高二物理競賽保守力成對力的功勢能課件

§2-4保守力成對力的功勢能一、保守力

功的大小只與物體的始末位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，這類力叫做保守力。不具備這種性質(zhì)的力叫做非保守力。

設(shè)質(zhì)量為m的物體在重力的作用下從a點任一曲線acb運(yùn)動到b點。1.重力作功在元位移中，重力所做的元功是由此可見，重力作功僅僅與物體的始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動物體所經(jīng)歷的路徑無關(guān)。表明：在重力場中物體沿任一閉合路徑運(yùn)動一周時重力所作的功為零。設(shè)物體沿任一閉合路徑運(yùn)動一周，重力所作的功為：2.彈性力的功

彈簧勁度系數(shù)為k，一端固定于墻壁，另一端系一質(zhì)量為m的物體，置于光滑水平地面。設(shè)兩點為彈簧伸長后物體的兩個位置，和分別表示物體在兩點時距點的距離。xOxxbOxaxxxbOxax

由此可見，彈性力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。3.萬有引力的功

兩個物體的質(zhì)量分別為M和m，它們之間有萬有引力作用。M靜止，以M為原點O建立坐標(biāo)系，研究m相對M的運(yùn)動。

由此可見，萬有引力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。保守力的數(shù)學(xué)表達(dá)式

質(zhì)點沿一閉合路徑繞行一周，力所作的功為零，該力稱保守力。二、成對力的功一對作用力和反作用力的功OA1A2B1B2

由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功只與作用力及相對位移有關(guān)，而與每個質(zhì)點各自的運(yùn)動無關(guān)。

表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。

保守力的普遍定義：在任意的參考系中，成對保守力的功只取決于相互作用質(zhì)點的始末相對位置，而與各質(zhì)點的運(yùn)動路徑無關(guān)。三、勢能以上討論了重力、彈力、引力的功上三式等號左邊是功，右邊是能量的改變，這種能量只跟位置有關(guān)，稱為位能(也稱勢能)。它是一種潛在的能量，不同于動能。A保>0,Epb<Epa保守力的功成對保守力的功等于系統(tǒng)勢能的減少(勢能增量的負(fù)值)。為了確定a點的勢能Epa,先要確定勢能零點Epb=零勢能點的選擇要使勢能的表達(dá)式比較簡單！重力勢能零點hb=0彈性勢能零點xb=0引力勢能零點rb=重力勢能=mgha引力勢能注意：(1)勢能既取決于系統(tǒng)內(nèi)物體之間相互作用的形式，又取決于物體之間的相對位置，所以勢能是屬于物體系統(tǒng)的，不為單個物體所具有。(2)物體系統(tǒng)在兩個不同位置的勢能差具有一定的量值，它可用成對保守力作的功來衡量。(3)勢能差有絕對意義，而勢能只有相對意義。勢能零點可根據(jù)問題的需要來選擇。四、勢能曲線

（一）重力勢能曲線（二）彈性勢能曲線（三）引力勢能曲線勢能曲線的作用：(1)根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動。彈性勢能曲線(2)利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。

表明：保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢能對此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值?？偨Y(jié):

(1)凡作功只取決于始末位置而與路徑無關(guān)的力叫保守力;(2)只有系統(tǒng)相互作用力為保守力才能引入勢能;(3)勢能是物體組成系統(tǒng)所具有;(5)保守力的功=勢能增量的負(fù)值。(4)

勢能是位置函數(shù)，勢能大小與勢能零點選取有關(guān);

例1

固定在天花板上的彈簧下掛一質(zhì)量為m的重物,彈簧的勁度系數(shù)為k，原長為l0，拉下重物后放手，分析系統(tǒng)勢能大小。Oxx解：建立坐標(biāo)，設(shè)平衡位置為彈性勢能和重力勢能的零點。距平衡位置為x

處系統(tǒng)勢能為：l0l(1)Oxxl0l由平衡位置條件：mg=kl,代入(1)式得：mgx=klx例2已知地球半徑為R，質(zhì)量為M?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的物體處在離地面高度2R處，以地球和物體為系統(tǒng),如取地面的引力勢能為零,則系統(tǒng)的引力勢能為

；如取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零,則系統(tǒng)的引力勢能為

。一、質(zhì)點系動能定理

設(shè)質(zhì)點系中有n個質(zhì)點，每個質(zhì)點受外力F,內(nèi)力f，利用質(zhì)點的動能定理，對第i個質(zhì)點有§2-5質(zhì)點系的功能原理機(jī)械能守恒定律i對系統(tǒng)n個質(zhì)點求和一力學(xué)系統(tǒng)所有外力作的功＋所有內(nèi)力作的功＝系統(tǒng)總動能的增量注意：內(nèi)力所作的功一般不為0。意義：例：彈丸擊入沙箱前進(jìn)一段距離。內(nèi)力所作的功A內(nèi)=–f(s+l)+f

'sf'=f所以

A內(nèi)=–fl0ffls注意：內(nèi)力所作的功一般不為0！二、功能原理對一個力學(xué)系統(tǒng)，根據(jù)質(zhì)點組動能定理因此而所以

系統(tǒng)的功能原理：當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和，這個結(jié)論叫做系統(tǒng)的功能原理。注意：

(1)當(dāng)我們?nèi)∧澄矬w作為研究對象時，使用的是單個物體的動能定理，其中外力所作的功指的是作用在物體上的所有外力所作的總功，所以必須計算包括重力、彈性力的一切外力所作的功。

(2)當(dāng)我們?nèi)∠到y(tǒng)作為研究對象時，由于應(yīng)用了系統(tǒng)這個概念，關(guān)于保守內(nèi)力所作的功，已為系統(tǒng)勢能的變化所代替，因此在演算問題時，如果計算了保守內(nèi)力所作的功，就不必再去考慮勢能的變化；反之，考慮了勢能的變化，就不必再計算保守內(nèi)力的功。例2(p84)一汽車的速度v0=36km/h，駛至一斜率為0.010的斜坡時，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？sGG1G2Nfr

如圖所示。設(shè)汽車能沖上斜坡的距離為s，此時汽車的末速度為0。根據(jù)動能定理解法一取汽車為研究對象。汽車上坡時，受到三個力的作用,

,

由以上兩式得到按題意，tg=0.010，表示斜坡與水平面的夾角很小，所以sin≈tg,上式可化為由于故即解法二取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對象，則系統(tǒng)內(nèi)只有汽車受到和兩個內(nèi)非保守力的作用，運(yùn)用系統(tǒng)的功能原理，有sGG1G2NfrGNfr由牛頓第二定律有：x軸：設(shè)斜面向上為x軸正方向，垂直斜面向上為y正方向。解法三兩邊積分解:在物體從A到B的下滑過程中，支持力N

處處和物體運(yùn)動方向相垂直，所以它是不作功的。把物體和地球作為系統(tǒng)。物體在A點時系統(tǒng)的能量EA是系統(tǒng)的勢能mgR，而在B點時系統(tǒng)的能量EB則是動能mv2/2，它們的差值就是摩擦力所作的功，由功能原理例3(P85)在圖中，一個質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。ORABNGfrv負(fù)號表示摩擦力對物體作負(fù)功，即物體反抗摩擦力作功42.4J。例4一條均勻鏈條，質(zhì)量為m，總長為l,呈直線狀放在桌面上，設(shè)桌面與鏈條之間的摩擦系數(shù)為μ。現(xiàn)已知鏈條下垂長度為a時，鏈條開始下滑，試計算鏈條全部離開桌面時的速率。解法一：鏈條下落過程重力、摩擦力做功，根據(jù)動能定理：當(dāng)鏈條下落dy時，重力作的功dAw

為axyO全過程重力的功：桌面摩擦力在鏈條下落時作的功：代入動能定理：解法二：以鏈條、地球為研究對象，由功能原理設(shè)O為零勢能點將(2)式和(3)式代入(1)式得——結(jié)果相同三、機(jī)械能守恒定律對一個力學(xué)系統(tǒng)來講，如果(或只有保守力作功)則:E2=E1系統(tǒng)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒定律：如果一個系統(tǒng)只有保守力作功，其它內(nèi)力和一切外力都不作功，或所作功的代數(shù)和等于零，那么系統(tǒng)的總機(jī)械能保持不變。說明：(1)機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系;(2)機(jī)械能守恒是對于系統(tǒng)而言，機(jī)械能守恒必須明確是對于哪些物體組成系統(tǒng);(3)守恒條件(4)系統(tǒng)保守內(nèi)力的功使得系統(tǒng)動能和勢能相互轉(zhuǎn)換，但不改變系統(tǒng)的機(jī)械能。四、能量守恒定律

能量不能消失，也不能創(chuàng)生，它只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式——能量守恒和轉(zhuǎn)換定律。例5兩個質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A、B，用一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。A緊靠墻。今用力推B塊，使彈簧壓縮x0然后釋放(已知m1=m，m2=3m)。求：(1)釋放后A，B兩滑塊速度相等時的瞬時速度的大小；(2)彈簧的最大伸長量。ABk解：設(shè)：彈簧恢復(fù)到原長時滑塊B的速度為VB0機(jī)械能守恒：A塊離墻后：v1=v2=v時：當(dāng)彈簧處于最大伸長量時，必有v1=v2=v=3VB0

4(2)由機(jī)械能守恒：化簡：例題6用一彈簧將質(zhì)量分別為m1和m2的上下兩水平木板連接如圖所示，下板放在地面上。(1)如以上板在彈簧上的平衡靜止位置為重力勢能和彈性勢能的零點，試寫出上板、彈簧以及地球這個系統(tǒng)的總勢能。(2)對上板加多大的向下壓力F，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起來？x0xOxFx1x2m1m2m1m2解:(1)參看圖(a)，取上板的平衡位置為x軸的原點，并設(shè)彈簧為原長時上板處在x0位置。系統(tǒng)的彈性勢能x0xOx系統(tǒng)的重力勢能所以總勢能為

考慮到上板在彈簧上的平衡條件，得kx0=m1g，代入上式得

可見，如選上板在彈簧上靜止的平衡位置為原點和勢能零點，則系統(tǒng)的總勢能將以彈性勢能的單一形式出現(xiàn)。末態(tài)初態(tài)(2)參看圖(b)，以加力F時為初態(tài)，撤去力F

而彈簧伸長最大時為末態(tài)，則x0xOxFx1