暖春數學知識的特征與學習方式的選擇 2900字

暖春數學知識的特征與學習方式的選擇2900字[摘要]知識的特征不同，對學習方式的要求也就不同。有些數學知識具有經驗性、演繹性或對象性，從學生的日常生活經驗和知識根底出發(fā)，發(fā)展探究學習是必要的，也是可能的。有些數學知識具有超驗性、合情性或程序性，對于這些知識，只能通過接受學習來獲得。有效地選擇學習方式，要綜合考慮知識的特征、學生的特征、教師的特征和社會的特征。

[關鍵詞]數學知識；接受學習；探究學習

新課程強調自主、合作、探究等學習方式，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。但是，僅有這種學習方式是不夠的，因為數學知識有不同的特征。本文主要論述數學知識的特征，進而闡述不同特征的知識需要選擇不同的學習方式：有的宜選擇接受學習方式，有的宜選擇探究學習方式。這里的接受學習有兩層含義：一是指有的內容不易探究、發(fā)現，需要教師在課堂教學中加以呈現；二是指學生對于有的內容的理解有限，在不能完全理解的情況下，要先接受下來，進行相應的訓練，并在以后的學習中再逐步加深理解。

一數學知識的特征

數學是關于數和形的科學，它與物理學、化學、生物學等學科不同，并不以客觀世界的具體物質運動形態(tài)為研究對象。“數〞和“形〞都抽象地存在于人的理性思維世界。從基本上說，數學對象來源于現實世界，是具體事物的抽象。但是，有許多數學知識，那么顯示出超驗性、合情性或程序性。這些特征，對數學教學具有特殊的要求。

1知識的超驗性和經驗性

數是抽象的產物?！拔覀冞\用抽象的數字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來。我們在學校里學習的是抽象的乘法表，而不是男孩的數目乘以蘋果的數目，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢……同樣在幾何中研究的，示例，是直線，而不是拉緊了的繩子。〞[1]數學的研究對象，是人們對現實世界抽象的結果，甚至是對抽象的對象進一步抽象的結果。正因為如此，數學才有今天的蓬勃開展。因而，數學的研究對象與日常生活經驗就有了遠近之別：有的與學生的生活和知識經驗較為接近，他們可以在自己的經驗根底上探究并建構起這些數學知識，這些知識具有經驗性；有的是人類理性思維的結晶，遠離學生的生活和知識經驗，學生很難通過自己的經驗探究、發(fā)現這些數學知識，這些知識具有超驗性。

人們沒有見過自然數“1〞，只見過一頭牛、一只羊。自然數、分數、小數可以通過一些表征物來表示，較為直觀，而負數就不直觀了。無理數較為抽象，也很難找到一個具體事物作為原型。即便是最精確的尺子，也很難把無理數量出來。無理數是人類長期探索的結晶，是人類理性思維的結果。無理數是無限不循環(huán)的小數。人們對于“無限〞難以把握，對于什么是“不循環(huán)〞更不能直接感受，也沒法說分明。在中學，通常是用反證法來證明是一個無理數。從直觀的角度來看，這個證明并沒有給我們提供具體的信息。因而，學生很難靠自己的經驗來建構無理數這個概念。如果說可以把看作邊長為1的單位正方形對角線的長，則，對π、e如何理解呢《難怪有中學生提出這樣的問題：圓周率π是否可能以某個特別長的數作循環(huán)節(jié)而成為循環(huán)小數《代數式更加抽象，離我們的經驗也就更遠。對于數的運算而言，自然數的運算法那么較為直觀；小數和分數的運算法那么介于具體與抽象之間；實數與代數式的運算法那么超越了我們的經驗，只能由自然數、有理數的運算法那么遷移過來?？傊?，像無理數、虛數這樣一些數學知識，學生不可能用自己的經驗“探究〞出來。為此，我們可以把這些知識直接告訴學生，讓他們接受下來，然后讓學生通過自己的理性思維逐步地加以消化、理解。

數學知識并不都具有超驗性，大量的數學知識具有經驗性。示例，田地的面積用“畝〞丈量，用分數表示“局部〞的大小，用數據描述一個“事件〞發(fā)生的概率等，都是一些很具體且可以通過經驗來獲得的數學知識。這些知識都具有經驗性，學生可以通過自主活動、積極思考、主動探究來建構。

2知識的合情性和演繹性

數學知識的獲得，需要經過嚴格的演繹證明。只有經過嚴格演繹證明的結論，才能稱為數學知識，也才是可以接受的。數學知識的可證明性亦可稱為演繹性。數學知識的獲得，往往要經過不完全歸納、試驗、猜想等探索與合情推理的過程。特別是在中小學，由于學生的認知水平較低，許多結論是通過舉例和不完全歸納得到的，是“混而不錯〞的，因而數學知識又顯示出“合情性〞。

比方，對于數的運算律的學習。自然數、分數乘法的交換律較為直觀，可以通過畫圖、舉例來表明。當然，這種直觀的表明具有相當的深刻性。2×3=3×2，3×4=4×3，讓學生感受一下，便可得出：a×b=b×a。這只是感受一下，只是一個猜測，而不是自己的發(fā)現、發(fā)明，也不是證明。有理數乘法的交換律更像一種規(guī)定性的東西。規(guī)定的合理性源于“運算律的承襲性〞。自然數的乘法、分數的乘法、小數的乘法都滿足交換律，于是，為了保持運算律的承襲性，有理數的乘法也滿足交換律。在實數范圍內，由于出現了無理數，想通過例子直觀感受一下實數乘法的交換律就較難了。初中數學教材中的處理是一筆帶過：在實數范圍內，加法、乘法的交換律、結合律，乘法對加法的分配律仍然是成立的。

陳省身先生曾說：“數學的主要辦法是邏輯推理，因之，建立了一個堅固的思想結構。〞①如此，中小學數學教學為何不追求嚴密的邏輯推理呢《如果遵循邏輯推理的要求，就要從匹亞諾公理系統(tǒng)和自然數乘法的定義出發(fā)，對自然數乘法的交換律進行證明。而證明實數乘法的交換律需要用到有理數的根本序列、極限等知識。這樣的嚴密邏輯推理，誰能受得了。因而，相對于學生的認知水平，這些知識無需證明，也不可能證明。對于小學生而言，2×3=3×2，舉個例子就行了。

“符號法那么不能證明。人們只關懷這個法那么在邏輯上是否允許。這些法那么是任意的，取決于使用上的方便，示例受承襲性原那么的制約。我請求你們一般地不要把不可能的證明講得似乎成立。大家應該用簡單的例子使學生相信，或有可能的話，讓他們自己弄分明。從實際情況看，承襲性原那么所包含的這些約定關系，恰好是適當的，因為可以得到一致方便的算法。〞[2]

正因為如此，舉個例子來表明問題，只是為了讓學生更好地理解、接受某些知識，充其量只是一種合情推理，并非是證明，也不是探究。教材中的這種處理合乎兒童的認知規(guī)律，也合乎這些知識產生的實際。對教學而言，關鍵在于如何結合不同年齡階段學生的特征，依據學生原有的知識根底，進行解釋性的闡述。事實上，長期的教學實踐也是這樣做的，并沒有什么不好。

既然有些數學知識不可能證明，也不宜證明，在初步理解的根底上，先接受下來，到知識有了一定的積累、認知水平有了一定的提高后，再進行證明，亦是符合情理的。比方，對幾何的學習，開始的時候，可以