距離、水流量和水流速）。通常認為一個觀測站（地區(qū)）的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。CUMCM2005A長江水質(zhì)的評價和預測

一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標稱為降解系數(shù)。事實上，長江干流的自然凈化能力可以認為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)通常介于0.1~0.5之間，比如可以考慮取0.2

(單位：1/天)。附件4是“1995~2004年長江流域水質(zhì)報告”給出的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)。下面的附表是國標(GB3838-2002)給出的《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》中4個主要項目標準限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類為可飲用水。

CUMCM2005A長江水質(zhì)的評價和預測CUMCM2005A長江水質(zhì)的評價和預測請你們研究下列問題：（1）對長江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評價，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。（2）研究、分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預測分析，比如研究未來10年的情況。（4）根據(jù)你的預測分析，如果未來10年內(nèi)每年都要求長江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？（5）你對解決長江水質(zhì)污染問題有什么切實可行的建議和意見。主要內(nèi)容灰色系統(tǒng)分析方法9一灰色預測的概念

；二灰色生成數(shù)列；五灰色預測實例

四

灰色模型GM；三灰色關(guān)聯(lián)度分析；1982我國學者鄧聚龍教授發(fā)表第一篇中文論文《灰色控制系統(tǒng)》標志著灰色系統(tǒng)這一學科誕生。1985灰色系統(tǒng)研究會成立，灰色系統(tǒng)相關(guān)研究迅速發(fā)展。1989海洋出版社出版英文版《灰色系統(tǒng)論文集》，同年，英文版國際刊物《灰色系統(tǒng)》雜志正式創(chuàng)刊。目前，國際、國內(nèi)200多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，許多國際會議把灰色系統(tǒng)列為討論專題。國際著名檢索已檢索我國學者的灰色系統(tǒng)論著500多次?；疑到y(tǒng)理論應(yīng)用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學研究中的大量實際問題，取得了顯著成果。

灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇大致分為以下幾方面：（1）灰色關(guān)聯(lián)分析。（2）灰色預測：人口預測；初霜預測；災(zāi)變預測….等等。（3）灰色決策。（4）灰色預測控制?；疑到y(tǒng)理論是人們認識客觀系統(tǒng)改造客觀系統(tǒng)的一個新型的理論工具。一、灰色預測的概念

（1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是完全充分的。

黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息對外界來說是一無所知的，只能通過它與外界的聯(lián)系來加以觀測研究。

灰色系統(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間有不確定的關(guān)系。灰色預測法是一種對含有不確定因素的系

統(tǒng)進行預測的方法。灰色預測是對既含有已知信息又含有不確定

信息的系統(tǒng)進行預則，就是對在一定范圍內(nèi)

變化的、與時間有關(guān)的灰色過程進行預測。

（2）灰色預測法灰色預測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨

勢的相異程度，即進行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列,然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預測事物未來發(fā)展趨勢的狀況?；疑A測法用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。

（3）灰色預測的四種常見類型

?灰色時間序列預測即用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。

?畸變預測即通過灰色模型預測異常值出現(xiàn)的時刻，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。系統(tǒng)預測

通過對系統(tǒng)行為特征指標建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預測模型，預測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。拓撲預測將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模型預測該定值所發(fā)生的時點。三、灰色生成數(shù)列

灰色系統(tǒng)理論認為，盡管客觀表象復雜，但總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當?shù)姆绞饺ネ诰蚝屠盟?。灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋求數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，即為灰色序列的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。數(shù)據(jù)生成的常用方式有累加生成、累減生成和加權(quán)累加生成。（1）累加生成

把數(shù)列各項（時刻）數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生成過程（AGO）。由累加生成過程所得的數(shù)列稱為累加生成數(shù)列。設(shè)原始數(shù)列為，令稱所得到的新數(shù)列為數(shù)列的1次累加生成數(shù)列。類似地有稱為的r次累加生成數(shù)列。（2）累減生成對于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個數(shù)據(jù)相減的運算過程稱為累減生成過程IAGO。如果原始數(shù)據(jù)列為令稱所得到的數(shù)列為的1次累減生成數(shù)列。注：從這里的記號也可以看到，從原始數(shù)列，得到新數(shù)列，再通過累減生成可以還原出原始數(shù)列。實際運用中在數(shù)列的基礎(chǔ)上預測出，通過累減生成得到預測數(shù)列。（3）加權(quán)鄰值生成設(shè)原始數(shù)列為稱為數(shù)列的鄰值。為后鄰值，為前鄰值，對于常數(shù)，令

由此得到的數(shù)列稱為數(shù)列在權(quán)下的鄰值生成數(shù)，權(quán)也稱為生成系數(shù)。特別地，當生成系數(shù)時，則稱為均值生成數(shù)，也稱等權(quán)鄰值生成數(shù)。累加生成計算示例例：x(0)=(x(0)(k)︱k=1，2，3，4，5)=x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，x(0)(5)=(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8)

求x(1)(k)解：累加生成的特點

一般經(jīng)濟數(shù)列都是非負數(shù)列。累加生成能使任意非負數(shù)列、擺動的與非擺動的，轉(zhuǎn)化為非減的、遞增的。原始數(shù)列作圖

1—AGO作圖

某市的汽車銷售量遞增的規(guī)律

原始數(shù)列作圖1—AGO作圖有明顯的指數(shù)關(guān)系的規(guī)律

某鋼廠產(chǎn)量某地區(qū)作物產(chǎn)量

s型變化規(guī)律

累減生成計算示例

灰色系統(tǒng)理論是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義灰導數(shù)與灰微分方程，進而用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程形式的動態(tài)模型，即灰色模型是利用離散隨機數(shù)經(jīng)過生成變?yōu)殡S機性被顯著削弱而且較有規(guī)律的生成數(shù)，建立起的微分方程形式的模型，這樣便于對其變化過程進行研究和描述。G表示grey（灰色），M表示model（模型）四、灰色模型ＧＭ(1,1)設(shè)為原始數(shù)列，其1次累加生成數(shù)列為，其中定義的灰導數(shù)為令為數(shù)列的鄰值生成數(shù)列，即于是定義GM（1，1）的灰微分方程模型為即或（1）在式（1）中，稱為灰導數(shù)，a稱為發(fā)展系數(shù)，稱為白化背景值，b稱為灰作用量。將時刻表代入（1）式有引入矩陣向量記號：

于是GM（1，1）模型可表示為現(xiàn)在問題歸結(jié)為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它們的估計值為注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標準程序求解，如matlab等。GM（1，1）的白化型對于GM（1，1）的灰微分方程（1），如果將灰導數(shù)的時刻視為連續(xù)變量t，則視為時間t函數(shù)，于是對應(yīng)于導數(shù)量級，白化背景值對應(yīng)于導數(shù)。于是GM（1，1）的灰微分方程對應(yīng)于的白微分方程為

（2）GM（1，1）灰色預測的步驟1.數(shù)據(jù)的檢驗與處理為了保證GM（1，1）建模方法的可行性，需要對已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗處理。設(shè)原始數(shù)據(jù)列為了，計算數(shù)列的級比如果所有的級比都落在可容覆蓋區(qū)間內(nèi)，則數(shù)據(jù)列可以建立GM（1，1）模型且可以進行灰色預測。否則，對數(shù)據(jù)做適當?shù)淖儞Q處理，如平移變換：取C使得數(shù)據(jù)列的級比都落在可容覆蓋內(nèi)。2.建立GM（1，1）模型

不妨設(shè)滿足上面的要求，以它為數(shù)據(jù)列建立GM（1，1）模型用回歸分析求得a,b的估計值，于是相應(yīng)的白化模型為解為（3）于是得到預測值從而相應(yīng)地得到預測值：3.檢驗預測值（1）殘差檢驗：計算相對殘差如果對所有的，則認為達到較高的要求：否則，若對所有的，則認為達到一般要求。（2）級比偏差值檢驗：計算如果對所有的，則認為達到較高的要求；否則若對所有的，則認為達到一般要求。例：銀行有各種投資理財產(chǎn)品，客戶可根據(jù)自己的資金實力和投資偏好來自由選擇，并且一般會有“10天猶豫期”，在這10天里如果對自己購得的理財產(chǎn)品不放心或者不滿意，通常情況下是可以退買的，這時候是不收手續(xù)費的。否則，逾期退買將收取一定的手續(xù)費。通過對客戶退買行為數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)客戶購得理財產(chǎn)品后的每一天繼續(xù)持有的客戶比例依次是[92.81097.66098.80099.28199.53799.53799.8170.00](單位%)，從這組數(shù)列可以看出退買高發(fā)期是在前幾天，后續(xù)退買的可能性持續(xù)衰減。建立GM(1,1)模型對以上數(shù)據(jù)進行分析。五、灰色預測計算實例一灰色預測計算實例二例

北方某城市1986～1992年道路交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)見表6表6市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)[dB(A)]序號年份eqL1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6第一步:級比檢驗建立交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)時間序列如下：=(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)（1）求級比λ(k)

=(0.982,1,1.0042,1.0098,0.9917,1.0056)（2）級比判斷由于所有的λ(k)∈[0.982,1.0098]，k=2,3,,7，故可以用x(0)作滿意的GM（1，1）建模。第二步:GM（1，1）建模（1）對原始數(shù)據(jù)作一次累加，即=(71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503）（2）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y（3）計算u?于是得到a=0.0023，b=72.6573。（4）建立模型求解得（5）求生成數(shù)列值及模型還原值：令k=1,2,3,4,5,6,由上面的時間響應(yīng)函數(shù)可算得，其中取由取k=2,3,4,,7，得

(71.1,72.4,72.2,72.1,71.9,71.7,71.6)第三步:模型檢驗?zāi)Ｐ偷母鞣N檢驗指標值的計算結(jié)果見表7.表7GM(1,1)模型檢驗表序號年份原始值模型值殘差相對誤差級比偏差1198671.171.1002198772.472.4-0.00570.01%0.00233198872.472.20.16380.23%0.02034198972.172.10.03290.05%-0.00185199071.471.9-0.49840.7%-0.00746199172.071.70.26990.37%0.01077199271.671.60.03780.05%-0.0032經(jīng)驗證，該模型的精度較高，可進行預測和預報。灰色預測實例三已知某公司1999-2008年的利潤為(單位：元/年)：[89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670],現(xiàn)在要預測該公司未來幾年的利潤情況。步驟:(1)對原始數(shù)據(jù)進行累加；(2)構(gòu)造累加矩陣B與常數(shù)向量；(3)求解灰參數(shù)；(4)將參數(shù)代入預測模型進行數(shù)據(jù)預測?；疑A測實例四長江水質(zhì)的預測(2005A)根據(jù)以下數(shù)據(jù)進行10年的預測年份1995199619971998199920002001200220032004污水量/億噸174179183189207234220.5256270285案例：SARS疫情對某些經(jīng)濟指標影響1問題的提出2003年的SARS疫情對中國部分行業(yè)的經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生了一定的影響，特別是對幫分疫情較嚴重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是明顯的，經(jīng)濟影響主要分為直接經(jīng)濟影響和間接影響．直接經(jīng)濟影響涉及到商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)等行業(yè)．很多方面難以進行定量地評估，現(xiàn)僅就SARS疫情較重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響進行定量的評估分析．究竟SARS疫情對商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響有多大，已知該市從1997年1月到2003年10月的商品零售額、接待旅游人數(shù)和綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表1、表2、表3．表1商品的零售額(單位：億元)

年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月199783．079．878．185．186．688．290．386．793．392．590．996．91998101．785．187．891．693．494．597．499．5104．2102．3101．0123．5199992．2114．093．3101．0103．5105．2109．5109．2109．6111．2121．7131．32000105．0125．7106．6116．0117．6118．0121．7118．712O．2127．8121．8121．92001139．3129．5122．5124．5135．713O．8138．7133．7136．8138．9129．6133．72002137．5135．3133．0133．4142．8141．6142．9147．3159．6162．1153．5155．92003163．2159．7158．4145．2124144．1157162．6171．8180．7173．5176．5表2接待海外旅游人數(shù)(單位：萬人)

年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月l1月12月19979．411．316．819．820．318．820．924．924．724．319．418．619989．611．715．819．919．517．817．823．321．424．520．115．9199910．112．917．721．021．020．421．925．829．329．823．616．5200011．426．019．625．927．624．323．027．827．328．532．818．5200111．526．420．426．128．928．025．230．828．728．122．220．7200213．729．723．128．929．027．426．032．231．432．629．222．9200315．417．123．5l1．61．782．618．816．220．124．926．521．8表3綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)據(jù)(單位：億元)

年代2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月l99796l44l94276383466554652747832972199811116923540045956569580588110111139l99915123833542554164173986697510871238200016426337653160071191310381173129614972001182318445576708856100011451292143516672002216361504642818979114213051479164419202003241404584741923111412981492168418852218試根據(jù)這些歷史數(shù)據(jù)建立預測評估模型，評估2003年SARS疫情給該市的商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)所造成的影響．2模型的分析與假設(shè)根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關(guān)指標的變化規(guī)律，這樣可以把預測評估分成兩部分：(i)利用灰色理論建立灰微分方程模型，由1997~2002年的平均值預測2003年平均值；(ii)通過歷史數(shù)據(jù)計算每個月的指標值與全年總值的關(guān)系，從而可預測出正常情況下2003年每個月的指標值，再與實際值比較可以估算出SARS疫情實際造成的影響．2模型的分析與假設(shè)給出下面兩條假設(shè)：(1)假設(shè)該市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)都是可靠準確的；(2)假設(shè)該市在SARS疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS疫情的影響有關(guān)，不考慮其他隨機因素的影響．3建立灰色預測模型GM(1,1)

由已知數(shù)據(jù)，對于1997~2002年某項指標記為矩陣計算每年的年平均值，記為(3)并要求級比．對作一次累加，則記(4)取的加權(quán)均值，則為確定參數(shù),于是GM(1,1)的白化微分方程模型為(5)

其中a是發(fā)展灰度,b是內(nèi)生控制灰度.3建立灰色預測模型GM(1,1)

由于，取為灰導數(shù)，為背景值，則建立灰微分方程為:

或其矩陣形式為，其中

用最小二乘法求得參數(shù)的估計值為

(6)

3建立灰色預測模型GM(1,1)

則灰微分方程模型(4)的解為則(7)由(7)式可以得到2003年的平均值為，則預測2003年的總值為根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以統(tǒng)計計算出2003年第i個月的指標值占全年總值的比例為

，即

(8)則于是可得2003年每一個月的指標值為Y=X·u．

4模型的求解

(i)商品零售額由數(shù)據(jù)表1，計算可得每年月平均值、一次累加值分別為

=(87．6167，98．5000，108．4750，118．4167，132．8083，145．4083)，=(87．6167，186．1167，294．5917，413．0083，545．8167，691．2250)．顯然的所有級比都在可行域內(nèi)．經(jīng)檢驗，在這里取參數(shù)比較合適，則有(127．0167，229．5067，341．9583，466．1317，603．9800)．(i)商品零售額由最小二乘法求得a=-0．0993，b=85．5985．可得2003年的月平均值為=162．8826億元；年總值為=1954．6億元．由(8)式得每月的比例為u=(0．0794，0．0807，0．0749，0．0786，0．0819，0．0818，0．0845，0．0838，0．0872，0．0886，0．0866，0．0920)故2003年1—12月的預測值為Y=u·X=(155．2，157．8，146．4，153．6，160．1，

159．9，165．2，163．8，17o．5，173．2，

169．3，179．9)(億元)將預測值與實際統(tǒng)計值進行比較如下表4所示．表42003年商品的零售額(單位：億元)月份1月2月3月4月5月6月7月

8月9月10月l1月12月預測值155．2157．8146．4153．6160．1159．9165．2163．8170．5173．2169．3179．9實際值163．2159．7158．4145．2124．0144．1157．0162．6171．8180．7173．5176．5clc,clearhan1=[83.079.878.185.186.688.290.386.793.392.590.996.9101.785.187.891.693.494.597.499.5104.2102.3101.0123.592.2114.093.3101.0103.5105.2109.5109.2109.6111.2121.7131.3105.0125.7106.6116.0117.6118.0121.7118.7120.2127.8121.8121.9139.3129.5122.5124.5135.7130.8138.7133.7136.8138.9129.6133.7137.5135.3133.0133.4142.8141.6142.9147.3159.6162.1153.5155.9163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5];han1(end,:)=[];m=size(han1,2);x0=mean(han1,2);x1=cumsum(x0);alpha=0.4;n=length(x0);z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];ab=B\Yk=6;x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))z=m*x7hatu=sum(han1)/sum(sum(han1))v=z*ux1=[87.6167186.1167294.5917413.0083545.81676