數(shù)學建模選修課第二次作業(yè)

數(shù)學建模作業(yè)1.什么是數(shù)學模型？答：所謂數(shù)學模型,是指針對或參照現(xiàn)實世界中某類事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系,經(jīng)過簡化與抽象,用形式化的數(shù)學語言概括或近似地加以表述的一種數(shù)學結(jié)構(gòu).一般表現(xiàn)為數(shù)理邏輯的邏輯表達式、各種數(shù)學方程(如代數(shù)方程、微分方程、積分方程等)及反映量與量之間相互關(guān)系的圖形、表格等形式.它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài),或者能預測對象的未來狀態(tài),或者能提供處理對象的最優(yōu)決策與控制.好的數(shù)學模型應(yīng)具備可靠性和可解性(也叫適用性)兩方面的特性:可靠性指在允許的誤差范圍內(nèi),能反映出該系統(tǒng)有關(guān)特性的內(nèi)在聯(lián)系;可解性指易于數(shù)學處理與計算.數(shù)學模型方法將復雜的研究對象簡單化、抽象化,撇開對象的一些具體特征,減少其參數(shù),只抽取其主要量、量的變化及量與量之間的相互關(guān)系,在“純粹”的形態(tài)上進行研究,突出主要矛盾,忽略次要矛盾,用數(shù)學語言刻畫出客觀對象量的規(guī)律性,簡潔明了地描述現(xiàn)實原形,揭示出其本質(zhì)的規(guī)律,并在對模型修正、求解的基礎(chǔ)上使原問題得以解決.可以說,數(shù)學模型是對現(xiàn)實原形的一種理想化處理是一個科學的抽象過程,因而具有高度的抽象性與形式化特征.這一特征使其成為一種經(jīng)典的數(shù)學方法,并隨著科學技術(shù)的數(shù)學化趨勢,超越數(shù)學范疇,廣泛地應(yīng)用于自然PAGEPAGE6PAGEPAGE52013科學、工程技術(shù)和社會科學的一切領(lǐng)域.。數(shù)學模型是如何分類的？答：預報或預測、控制實際系統(tǒng)的基礎(chǔ)。答：模型假設(shè)是整個建模的起點，是模型建立的基礎(chǔ)，不同的人對同一事物的認程。.按兩個基本原則的順序進行反復的操作。表示對象間聯(lián)系。聯(lián)系原則構(gòu)造出對象之間的聯(lián)系的具體方式或細節(jié)分割的復雜性在于不存在絕對的客觀分割的標準因為任何一個分割方式都帶有一定的主觀性，的復雜性。對其復雜性我們有必要作深入探討和研究。答：建模的一般方法：機理分析：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，通準則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。在實際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定建立數(shù)答：建模的具體步驟大致如下：1、實際問題通過抽象、簡化、假設(shè)，確定變量、參數(shù)；2、建立數(shù)學模型并數(shù)學、數(shù)值地求解、確定參數(shù)；3、用實際問題的實測數(shù)據(jù)等來檢驗該數(shù)學模型；二、多項式插值y=sinx0，π/4，π/2P2(x)，sin(π/8)的近似值，并估計截斷誤差。2013數(shù)學建模選修課第二次作業(yè)解：

0,x1

/40.785398,x2

/21，則yy0 1

/20.707107,y1222(x

)(xx)

(x

)(xx

) (x

)(xx)1p(x)12

(xx221000 22100

)(x0

x2

y(x1

x)(x0

x2

y(x2

x)(x0

x)y21/0.405330f) )R(x) (xx)(xx)(xx) (x

)(xx

)(xx)2

0 1 2 6

0 1 2程序代碼：clearall;clc;x=[0pi/4pi/2];%%計算各個插值點的x的值y=sin(x);%%sin中一定要帶括號p=polyfit(x,y,2);%%構(gòu)造二次插值多項式f=inline('sinx');%%sinxfprintf('運行結(jié)果為：\n\n')%%輸出語句disp('構(gòu)造的二次插值多項式P2(x)為：')%%輸出語句f=poly2str(p,'x')%%將擬合后的多項式系數(shù)（雙精度數(shù)組）轉(zhuǎn)換為字符形式的函數(shù)poly2sym(p);%%將該向量轉(zhuǎn)換為多項式fprintf('sin(π/8)的近似值為：\n')m=polyval(p,pi/8)%%用于對已經(jīng)擬合后的多項式系數(shù)，%%當給出某個點時求其函數(shù)值;計算插值多項式在pi/8處的值fprintf('sin(π/8)n=sin(pi/8)fprintf('Rn(x)為：\n')%%R=abs(n-m)運行結(jié)果：運行結(jié)果為：P2(x)f=-0.33575x^2+1.164x-2.8824e-016sin(π/8)的近似值為：m=0.4053sin(π/8)的真實值為：n=0.3827Rn(x)R=0.0226結(jié)果分析：poly2strpoly2sym轉(zhuǎn)換為多項式的函數(shù)，即無法計算，經(jīng)查資料后修改得到結(jié)果如上。三、數(shù)值積分8.534米，然后等距離的測得縱向高度，自左向右分別為0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073面積。2013數(shù)學建模選修課第二次作業(yè)解：程序代碼：x=linspace(0,8.534,13)%08.53413y=[00.9145.0607.7728.7179.0839.1449.0838.9928.6877.3762.0730];x0=0:0.001:8.534;y1=interp1(x,y,x0);%%一維線性插值函數(shù)fprintf('梯形積分結(jié)果為：\n\n')%%輸出語句x=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];y=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])];subplot(1,2,1);plot(x,y,'-r')%,x0,y1,'-r')S=trapz(y1)*0.001%%title('用梯形積分結(jié)果圖');xlabel('x');ylabel('y');y=[0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073];n=length(y)x=linspace(0,8.534,n);pp=spline(x,y);%%求樣條函數(shù)表達式fprintf('辛普森積分結(jié)果為：\n\n')%%輸出語句S2=quadl(@ppval,0,8.534,[],[],pp)%%高階法數(shù)值積分%%%繪制甲板的圖形subplot('position',[200,150,900,400])%%subplot('Position',[left bottom height])%figure的位置和大小，距離屏幕左邊200，底部150，寬900，高400，默認單位是像素xx=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];%%x1翻轉(zhuǎn)yy=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])];%實現(xiàn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)subplot(1,2,2)plot(xx,yy)title('用辛普森積分結(jié)果圖xlabel('x');ylabel('y');運行結(jié)果：x=Columns1through110 0.7112 1.4223 2.1335 2.8447 3.5558 4.26704.9782 5.6893 6.4005 7.1117Columns12through7.8228 8.5340梯形積分結(jié)果為：S=54.6894n=7PAGEPAGE82013數(shù)學建模選修課第二次作業(yè)11辛普森積分結(jié)果為：S2=65.2824結(jié)果分析：知。結(jié)果是第一個的結(jié)果沒有第二個結(jié)果好。四、多項式擬合對于以下實驗數(shù)據(jù)x=(11.522.533.544.555.567891011)y=（44.688.49.289.59.79.861010.210.3210.3010.2410.1810.009.40）給出擬合多項式，計算x=6.5,12處的值，并繪制相應(yīng)曲線圖。解：程序代碼：clearall;clc;x=[11.522.533.544.555.567891011];y=[44.688.49.289.59.79.861010.210.3210.3010.2410.1810.009.40];a=polyfit(x,y,5); %擬合出的五次函數(shù)的系數(shù)fprintf('運行結(jié)果為：\n\n')%%輸出語句disp('構(gòu)造的二次插值多項式P2(x)為：')%%輸出語句f=poly2str(a,'x')%%（雙精度數(shù)組poly2sym(a);%%將該向量轉(zhuǎn)換為多項式fprintf('x=6.5的近似值為：\n')m=polyval(a,6.5)%%用于對已經(jīng)擬合后的多項式系數(shù)，fprintf('x=12的近似值為：\n')n=polyval(a,12)%%用于對已經(jīng)擬合后的多項式系數(shù)，xx=linspace(min(x),max(x)); %繪圖用到的點的橫坐標yy=polyval(a,xx);%擬合曲線的縱坐標%subplot(2,2,4);plot(x,y,'m.',xx,yy,'b'); %繪圖，原始數(shù)據(jù)+擬合曲線xlabel('x');ylabel('y');legend('原始數(shù)據(jù)','擬合曲線'); %圖示title('五次多項式擬合曲線');holdon;x=[6.512];y=[mn];plot(x,y,'gs')運行結(jié)果：92013數(shù)學建模選修課第二次作業(yè)運行結(jié)果為：P2(x)f=0.00038416x^5-0.01707x^4+0.28271x^3-2.2403x^2+8.6685x-3.1048x=6.5的近似值為：m=10.2120x=12的近似值為：n=8.458510PAGEPAGE11結(jié)果分析：x=6.5,12第二個圖。五、常微分方程數(shù)值解用預估校正Euler法，求解定解問題 yy22x, x y(0)1,求出步長為1的所有點的值，并繪制圖形。解：程序代碼：clc;clearf=inline('y^2-2*x/y');xx=0:1:10;x=xx;x(1)=0;y(1)=1;h=1;n=10;fprintf('每個節(jié)點的結(jié)果為：\n\n')%%輸出語句fori=1:1:n+1x(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));xx=x(i)yy=y(i)end;fprintf('最后的結(jié)果為：\n\n')%%輸出語句m=y(n)plot(x,y,'-mo') %繪圖，原始數(shù)據(jù)+擬合曲線2013數(shù)學建模選修課第二次作業(yè)xlabel('x');ylabel('y');title('預估校正Euler法解定解問題的曲線');運行結(jié)果：每個節(jié)點的結(jié)果為：xx=0yy=1