地理信息系統(tǒng)課程GIS空間插值

空間插值

SpatialInterpolation空間插值的概念空間插值的類型空間插值的方法空間插值概念空間插值——空間插值常用于將離散點(diǎn)的測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面，以便與其它空間現(xiàn)象的分布模式進(jìn)行比較，它包括了空間內(nèi)插和外推兩種算法?？臻g內(nèi)插算法：通過已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)推求同一區(qū)域未知點(diǎn)數(shù)據(jù)。空間外推算法：通過已知區(qū)域的數(shù)據(jù)，推求其它區(qū)域數(shù)據(jù)。

例如：在一個沒有數(shù)據(jù)記錄的地點(diǎn)，其降水量可通過對附近氣象站已知降水量記錄的插值來估算出來。進(jìn)行空間插值要有兩個基本條件：已知點(diǎn)和插值方法控制點(diǎn)是已知數(shù)值的點(diǎn)，也稱為已知點(diǎn)、樣本點(diǎn)或觀測點(diǎn)。控制點(diǎn)提供了為空間插值建立插值方法的必要數(shù)據(jù)。空間插值的一個基本假設(shè)是估算點(diǎn)的數(shù)值受到鄰近控制點(diǎn)的影響比較遠(yuǎn)控制點(diǎn)的影響更大。空間插值方法的分類整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法；確定性插值和地統(tǒng)計(jì)插值；精確插值和近似插值。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法整體插值整體插值：用研究區(qū)所有采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行全區(qū)特征擬合。整個區(qū)域的數(shù)據(jù)都會影響單個插值點(diǎn)，單個數(shù)據(jù)點(diǎn)變量值的增加、減少或者刪除，都對整個區(qū)域有影響。典型例子是：全局趨勢面分析

某些區(qū)域化地質(zhì)變量，如地層面的深度、地層厚度、地層水礦化度等，均可認(rèn)為其分布在三維空間的某個曲面G上。若已知G，則可根據(jù)它來研究這些地質(zhì)變量在區(qū)域上的分布規(guī)律和局部特征.

實(shí)際的工作中無法得到準(zhǔn)確的G

，但卻可以根據(jù)已知的觀測數(shù)據(jù)：Mi(xi

,yi

,zi)(i=1,2,…,n)，構(gòu)造(擬合)一個近似于G

的數(shù)學(xué)曲面L。一般把這個擬合的曲面L稱為趨勢面。

趨勢面分析就是在空間中已知點(diǎn)Mi(xi,yi,zi)的控制下，擬合一個連續(xù)的數(shù)學(xué)曲面，并以此研究地質(zhì)變量在區(qū)域上和局部范圍內(nèi)變化規(guī)律的一種統(tǒng)計(jì)方法。

擬合的數(shù)學(xué)曲面叫做趨勢面。多項(xiàng)式和付立葉級數(shù)是趨勢面分析常用的數(shù)學(xué)模型。一、多項(xiàng)式曲面的一般形式1、當(dāng)數(shù)據(jù)為一維時1）線性回歸:2）非線性：二次或高次多項(xiàng)式：

式中z

—變量；

x,y—觀測點(diǎn)的地理坐標(biāo)。若多項(xiàng)式中自變量的最高次數(shù)為k，則稱這種多項(xiàng)式為k次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式曲面的形態(tài)將隨著k的增大而趨向復(fù)雜。2、數(shù)據(jù)是二維的二元二次或高次多項(xiàng)式xxxyyyzzzk=1k=2k=3圖1-3次多項(xiàng)式趨勢面示意圖最小二乘法對于變量間的相關(guān)關(guān)系，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)資料，找出它們在數(shù)量變化方面的規(guī)律，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律所揭示的關(guān)系就是回歸關(guān)系,所表示的數(shù)學(xué)方程就是回歸方程。圖中的直線可表示為根據(jù)上式，在確定α、β的情況下，給定一個x值，我們就能夠得到一個確定的y值，然而根據(jù)上式得到的y值與實(shí)際的y值存在一個誤差如果我們以ｕ表示誤差，則方程變?yōu)椋害痢ⅵ聻榛貧w系數(shù)ｕ為隨機(jī)誤差項(xiàng)使直線與各散點(diǎn)的距離的平方和最小

RSS==根據(jù)最小化的一階條件，將式分別對x,y求偏導(dǎo)，并令其為零，即可求得α,β一階線性平面可模擬具有單一坡度的斜坡地形表面；二次曲面方程可表達(dá)山頭、洼地區(qū)域；三次曲面則能描述較為復(fù)雜的地形曲面。2調(diào)和趨勢面分析

調(diào)和趨勢面分析的數(shù)學(xué)模型是正弦和余弦函數(shù)的組合，它具有波動的特征。地層界面的波狀起伏、沉積旋回、地球磁場的變化等都表現(xiàn)出不嚴(yán)格的周期性重復(fù)。因此,調(diào)和趨勢面有時更有利于把具有波狀特征的地質(zhì)變量的趨勢部分和異常分開,進(jìn)而研究地質(zhì)變量的波動特征。多項(xiàng)式與調(diào)和趨勢面的比較3次多項(xiàng)式6次多項(xiàng)式8次多項(xiàng)式1階調(diào)和2階調(diào)和3階調(diào)和由于以下缺點(diǎn)，在空間內(nèi)插中整體內(nèi)插并不常用：采樣點(diǎn)的增減或移動都需要對多項(xiàng)式的系數(shù)作全面調(diào)整，從而采樣點(diǎn)之間會出現(xiàn)難以控制的振蕩現(xiàn)象，致使函數(shù)極不穩(wěn)定；解算速度慢且對計(jì)算機(jī)容量要求較高。不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征；優(yōu)點(diǎn)：整個區(qū)域上函數(shù)的唯一性、能得到全局光滑連續(xù)的空間曲面、分反映宏觀地形特征等。在空間內(nèi)插中，一般是與局部內(nèi)插方法配合使用，例如在使用局部內(nèi)插方法前，利用整體內(nèi)插去掉不符合總體趨勢的宏觀地物特征。整體內(nèi)插函數(shù)常常用來揭示整個區(qū)域內(nèi)的地形宏觀起伏態(tài)勢。全局多項(xiàng)式插值法適用于在數(shù)據(jù)集中創(chuàng)建平滑表面及標(biāo)識長期趨勢。然而，在地球科學(xué)中，除了長期趨勢之外，感興趣的變量通常還具有短程變化。當(dāng)數(shù)據(jù)集顯示出短程變化時，局部多項(xiàng)式插值法地圖可捕獲這種變化。將區(qū)域按一定的方法進(jìn)行分塊，對每一塊根據(jù)地形曲面特征單獨(dú)進(jìn)行曲面擬合和高程內(nèi)插，每一塊都可用不同的曲面進(jìn)行表達(dá)，稱為空間分塊內(nèi)插。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法局部內(nèi)插法局部內(nèi)插法局部內(nèi)插法只使用鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)來估計(jì)未知點(diǎn)的值，步驟如下：定義一個鄰域或搜索范圍；搜索落在此鄰域范圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)；選擇能表達(dá)這有限個點(diǎn)空間變化的數(shù)學(xué)函數(shù)；為未知的數(shù)據(jù)點(diǎn)賦值。局部內(nèi)插方法：線性內(nèi)插,移動擬合法，反距離權(quán)重內(nèi)插Kriging插值單個數(shù)據(jù)點(diǎn)的改變只影響其周圍有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法1、線性內(nèi)插將內(nèi)插點(diǎn)周圍的3個數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可解算出系數(shù)a0、a1、a2。2、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插將內(nèi)插點(diǎn)周圍的4個數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可解算出系數(shù)a0、a1、a2、a3。3、移動擬合法逐點(diǎn)內(nèi)插：是以內(nèi)插點(diǎn)為中心，確定一個鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的值。逐點(diǎn)內(nèi)插本質(zhì)上是局部內(nèi)插，但與局部分塊內(nèi)插有所不同：局部內(nèi)插中的分塊范圍一經(jīng)確定，在整個內(nèi)插過程中其大小、形狀和位置是不變的，凡是落在該塊中的內(nèi)插點(diǎn)，都用該塊中的內(nèi)插函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。逐點(diǎn)內(nèi)插法的鄰域范圍大小、形狀、位置乃至采樣點(diǎn)個數(shù)隨內(nèi)插點(diǎn)的位置而變動，一套數(shù)據(jù)只用來進(jìn)行一個內(nèi)插點(diǎn)的計(jì)算。4、反距離權(quán)重插值IDW權(quán)重：距離的n次冪倒數(shù)，每個樣本點(diǎn)對預(yù)測點(diǎn)的貢獻(xiàn)不一樣，權(quán)重大小隨距離大小而變化。權(quán)重系數(shù)wj的計(jì)算是關(guān)鍵問題，不同類型距離反比法的差別就是權(quán)重系數(shù)的計(jì)算公式因而最后的插值結(jié)果也有細(xì)微的差別。邊界內(nèi)插法使用邊界內(nèi)插法時，首先要假定任何重要的變化都發(fā)生在區(qū)域的邊界上，邊界內(nèi)的變化則是均勻的、同質(zhì)的。Thiessen多邊形法荷蘭氣候?qū)W家Thiessen提出了一種根據(jù)離散分布的氣象站的降雨量來計(jì)算平均降雨量的方法，即將所有相鄰氣象站連成三角形，作這些三角形各邊的垂直平分線，于是每個氣象站周圍的若干垂直平分線便圍成一個多邊形。用這個多邊形內(nèi)所包含的一個唯一氣象站的降雨強(qiáng)度來表示這個多邊形區(qū)域內(nèi)的降雨強(qiáng)度，并稱這個多邊形為泰森多邊形。公式2、確定性方法和地統(tǒng)計(jì)方法確定性方法確定性插值法是使用數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行插值，以研究區(qū)域內(nèi)部的相似性（如反距離加權(quán)插值法），或者以平滑度為基礎(chǔ)（如徑向基函數(shù)插值法）由已知樣點(diǎn)來創(chuàng)建預(yù)測表面的插值方法。全局多項(xiàng)式插值、反距離權(quán)插值、局部多項(xiàng)式插值

地統(tǒng)計(jì)學(xué)插值基于自相關(guān)性(測量點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征產(chǎn)生曲面；克里格方法依賴于數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)模型，正是由于引入了包括概率模型在內(nèi)的統(tǒng)計(jì)模型，使克里格方法與確定性插值方法區(qū)分開來。在克里格方法中預(yù)測的結(jié)果將與概率聯(lián)系在一起。由于建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上，因此不僅可以產(chǎn)生預(yù)測曲面，而且可以產(chǎn)生誤差和不確定性曲面，用來評估預(yù)測結(jié)果的好壞多種kriging方法克里金插值由南非采礦工程師D.G.克里格（D.G.Krige）于1951年首次提出，故命名為“克里金”法，后經(jīng)法國著名地理數(shù)學(xué)學(xué)家G.Matheron發(fā)展深化。空間自相關(guān)(spatialautocorrelation)是指一些變量在同一個分布區(qū)內(nèi)的觀測數(shù)據(jù)之間潛在的相互依賴性。地理數(shù)據(jù)由于受空間相互作用和空間擴(kuò)散的影響，彼此之間可能不再相互獨(dú)立，而是相關(guān)的。例如，視空間上互相分離的許多市場為一個集合，如市場間的距離近到可以進(jìn)行商品交換與流動，則商品的價格與供應(yīng)在空間上可能是相關(guān)的，而不再相互獨(dú)立。實(shí)際上，市場間距離越近，商品價格就越接近、越相關(guān)。首先考慮的是空間屬性在空間位置上的變異分布．確定對一個待插點(diǎn)值有影響的距離范圍，然后用此范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)來估計(jì)待插點(diǎn)的屬性值。該方法在數(shù)學(xué)上可對所研究的對象提供一種最佳線性無偏估計(jì)。它是考慮了信息樣品的形狀、大小及與待估計(jì)塊段相互間的空間位置等幾何特征以及品位的空間結(jié)構(gòu)之后，為達(dá)到線性、無偏和最小估計(jì)方差的估計(jì)，而對每一個樣品賦與一定的系數(shù)，最后進(jìn)行加權(quán)平均來估計(jì)塊段品位的方法。Kriging插值的方法式中：z0為待插入點(diǎn)的值；Zx為已知點(diǎn)的值Wx為每個點(diǎn)的權(quán)重值計(jì)算Wi，通過變異函數(shù)來確定上式中的加權(quán)系數(shù)來計(jì)算。3、精確插值和近似插值精確插值：產(chǎn)生通過所有觀測點(diǎn)的曲面。在精確插值中，插值點(diǎn)落在觀測點(diǎn)上，內(nèi)插值等于估計(jì)值。近似插值：插值產(chǎn)生的曲面不通過所有觀測點(diǎn)。當(dāng)數(shù)據(jù)存在不確定性時，應(yīng)該使用近似插值，由于估計(jì)值替代了已知變量值，近似插值可以平滑采樣誤差。插值驗(yàn)證（1）交叉驗(yàn)證交叉驗(yàn)證法（cross－validation），首先假定每一測點(diǎn)的要素值未知，而采用周圍樣點(diǎn)的值來估算，然后計(jì)算所有樣點(diǎn)實(shí)際觀測值與內(nèi)插值的誤差，以此來評判估值方法的優(yōu)劣。各種插值方法得到的插值結(jié)果與樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)比較。對每種插值方法重復(fù)下面的步驟，實(shí)現(xiàn)對不同插值方法的比較：從數(shù)據(jù)集中除去一個已知點(diǎn)的測量值；用剩余的點(diǎn)估計(jì)除去點(diǎn)的值；比較原始值和估計(jì)值，計(jì)算出估計(jì)值的預(yù)測誤差。針對每個已知點(diǎn)，進(jìn)行上述步驟，然后評價不同插值方法的精確度。常用的評價指標(biāo)是均方根（RMS）：計(jì)算每個點(diǎn)的RMS計(jì)算某種插值方法的平均RMS?????123選擇某種插值方法45（2）“實(shí)際