《高考風(fēng)向標(biāo)》年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第3講 數(shù)學(xué)歸納法精品課件 理

第3講數(shù)學(xué)歸納法

1．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是_________________，第二步是___________________，兩步缺一不可．2. 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中 包括_______________________________________________ _____．歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))歸納遞推(或歸納假設(shè))恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問題、幾何問題等1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()CA．n＝1時(shí)成立C．n＝3時(shí)成立

B．n＝2時(shí)成立D．n＝4時(shí)成立解析：多邊形至少有三邊．A3.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形有對(duì)角線數(shù)f(n＋1)為()CA．f(n)＋n＋1B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2

解析：在n個(gè)頂點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)頂點(diǎn)則增加n－1條對(duì)角線．A．a(chǎn)＝1，b＝3C．a(chǎn)＝1，b＝2B．a(chǎn)＝－1，b＝1D．a(chǎn)＝2，b＝3答案：D解析：令n＝1,2，得到關(guān)于a、b的方程組，解得即可．14n2－15考點(diǎn)1對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí)例1：已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2且為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需證明()A．n＝k＋1時(shí)命題成立C．n＝2k＋2時(shí)命題成立

B．n＝k＋2時(shí)命題成立

D．n＝2(k＋2)時(shí)命題成立解題思路：從數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟切入，k的下一個(gè)偶數(shù)是k＋2.解析：因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k＋2.故選B.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察下列幾個(gè)方面：(1)n的范圍以及遞推的起點(diǎn)；(2)觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)(或其他)，確定n＝k時(shí)命題的形式f(k)；(3)從f(k＋1)和f(k)的差異，尋找由k到k＋1遞推中，左邊要加(乘)上的式子．n＋n24【互動(dòng)探究】B(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1n＋1＋

1n＋2＋…＋>113的過程中，由k推導(dǎo)到k＋1時(shí)，不等式左邊增加的式子是_______________.

1(2k＋1)(2k＋2)＋(k＋1)(k＋1)－，即2k＋2k＋1(2k＋1)(2k＋2)解析：求f(k＋1)－f(k)即可．當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝

11k＋1k＋2＋…＋

1k＋k.n＝k＋1時(shí)，左邊＝

1k＋2＋

1k＋3＋…＋1.故左邊增加的式子是

12k＋1＋111.考點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題例2：是否存在常數(shù)a、b、c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(nn都成立？證明你的＋1)2＝n(n＋1)(an2＋bn＋c)對(duì)一切正整數(shù)

12結(jié)論．(3k2＋11k＋10)，(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上面可知等式成立．(2)假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝k(k＋1)

12則1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝k(k＋1)

12＝k(k＋1)

12[k(3k＋5)＋12(k＋2)][3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．2n＋1＝(k＋1)(k＋2)12＝(k＋1)(k＋2)12∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，，等等式式也也成成立立．綜合合(1)(2)，對(duì)對(duì)n∈N*等式式都都成成立立．．11××3＋13××5＋…＋2．用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明：：n∈N*時(shí)，，n1＝.(2n－1)(2n＋1)【互動(dòng)動(dòng)探探究究】＝，，＝，，左左邊邊＝＝右右邊邊，，所所以以等等式式成成立立．．＋…＋，＋…＋k1k(2k＋3)＋1證明明：：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，，左左邊邊＝＝111××33右邊邊＝＝12××1＋113(2)假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等等式式成成立立，，即即有有11××3＋13××51(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，11×3＋13×51(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝＋＝＝2k＋1(2k＋1)(2k＋3)(2k＋1)(2k＋3)2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝＝，，(2k＋1)(2k＋3)2k＋32(k＋1)＋1所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式式也成立立．由(1)(2)可知，對(duì)對(duì)一切n∈N*等式都成成立．考點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸歸納法證證明不等等式命題題∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不不等式式成立立，由(1)(2)知，等式式對(duì)所所有正正整數(shù)數(shù)都成成立．．(1)用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明命命題，，格式式嚴(yán)謹(jǐn)謹(jǐn)，必必須嚴(yán)格格按步步驟進(jìn)進(jìn)行；；(2)歸納遞遞推是是證明明的難難點(diǎn)，，應(yīng)看看準(zhǔn)““目標(biāo)標(biāo)”進(jìn)行變變形；；(3)由k推導(dǎo)到到k＋1時(shí)，有有時(shí)可可以““套””用其其他證證明方法，，如：：比較較法、、分析析法等等，表表現(xiàn)出出數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法“靈活活”的的一面．．－8(k＋1)－9＝9(32k+2－8k－9)＋9·8k＋9·9－考點(diǎn)4用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明整整除性性命題題例4：試證證：當(dāng)n為正整整數(shù)時(shí)時(shí)，f(n)＝32n+2－8n－9能被64整除．．由于32(k+1)+2即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，解析：：方法法一：：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯顯然成成立．．(2)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k+2－8k－9能被64整除．【互動(dòng)探究】3．求證：二二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．錯(cuò)源：由n＝k變化到n＝k＋1時(shí)理解不透透徹糾錯(cuò)反思：：數(shù)列中的的不等式常常用的放縮縮方法有：：利用分式式的性質(zhì)、利利用根式的的性質(zhì)、利利用不等式式的性質(zhì)、、利用二項(xiàng)項(xiàng)展開式、利用函函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)等進(jìn)行放放縮.①②③【互動(dòng)探究】“歸納——猜想——證明”是一一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問題和解解決問題的的思維模式式，對(duì)于探探索命題特特別有效，，要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)規(guī)律，敢于于提出更一一般的結(jié)論論，最后進(jìn)進(jìn)行嚴(yán)密的的論證．1．用數(shù)學(xué)歸歸納法證明明問題時(shí)應(yīng)應(yīng)注意：①第一步驗(yàn)驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0并不一定是是1；②第二步證證明的關(guān)鍵鍵是要運(yùn)用用歸納假設(shè)設(shè)，特別要要弄清由k到k＋1時(shí)命題的變化；③由假設(shè)n＝k時(shí)命題成立立，證n＝k＋1時(shí)命題也成成立，要充分利