【優(yōu)化方案】高考數(shù)學一輪復習 第2章第十節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課件 文 蘇教

第十節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考第十節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用雙基研習?面對高考1．函數(shù)的單調性與導數(shù)基礎梳理雙基研習·面對高考思考感悟1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內單調遞增，則f′(x)>0，這種說法是否正確？提示：不正確，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內單調遞增，則f′(x)≥0，此處f′(x)＝0，并不是指x在[a，b]內處處有f′(x)＝0，可能只在某些具體的點處f′(x)＝0，即f′(x)不恒等于0.2．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的概念：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側_______，右側_______，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的______f′(x)＜0f′(x)＞0極小值點極小值．函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側_______，右側_________，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的__________極小值點、極大值點統(tǒng)稱為_________，極大值和極小值統(tǒng)稱為_______(2)求函數(shù)極值的步驟：①求導數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取_______，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取________f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點極大值．極值點極值．極大值極小值．思考感悟2．方程f′(x)＝0的根就是函數(shù)y＝f(x)的極值點是否正確？提示：不正確，方程f′(x)＝0的根未必都是極值點．3．函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，f(x)在[a，b]上求最大值與最小值的步驟：(1)__________________________

；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是_______，最小的一個是________求f(x)在(a，b)內的極值最大值最小值．4．生活中的優(yōu)化問題利用導數(shù)解決實際問題中的最值問題應注意：(1)在求實際問題中的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值應舍去．(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0的情形，那么不與端點值比較，也可知道這就是最大(小)值．(3)在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的自變量的函數(shù)關系式給予表示，還應確定函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間．1．函數(shù)f(x)＝x－lnx的單調區(qū)間是________答案：(0,1)2．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分別是________．答案：5，－15課前熱身3．f(x)＝x3－3x2＋3x的極值點點的個數(shù)數(shù)是________．答案：04．函數(shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，，則a的取值范圍是是________．答案：(－∞考點探究·挑戰(zhàn)高考考點突跛考點一導數(shù)與函數(shù)的單調性利用導數(shù)判斷斷函數(shù)單調性性的步驟(1)求導數(shù)f′(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內解解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結果確定定函數(shù)f(x)的單調區(qū)間間．例1【思路分析】(1)求f′(x)及f′(2)，(2)求f′(x)，轉化為研研究二次函函數(shù)的問題題，對a分類討論．．【名師點評】常見的分類類討論原因因有函數(shù)的的類型不確確定及求的的根大小不不確定等，，與求導后后所得的函函數(shù)類型有有關，討論論的關鍵是是要理清線線索，做到到不重不漏漏．變式訓練1設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲線y＝f(x)的斜率最小小的切線與與直線12x＋y＝6平行，求：：(1)a的值；(2)函數(shù)f(x)的單調區(qū)間間．例2【名師師點點評變式式訓訓練練2已知知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若若f(x)在區(qū)區(qū)間間(0,1]上恒恒為為單單調調函函數(shù)數(shù)，，則則實實數(shù)數(shù)a的取取值值范范圍圍為為________．∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在區(qū)區(qū)間間(0,1]上恒恒成成立立，，即即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函函數(shù)數(shù)y＝－－2x2－2x在區(qū)區(qū)間間(0,1]的值值域域為為[－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案案：：a≥0或a≤－4考點二導數(shù)與函數(shù)的極(最)值利用用導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)極極(最)值的的步步驟驟(1)確定定函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域；；(2)求導導數(shù)數(shù)f′(x)；(3)解方方程程f′(x)＝0，求求出出函函數(shù)數(shù)定定義義域域內內的的所所有有根根；；(4)列表表檢檢驗驗f′(x)在f′(x)＝0的根根x0左右兩側側值的符符號，如如果左正正右負，，那么f(x)在x0處取極大大值，如如果左負負右正，，那么f(x)在x0處取極小小值．例3【思路分析析】先求出函函數(shù)f(x)的導函數(shù)數(shù)f′(x)，再令導導函數(shù)f′(x)＝0，并求出出其根，，然后對對a分a>0、a<0兩種情況況，列表表討論f′(x)與f(x)的變化情情況，最最后由f′(x)與f(x)的變化情情況確定定出函數(shù)數(shù)的極值值．【名師點評評】本題是三三次函數(shù)數(shù)的極值值點問題題，三次次函數(shù)求求導后，，導函數(shù)數(shù)為二次次函數(shù)，，因而討討論時可可結合二二次函數(shù)數(shù)的知識識，尤其其是二次次函數(shù)的的圖象來來研究．．變式訓練練3(2010年高考重重慶卷)已知函數(shù)數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)數(shù)．(1)求f(x)的表達式式；(2)討論g(x)的單調性性，并求求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大大值與最最小值．．考點三導數(shù)在實際生活中的應用(1)分析實實際問問題中中各變變量之之間的的關系系，建建立實實際問問題的的數(shù)學學模型型，寫寫出相相應的的函數(shù)數(shù)關系系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求導數(shù)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判斷使f′(x)(2011年泰州高三三聯(lián)考)甲、乙兩水水池某時段段的蓄水量量隨時間變變化而變化化，甲水池池蓄水量(百噸)與時間t(小時)的關系是：：f(t)＝2＋sint，t∈[0,12]，乙水池蓄蓄水量(百噸)與時間t(小時)的關系是：：g(t)＝5－|t－6|，t∈[0,12]．問：何時時甲、乙兩兩水池蓄水水量之和達達到最大值值？最大值值為多少？？(參考數(shù)據(jù)：：sin6≈≈－0.279)．例4【思路分析】建立甲、乙乙兩水池蓄蓄水量之和和與關于t的函數(shù)關系系，利用導導數(shù)求解模模型．【解】設甲、乙兩兩水池蓄水水量之和為為H(t)＝f(t)＋g(t)，當t∈[0,6]時，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(6－t)＝sint＋t＋1，H′(t)＝cost＋1≥0，所以H(t)在t∈[0,6]上單調遞增增，所以[H(t)]max＝H(6)＝7＋sin6≈≈6.721；當t∈(6,12]時，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(t－6)＝sint－t＋13，H′(t)＝cost－1≤0，所以H(t)在t∈(6,12]上單調遞減減，所以H(t)＜6.721；故當t＝6h時，甲、乙乙兩水池蓄蓄水量之和和H(t)達到最大值值，最大值值約為6.721百噸．【名師點評】實際應用問問題中的導導數(shù)模型，，主要是利利用導數(shù)求求最值，一一旦在題中中建立了函函數(shù)關系，，就轉化成成了函數(shù)求求導問題，，因而準確確建立函數(shù)數(shù)關系是解解題的關鍵鍵．變式訓練4如圖，某地地有三家工工廠，分別別位于矩形形ABCD的兩個頂頂點A、B及CD的中點P處，AB＝20km，BC＝10km.為了處理理三家工工廠的污污水，現(xiàn)現(xiàn)要在該該矩形區(qū)區(qū)域上(含邊界)，且與A、B等距離的的一點O處，建造造一個污污水處理理廠，并并鋪設三三條排污污管道AO、BO、PO.設排污管管道的總總長度為為ykm.(1)按下列要求建建立函數(shù)關系系：(ⅰ)設∠BAO＝θ(rad),將y表示為(ⅱ)設PO＝x(km)，將y表示成x的函數(shù)．(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短．方法技巧1．利用導數(shù)研研究函數(shù)的單單調性比用函函數(shù)單調性的的定義要方便便，但應注意意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區(qū)間上上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件．．在(a，b)內可導的函數(shù)數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應應是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區(qū)間間內都不恒等等于0，這就是說，，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增增減性并不排排斥在區(qū)間內內個別點處有有f′(x0)＝0，甚至可以在在無窮多個點點處f′(x0)＝0，只要這樣的的點不能充方法感悟因此，在已知知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值值范圍時，應應令f′(x2．證明不等式f(x)>g(x)，通常轉化為證明F(x)＝f(x)－g(x)>0，也就是證明F(x)min>0，因此可利用導數(shù)求F(x)min.3．函數(shù)的最大大值、最小值值是比較整個個定義區(qū)間的的函數(shù)值得出出來的，函數(shù)數(shù)的極值是比比較極值點附附近的函數(shù)值值得出來的．．函數(shù)的極值值可以有多有有少，但最值值只有一個；；極值只能在在區(qū)間內取得得，最值則可可以在端點處處取得；有極極值的未必有有最值，有最最值的未必有有極值；極值值可能成為最最值，最值只只要不在端點點必定是極值值．失誤防范1．利用導數(shù)求求解函數(shù)的單單調區(qū)間時，，忽視定義域域常造成單調調區(qū)間錯誤．．2．在已知函數(shù)數(shù)的單調性求求某些字母的的取值范圍時時，常轉化為為f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的問題題，此處易忘忘掉對“＝”的考慮，即問問題考慮不嚴嚴謹．3．有關函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象，在判判斷時，f′(x)的符號反映f(x)的單調性，易易錯認為f′(x)的圖象的單調調趨向就是f(x)的單單調調趨趨向向．．本部部分分是是歷歷年年高高考考的的一一個個熱熱點點，，主主要要考考查查利利用用導導數(shù)數(shù)判考向瞭望·把脈高考考情分析另外外，，利利例規(guī)范解答【名師師點點評評】導數(shù)數(shù)的的有有關關問問題題的的解解法法基基本本上上是是固固定定不不變變的的