廣東省肇慶聯(lián)盟校2022年高三第二次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．2．在中，在邊上滿足，為的中點，則（）.A． B． C． D．3．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．4．已知，則下列說法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題5．點在曲線上，過作軸垂線，設與曲線交于點，，且點的縱坐標始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．37．若,,,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．8．根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．9．將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．11．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項和______．14．已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為_______．15．觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個不等式應該為__________．16．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知都是各項不為零的數(shù)列，且滿足其中是數(shù)列的前項和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），．求證：對任意的恒成立．18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實數(shù)，的值.19．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.20．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值.21．（12分）[選修45：不等式選講]已知都是正實數(shù)，且，求證:．22．（10分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由題意畫出圖形，設球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設球的半徑為，，，由，得．如圖：設三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．2．B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因為，所以，故.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應用，是一道基礎題.3．A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功4．D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復合命題的真假判斷得答案．【詳解】當時，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點睛】本題考查復合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎題．5．C【解析】

設,則,則,即可得,設,利用導函數(shù)判斷的零點的個數(shù),即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調(diào)遞減；當時,,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.6．D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．7．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.8．A【解析】

每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.9．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數(shù)的圖象重合，則，即，，當時，取得最小值為，故選：．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關系求出解析式是解決本題的關鍵．10．A【解析】分析：題設中復數(shù)滿足的等式可以化為，利用復數(shù)的四則運算可以求出.詳解：由題設有，故，故選A.點睛：本題考查復數(shù)的四則運算和復數(shù)概念中的共軛復數(shù)，屬于基礎題.11．A【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，丁：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；假設甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.【點睛】本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎題.12．D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經(jīng)過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列，∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運算是關鍵，是基礎題.14．【解析】

判斷的奇偶性和單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為，運用單調(diào)性，可得到所求解集．【詳解】令，易知函數(shù)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，，即，∴∴，即x＞故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．15．【解析】

根據(jù)題意，依次分析不等式的變化規(guī)律，綜合可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，對于第一個不等式，，則有，對于第二個不等式，，則有，對于第三個不等式，，則有，依此類推：第個不等式為：，故答案為．【點睛】本題考查歸納推理的應用，分析不等式的變化規(guī)律．16．.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,及與長度有關的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項與前項和的關系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解：．是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當時,,兩式作差,可得．當時,滿足上式,則；證明：,當時,,兩式相減得：即．即．又,,即．當時,,兩式相減得：．數(shù)列從第二項起是公差為的等差數(shù)列．又當時,由得,當時,由,得．故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；證明：由,當時,,即,,,即,即,當時,即．故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,當時,．．另外,由已知條件可得,又,,因而．令,則．故對任意的恒成立．【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等.同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項,再利用作商法證明.屬于難題.18．（1）（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關系式，即求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，由，解得；當時，可得，即，顯然當時上式也適合，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因為對恒成立，所以，.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的前n項和公式，以及裂項法求和的應用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，即可：（2）取中點，連，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出與平面的法向量，再利用計算即可.【詳解】（1）∵底面為菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如圖，取中點，連，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系：，點，設平面的法向量為，，有，令，得又，設直線與平面所成的角為，所以故直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明以及向量法求線面角的正弦值，考查學生的運算求解能力，本題解題關鍵是正確寫出點的坐標.20．（1）（2）【解析】

（1）由公比表示出，由成等差數(shù)列可求得，從而數(shù)列的通項公式；（2）求（1）得，然后對和式兩兩并項后利用等差數(shù)列的前項和公式可求解．【詳解】（1）∵是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查并項求和法及等差數(shù)列的項和公式．本題求數(shù)列通項公式所用方法為基本量