2015年海南大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)

2015年海南大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)

數(shù)列極限的定義例證例證函數(shù)極限定義：另兩種情形:1、定義：左極限右極限例證1.夾逼準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:(1)(2)兩個(gè)重要極限不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.注意例解例解解錯(cuò)例1例2證(舍去)例3、求極限

【解】上連續(xù)，故因在存在，且，所以，二、請(qǐng)問(wèn)何值時(shí)下式成立

【解】因此要想極限存在，分子必時(shí)使用洛必達(dá)法則得到cba,,注意到左邊得極限中，無(wú)論為何值總有分母趨于零，，當(dāng)須為無(wú)窮小量，于是可知必有由上式可知：當(dāng)時(shí)，若，則此極限，則存在，且其值為0；若綜上所述，得到如下結(jié)論：或。定義:最大最小值定理定理(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.定義:介值定理推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點(diǎn)定理,例2證由零點(diǎn)定理,定義導(dǎo)數(shù)定義其它形式即★2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):★例解四、求數(shù)列中的最小項(xiàng)?！窘狻恳?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)當(dāng)x分別取時(shí)的數(shù)列。又且令，容易看出：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以，有唯一極小值。而，因此數(shù)列的最小項(xiàng)。。例解例解定義:隱函數(shù)的顯化問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).隱函數(shù)求導(dǎo)例解解得例如消去參數(shù)問(wèn)題:消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?參數(shù)方程所確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得例如,羅爾定理例1證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,拉格朗日中值定理柯西中值定理例4證分析:結(jié)論可變形為泰勒(Taylor)中值定理麥克勞林(Maclaurin)公式常用函數(shù)的麥克勞林公式定義定積分的定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和證明利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得極限運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得故例將和式極限：表示成定積分.原式定積分中值定理積分中值公式解由積分中值定理知有使證可變上下限積分證證令例6求

解由圖形可知三、計(jì)算定積分?！窘狻孔髯儞Q，則

，

所以，。例4設(shè)求解例8計(jì)算廣義積分解瑕點(diǎn)不通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法.由定理1，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮限的廣義積分有以下比較收斂原理．廣義積分的審斂法例２解所給廣義積分收斂．

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)體體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為二、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積功水壓力引力解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為例3用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？設(shè)

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為一階線性微分方程上方程稱為齊次的．上方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為（使用分離變量法）解法非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)５、高階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見(jiàn)類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.一、型利用歐拉公式注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.五、求【解】當(dāng)時(shí)，收斂；?？紤]冪級(jí)數(shù),其收斂半徑為1，收斂區(qū)間為時(shí)，當(dāng)發(fā)散，因此其收斂域?yàn)?。設(shè)其和函數(shù)為,則，于是，故，。六、設(shè)，其中【解】上式兩端對(duì)求導(dǎo)得（*）為連續(xù)函數(shù)，求。原方程可寫為，

求導(dǎo)得兩端再對(duì)即這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程，，由（*）式知特征方程為，齊次通解為由原方程知設(shè)非齊次方程特解為，代入得則非齊次方程通解為由初始條件和可知，七、在過(guò)點(diǎn)和的曲線族中，求一條曲線L，使沿該曲線從o到A的積分的值最小?！窘狻?；令，得;且是在(0,+∞)內(nèi)的唯一極值點(diǎn)，故又，則在處取極小值，時(shí),取最小值，則所求曲線為八、設(shè)f(x)在[?1,1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：，x∈[?1,1]。。1．2.f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根?！咀C明】1.由泰勒公式，兩式相減并整理得于是,由于，因此，。2.令。則，。但F(x)在[?1,1]上連續(xù),由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。又由1可知，故這樣F(x)在[?1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在[?1,1]上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。九、設(shè)在為連續(xù)函數(shù),則【解】令則，則所以。即

c為常數(shù)。而，特別地,