第一章靜電場

第一章靜電場

第一章靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務(wù)：闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計(jì)算方法，或者反之。

靜電場知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時(shí)變場?；緦?shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）基本物理量（電場強(qiáng)度）EE的旋度E的散度基本方程微分方程邊值問題唯一性定理分界面銜接條件電位（）邊界條件數(shù)值法有限差分法解析法直接積分法分離變量法鏡像法，電軸法靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力圖1.0靜電場知識(shí)結(jié)構(gòu)圖1.1.1庫侖定律1.1電場強(qiáng)度N(牛頓)適用條件：

兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力;N(牛頓)圖1.1.1兩點(diǎn)電荷間的作用力庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明:真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷與之間的相互作用力:結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理當(dāng)真空中引入第三個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，試問與相互間的作用力改變嗎?為什么？

無限大真空情況(式中F/m)可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中1.1.2靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：

V/m(N/C)電場強(qiáng)度（ElectricFieldIntensity)E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/m圖1.1.2點(diǎn)電荷的電場V/m

b)n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

(注意:矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/m體電荷分布圖1.1.3體電荷的電場面電荷分布線電荷分布例1.1.1

真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線,電荷線密度為,試求P點(diǎn)的電場.解:采用直角坐標(biāo)系,令y軸經(jīng)過場點(diǎn)p,導(dǎo)線與x軸重合。(直角坐標(biāo))(圓柱坐標(biāo))圖1.1.4帶電長直導(dǎo)線的電場

無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場垂直于線電荷，為平行平面場。

電場強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即

點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。

當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度分布。圖1.1.5單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度點(diǎn)電荷矢量恒等式直接微分得故電場強(qiáng)度E的旋度等于零1.2靜電場環(huán)路定律和高斯定律

1.

靜電場旋度1.2.1靜電場環(huán)路定律可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。表明靜電場是一個(gè)無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律由斯托克斯定理，得

在靜電場中,電場強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。二者等價(jià)。3.電位函數(shù)1)電位的引出根據(jù)矢量恒等式在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度E。式中負(fù)號(hào)表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2)已知電荷分布，求電位：點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：3)

E與的微分關(guān)系在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：？

()？()根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點(diǎn)4)

E與的積分關(guān)系設(shè)P0為參考點(diǎn)圖1.2.1E與的積分關(guān)系5)

電位參考點(diǎn)的選擇原則

場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。

選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場：表達(dá)式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。6)

電力線與等位線（面）故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線E的方程。當(dāng)取不同的

C值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:

E線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場強(qiáng)度E的方向一致，若是電力線的長度元，E

矢量將與方向一致，在球坐標(biāo)系中：電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得解得Ｅ線方程為將和代入上式，等位線方程（球坐標(biāo)系）：用二項(xiàng)式展開，又有，得表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2例1.2.1

畫出電偶極子的等位線和電力線。電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

E線愈密處，場強(qiáng)愈大;

E線與等位線（面）正交；圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線圖1.2.4點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.2.5點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場1.2.2真空中的高斯定律點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場1.高斯定理的積分形式點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場如果閉合面包圍了n個(gè)點(diǎn)電荷，則根據(jù)疊加原理閉合曲面的電通量

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關(guān)。閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為的體分布電荷，則2.高斯定律的微分形式散度定理高斯定律說明了靜電場是一個(gè)有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度E為零，靜電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）接地導(dǎo)體都不帶電。（）1.2.3.電介質(zhì)中的高斯定律1.靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)2.靜電場中的電介質(zhì)圖1.2.13靜電場中的導(dǎo)體

電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。無極性分子有極性分子圖1.2.14電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中

——電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；

一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強(qiáng)度P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖1.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位矢量恒等式：

圖1.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度

這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷和體極化電荷共同作用在真空中產(chǎn)生的電位。3.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）將ρp=–▽·P代入，得這表明，矢量0E+P的散度為自由電荷密度。定義電位移矢量則有電介質(zhì)中高斯定律的微分形式其中——相對介電常數(shù)；——介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性(P與E同方向)介質(zhì)中

D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D

線、E線和P線的分布。D線E線P線D、E與P

三者之間的關(guān)系?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；?P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；B）高斯定律的積分形式散度定理

D

的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無關(guān)。()()()

D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼的內(nèi)外點(diǎn)電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)qq例1.2.2

求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。圖1.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應(yīng)用計(jì)算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。解：電場分布特點(diǎn)：

D

線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖1.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體1.3.1靜電場的基本方程靜電場是一個(gè)無旋、有散（源）場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個(gè)重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：1.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),

例.已知試判斷它能否表示個(gè)靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個(gè)靜電場。以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面()。1.3.2分界面上的邊界條件1.電位移矢量D的邊界條件則有根據(jù)圖1.3.1在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時(shí)，D的法向分量連續(xù)。0=s2.電場強(qiáng)度E的邊界條件以點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（）。分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。根據(jù)則有圖1.3.2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D就等于該點(diǎn)的自由電荷密度。在交界面上不存在時(shí)，E、D滿足折射定律。折射定律圖1.3.3

分界面上E線的折射因此電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的。3.用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）

例.如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強(qiáng)度。（a）（b）§3.4靜電場中的邊界條件3.4.2電位的邊界條件1、兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件因此設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。在介質(zhì)分界面上，所以1.4靜電場邊值問題唯一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。拉普拉斯方程——拉普拉斯算子例1.4.1

列出求解區(qū)域的微分方程

1.4.2靜電場的邊值問題圖1.4.1三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場已知場域邊界上各點(diǎn)電位值圖1.4.2邊值問題框圖自然邊界條件參考點(diǎn)電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即邊值問題研究方法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法圖1.4.3邊值問題研究方法框圖

例1.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源U，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖1.4.4纜心為正方形的同軸電纜橫截面積分之，得通解解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程圖1.4.5體電荷分布的球形域電場

例1.4.3

設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。邊界條件參考點(diǎn)電位解得電位：電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強(qiáng)度E的分布。2.唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：1.4.3唯一性定理1.唯一性定理在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解是唯一的，稱之為靜電場的唯一性定理（UniqunessTheorem）例1.4.1

圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？答案：（C

）唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。圖1.4.7平板電容器外加電源U01.5分離變量法

分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。1.5.1解題的一般步驟：

根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；

分離變量，把電位用兩個(gè)或三個(gè)僅含一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)的乘積表示，將一個(gè)偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程；

解常微分方程，并疊加各特解得到通解；

利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。1.5.2應(yīng)用實(shí)例1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）

例1.5.1

圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖1.5.1接地金屬槽的截面2)分離變量代入式（1）有設(shè)稱為分離常數(shù),可以取值根據(jù)可能的取值，可有6個(gè)常微分方程：3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。

圖1.5.2雙曲函數(shù)d）比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，（D域內(nèi)）當(dāng)時(shí)，

滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。邊值問題：（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S為包圍

q的閉合面）圖1.7.1平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）

（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）1.7鏡像法與電軸法

1.7.1鏡像法1.平面導(dǎo)體的鏡像

鏡像法:

用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。(虛設(shè)的電荷分布與邊界內(nèi)的實(shí)際電荷一起所產(chǎn)生的電場滿足給定的邊界條件。)整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為（方向指向地面）例1.7.1求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場分布。1)邊值問題：（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)設(shè)鏡像電荷-q’位于球內(nèi)，球面上任一點(diǎn)電位為圖1.7.3點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像2.導(dǎo)體球面鏡像由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場分別為

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷接地導(dǎo)體球外的電場計(jì)算點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖

在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置解:邊值問題：(除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）

(S為球面面積)例:試計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷時(shí)的電場分布。不接地金屬球感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對值相等。正鏡像電荷只能位于球心。點(diǎn)電荷對不接地金屬球的鏡像任一點(diǎn)電位及電場強(qiáng)度為：思考:試計(jì)算帶電荷為Q的不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷時(shí)的電場分布。3不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)點(diǎn)電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和即

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。1.7.2電軸法邊值問題：（導(dǎo)線以外的空間）

根據(jù)唯一性定理，尋找等效線電荷——電軸。1.問題提出

長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線2.兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場設(shè)在r1=r2處，=0，即電位參考點(diǎn)Q選在y軸上,C=0,則兩根細(xì)導(dǎo)線的電場計(jì)算P(x,y)bb+t-tyxor1r2等位線方程為：圓心坐標(biāo)圓半徑兩根細(xì)導(dǎo)線的電場計(jì)算P(x,y)bb+t-tyxor1r2當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。

a、h、b三者之間的關(guān)系滿足

應(yīng)該注意到,線電荷所在的兩個(gè)點(diǎn),對每一個(gè)等位圓的圓心來說,互為反演。即根據(jù)及E線的微分方程兩細(xì)導(dǎo)線的場圖得E線方程為3.電軸法例:試求圖示兩帶電長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場及電位分布。a)建立坐標(biāo)系，確定電軸位置：b)圓柱導(dǎo)線間的電場與電位：(以y

軸為電位為參考點(diǎn)

)

用置于電軸上的等效線電荷,來代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場的方法,稱為電軸法。解：平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場的計(jì)算r1r2

例:

已知兩根不同半徑,相互平行,軸線距離為d

的帶電長直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。解：注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。不同半徑傳輸線的電軸位置例1.7.6

已知一對半徑為a,相距為d的長直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。解得解a)確定電軸的位置電壓為U0的傳輸線電場的計(jì)算

場中b）設(shè)電軸線電荷為，任一點(diǎn)電位為：鏡像法（電軸法）小結(jié)鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場的適用區(qū)域。電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計(jì)算思路：

定義：單位:工程上的實(shí)際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。1.8電容及部分電容1.8.1電容

例.

試求球形電容器的電容(雙層導(dǎo)體球)。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為,同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)（孤立導(dǎo)體球的電容）球形電容器則1.8.2多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容

?

靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即?

線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)以接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn),導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為

以此類推（n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立方程，即寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注：

的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷,計(jì)算各導(dǎo)體的電位而得。電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——上電荷對導(dǎo)體

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；

通常，的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位，測量各導(dǎo)體的電荷而得?！ビ懈袘?yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體貢獻(xiàn)。電荷的——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn);3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?

互有部分電容，即為對稱陣；

?(n+1)個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個(gè)部分電容；?部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間是否有電力線相連。

4.靜電屏蔽

應(yīng)用部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。號(hào)導(dǎo)體接地，得這說明了只與有關(guān)，只與有關(guān)，即1號(hào)導(dǎo)體與2號(hào)導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，達(dá)到了靜電屏蔽的要求。0號(hào)導(dǎo)體的存在，消除了導(dǎo)體1，2間的靜電聯(lián)系。靜電屏蔽令則即靜電場問題靜電電容的網(wǎng)絡(luò)問題。部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)便于測量,易于計(jì)算，綜上所述，多導(dǎo)體系統(tǒng)電荷與電位間關(guān)系，可以通過三套系數(shù)，即來表示。三者相比，C可通過計(jì)算，也可直接測定，其主要優(yōu)點(diǎn)是可以將場的概念和路的概念聯(lián)系起來，1.9靜電能量與力1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。假設(shè)：

?電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；1.9.1靜電能量?建立電場過程緩慢（忽略動(dòng)能與能量輻射）。帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過程無關(guān)，僅僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)。設(shè)每個(gè)帶電體的最終電位為1、2、…、n，最終電荷為q1、q2、…、qn。設(shè)在建立系統(tǒng)過程中的任一時(shí)刻，各個(gè)帶電體的電量均是各自終值的a倍(α<1)，即帶電量為，電位為，經(jīng)過一段時(shí)間，帶電體i的電量增量為，外源對它所作的功為。外源對n個(gè)帶電體作功為這個(gè)功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲(chǔ)存在電場中因而，電場能量的增量為在整個(gè)過程中，電場的儲(chǔ)能為體電荷系統(tǒng)的靜電能量面電荷系統(tǒng)線電荷系統(tǒng)對于帶電導(dǎo)體系統(tǒng)如果電容器極板上的電量為±q

電壓為U，則其儲(chǔ)存的靜電能量為1.9.2靜電能量與能量密度靜電能量（焦耳）能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲(chǔ)存著靜電能量，靜電能量分布于電場存在的整個(gè)空間。結(jié)論對于各向同性介質(zhì)：例:若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算電場能量。

解：用高斯定理可以得到電場為(r<a)(r>a)2.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)虛位移法是基于虛功原理計(jì)算靜電力的方法。

廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向?yàn)閺V義