第五章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

第五章流體動力學(xué)基礎(chǔ)流體動力學(xué)概述5.1理想流體的運(yùn)動微分方程式5.2理想流體的伯努利方程式5.3實際流體總流的伯努利方程式5.4伯努利方程的應(yīng)用

5.5葉輪機(jī)械內(nèi)相對運(yùn)動伯努利方程5-6動量方程和動量矩方程及其應(yīng)用流體動力學(xué)概述流體動力學(xué)是研究流體在外力作用下的運(yùn)動規(guī)律即研究流體動力學(xué)物理量和運(yùn)動學(xué)物理量之間的關(guān)系的科學(xué)。流體動力學(xué)主要研究內(nèi)容就是要建立流體運(yùn)動的動量平衡定律、動量矩平衡定律和能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律）、流量測量原理。5.1

理想流體的運(yùn)動微分方程式1、選取控制體：在所研究的運(yùn)動流體中，任取一微小平行六面體，如圖5-1所示。六面體邊長分別為dx、dy、dz，平均密度為，頂點A處的壓強(qiáng)為p。2、受力分析質(zhì)量力：fxdxdydz,fydxdydz,fzdxdydz

表面力：設(shè)A點壓強(qiáng)為p時，則與其相鄰的ABCD、ADEH、ABGH三個面上的壓強(qiáng)均為p，而與這三個面相對應(yīng)的EFGH、BCFG、CDEF面上的壓強(qiáng)可由泰勒級數(shù)展開略去二階以上無窮小量而得到，分別為則x、y、z軸向上的表面力分別為：X軸：Y軸：Z軸：則根據(jù)牛頓第二定律有：化簡整理得：歐拉運(yùn)歐拉平動微分衡微分方程式方程式其中加速度項可分解為時變加速度和位變加速度之和：歐拉運(yùn)動微分方程式又可以表示為：理想流體的運(yùn)動微分方程式一、理想流體沿流線的伯努利方程式在流場中任取一流線，假設(shè)單位質(zhì)量的流體質(zhì)點某瞬時的速度為v=ui+vj+wk。不論運(yùn)動是否定常，經(jīng)過dt時間質(zhì)點沿流線移動一段微小位移dl=dxi+dyj+dzk則單位質(zhì)量理想流體沿這段微元流線移動時外力所作的功為：在定常流動的條件下

5.2理想流體的伯努利方程式令平均速度兩邊求導(dǎo)得：

所以上式化簡為若流體不可壓縮，即=c，積分上式得在重力場中如果流體所受的質(zhì)量力只有重力，則

fx=0，fy=0，fz=-g，U=-gz得到理想不可壓縮流體重力作用下沿流線的伯努利方程式：式一式二式三二、理想流體總流的伯努利方程1、動能修正系數(shù)α用平均速度表示的單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體動能為：單位時間內(nèi)通過同一過流斷面的真實流體動能為：(忽略二級無窮小)所以2、緩變流動及其特性緩變流動：流線間夾角很小，流線曲率很小，即流線幾乎是一些平行直線的流動。緩變過流斷面：如果在流束的某一過流斷面上的流動為緩變流動，則稱此斷面為緩變過流斷面。緩變流動具有以下兩條主要特性：（1）在緩變流動中，質(zhì)量力只有重力。（2）在同一緩變過流斷面上，任何點上的靜壓水頭都相等。3、理想流體總流的伯努利方程式任取1-1、2-2兩過流截面，并在其上取一微小流束，對應(yīng)的面積分別為dA1和dA2

，對應(yīng)的速度分別為u1和u2

，對應(yīng)的壓強(qiáng)分別為p1和p2，相對于基準(zhǔn)面的位置高度分別為z1

和z2。對于理想流體，每一微小流束上單位重量流體的能量關(guān)系式為單位時間內(nèi)流過總流過流斷面1-1、2-2的流體所具有的能量關(guān)系式為該式實際是由兩部分構(gòu)成：(1)勢能項積分：該項表示單位時間通過過流斷面的流體總勢能。對于緩漸變流，其流過過流斷面上的動壓強(qiáng)按靜壓強(qiáng)的規(guī)律分布，即(2)動能項積分該項表示單位時間通過過流斷面的流體動能。但由于過流斷面各點速度不同，為此需引入修正系數(shù)α，使積分可按斷面平均速度v來計算。式中：于是：得理想流體總流的伯努利方程式：設(shè)1-1、2-2為總流的兩個截面，對任意一條微小流束，有：總流的伯努利方程的另一推導(dǎo)兩式相乘并積分或在一些工程問題中，流動往往具有固定的邊界，例如液體和氣體在管道中的流動，這種流動是由許多微小流柬組成的，所有這些流束的全體稱為總流。V=Q/A是截面上的平均速度，稱為動能修正系數(shù)如果1-1和2-2都為漸變流(緩變流)，有常數(shù)用平均速度表示速度水頭的積分對不可壓縮流體的定常流動，Q1=Q2上式稱為總流的伯努利方程。對于管流，z和p可以在軸線上取值。動能修正系數(shù)α與截面上的速度分布有關(guān)，速度分布愈不均勻,α的值愈大。在工程實際的流動中，α≈1總流的伯努利方程應(yīng)用條件(1)恒定(定常)(2)理想流體(3)不可壓流體(4)重力場(5)所選過流斷面流動均勻或漸變流總流伯努利方程的推廣：兩支總流的匯合是單位重量流體具有的總勢能；式中每一項都表示單位重量流體具有的某種能量。z是單位重量流體具有的位置勢能；是單位重量流體具有的壓強(qiáng)勢能；是單位重量流體具有的動能；伯努利方程表示理想流體恒定流動，沿同一條流線，各點單位重量流體的機(jī)械能守恒。工程流體力學(xué)是單位重量流體具有的總機(jī)械能。4、伯努利方程的物理意義理想流體伯努利方程的物理意義是：在滿足一定的條件下，沿總流單位重量流體所具有的總機(jī)械能（位置勢能、壓強(qiáng)勢能及動能）可以相互轉(zhuǎn)化，但總和不變，它是機(jī)械能守恒定律在理想流體中的表現(xiàn)形式。【例4.1】用水銀比壓計測量管中水流，過流斷面中點流速如圖（4.3）。測得A點的比壓計讀數(shù)（不計損失）。求：（1）該管中的流速v；（2）若管中流體是密度為0.8g/cm3的油，仍不變，該點流速又為多少。

工程流體力學(xué)圖4.3點流速的測量【解】（1）管中流動若不計損失，則管中流動為均流。現(xiàn)要測量過流斷面上A點的流速，用水銀比壓計來測量，其原理是：由于來流在A點受比壓計的阻滯，該處的速度為零（或者A點為兩條流線相交的前駐點）；該處動能全部轉(zhuǎn)化成勢能，而水銀比壓計另一端B點在管壁，該處的流速是管中均流每一點的速度，也可看成A點前方某一點的速度。應(yīng)用理想流體伯努利方程：工程流體力學(xué)式中是管中流體的重度。（2）若水流改為油

工程流體力學(xué)一、實際流體總流的伯努利方程式二、實際流體總流的伯努利方程的適用條件

（1）不可壓縮流體（=constant）；（2）恒定流動（）；（3）只在重力作用之下（質(zhì)量力只有重力）；（4）沿流程流量保持不變(qv1=qv2=qv3)；（5）所選用的過流斷面必須是緩變過流斷面。5.3實際流體總流的伯努利方程式4.2.3粘性流體的伯努利方程粘性流體在流動中，單位重量流體的能量不再守恒，總水頭線不再是水平線，而是沿程下降線。

設(shè)為粘性流體單位重量流體從1點到2點的機(jī)械能損失，稱為沿流線的水頭損失。根據(jù)能量守恒原理，則粘性流體的伯努利方程為

水頭損失也是具有長度的量綱。

工程流體力學(xué)【例4.2】水由噴嘴出流，如圖4.5，設(shè)d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，水銀測壓計讀數(shù)＝175mm，不計損失。求（1）H值；（2）壓力表讀數(shù)值。（該處管徑同d2）工程流體力學(xué)圖4.5噴嘴出流【解】

（1）根據(jù)靜壓強(qiáng)分布規(guī)律，過流斷面1-1和2-2處壓強(qiáng)分布為和

列出由1—1到2—2斷面的總流伯努利方程（取動能修正因數(shù)）：

工程流體力學(xué)將（a）式代入上式，得

或連續(xù)性方程

或

工程流體力學(xué)（c）、（b）聯(lián)立，得

由連續(xù)性方程

得

列出由0—0到3—3斷面的伯努利方程

工程流體力學(xué)（2）壓力表處管徑同，其處

列出由0—0至壓力表斷面處得伯努利方程

壓力表讀數(shù)為

工程流體力學(xué)5.4伯努利方程的應(yīng)用一、比托管測速如圖所示，中心為全壓測管，靜壓測管包圍在其周圍。在駐點之后適當(dāng)距離的外壁上沿圓周垂直于流向開幾個小孔，作為靜壓管口。將兩管的通道分別接在差壓計的兩端，差壓計給出全壓和靜壓的差，若差壓計為U形差壓計，則：式中為被測液體密度，1為U形差壓計內(nèi)液體的密度，h為U形管中液面的高度差。測速管的構(gòu)造兩根同心套管前端管口敞開兩管環(huán)隙前端封閉壁面四周開若干個小孔內(nèi)管與環(huán)隙分別與壓差計的兩端相連壓差計流速流體的動能全部轉(zhuǎn)變?yōu)殪o壓能駐點內(nèi)管傳遞出的壓力:速度仍為套管環(huán)隙間的壓力是管道內(nèi)流體壓力R為內(nèi)管傳遞出的壓力和管道內(nèi)流體的壓力之差壓差計中液體的密度測速管的測量準(zhǔn)確度與制造精度有關(guān)通常，C＝0.98~1.00。為了提高測量的準(zhǔn)確度，C值應(yīng)在儀表標(biāo)定時確定。用測速管測出的流速是管道截面上某一點的速度使用測速管應(yīng)注意幾個問題：

（1）被測流體不應(yīng)含有雜質(zhì)，因為測速管的管徑較??；（2）使測速管的管口正對著管道中流體的流動方向；（3）測速管應(yīng)放置于流體均勻流段，測量點的上下游最好均有50倍直徑長的直管段，至少應(yīng)有8～12倍直徑長的直管；（4）測速管的外徑應(yīng)不大于管道直徑的1/50。漸縮漸擴(kuò)管接壓差計避免出現(xiàn)邊界層分離及旋渦，從而大大降低機(jī)械能損失收縮段錐角通常取15°～25°擴(kuò)大段錐角5°～7°流量系數(shù)0.98～0.99構(gòu)造二、文丘里流量計

三、孔板流量計為了測量管道中的流量，在管道中裝置了叫做孔板流量計的儀器，這種測量流量的儀器包括一塊有孔的薄板，安裝在管道的法蘭中，如圖5-12所示。中央開圓孔的板孔板流量計以通過孔板時產(chǎn)生的壓力差作為測量依據(jù)流道縮小使流體的速度增大，壓力降低。由于慣性的作用，流體通過孔口后實際流道將繼續(xù)縮小，直至截面2-2?！翱s脈”，流速最大孔板前后動能的變化必然引起流體壓力的變化。壓差計構(gòu)造流量系數(shù)，由實驗確定，與流體的Re數(shù)、測壓口的位置及有關(guān)。對于給定的值，當(dāng)Re數(shù)超過某個值后，為定值，多在0.6～0.7之間

阻力損失大Re不考慮流體通過孔板的局部阻力損失，列出截面1-1和2-2之間伯努利方程，有根據(jù)不可壓縮流體的連續(xù)性方程可知A2通常難以確定，用孔口截面積A0代替，同時考慮流體在1-1、2-2截面間的機(jī)械能損失，得四、小孔定常出流取等于1稱為托里斥利(E．Tomcelli,1644)公式轉(zhuǎn)子可由金屬或其他材料制成，密度大于所測流體的密度微錐形的玻璃管轉(zhuǎn)子五、轉(zhuǎn)子流量計轉(zhuǎn)子流量計的構(gòu)造各種型號的轉(zhuǎn)子流量計五、轉(zhuǎn)子流量計環(huán)隙處的流體速度較大，靜壓力減小在轉(zhuǎn)子的上下截面形成一個壓差，使轉(zhuǎn)子上浮轉(zhuǎn)子兩端的壓差造成的升力等于轉(zhuǎn)子所受的重力和浮力之差時，轉(zhuǎn)子將穩(wěn)定在這個高度上當(dāng)流體的流量改變時，平衡被打破，轉(zhuǎn)子到達(dá)新的位置，建立新的平衡轉(zhuǎn)子所處的平衡位置與流體流量的大小有直接的關(guān)系

——轉(zhuǎn)子流量計的工作原理五、轉(zhuǎn)子流量計轉(zhuǎn)子的受力平衡轉(zhuǎn)子體積轉(zhuǎn)子最大截面積轉(zhuǎn)子密度流體密度流量系數(shù)玻璃管與轉(zhuǎn)子之間的環(huán)隙面積流量系數(shù)與Re及轉(zhuǎn)子的形狀有關(guān)五、轉(zhuǎn)子流量計轉(zhuǎn)子流量計的校核

轉(zhuǎn)子流量計在出廠時根據(jù)20℃的水或20℃、0.1MPa下的空氣進(jìn)行實際標(biāo)定，并將流量值刻在玻璃管上。如果被測流體的條件與標(biāo)定的條件不符，轉(zhuǎn)子流量計的刻度應(yīng)進(jìn)行校正。安裝轉(zhuǎn)子流量計時應(yīng)注意：

①轉(zhuǎn)子流量計必須垂直安裝,若傾斜度1°將造成0.8％的誤差。

②轉(zhuǎn)子流量計必須安裝在垂直管路上，且流體流動的方向必須由下往上。下標(biāo)“0”表示標(biāo)定流體。五、轉(zhuǎn)子流量計六、射流泵裝置射流泵又稱引射器，它是由一個收縮的噴管和另一個具有細(xì)徑的收縮擴(kuò)散管及真空室所組成，如圖5-13所示。自噴管射出的液流經(jīng)收縮擴(kuò)散管的細(xì)徑處，流速急劇增大，結(jié)果使該處的壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)而造成真空，如果在該處連一管道通至有液體的容器，則液體就能被吸入泵內(nèi)，與射流液體一起流出。5-5葉輪機(jī)械內(nèi)相對運(yùn)動的伯努利方程在水泵、風(fēng)機(jī)、水輪機(jī)等葉輪機(jī)械中，常常利用流體作為工作介質(zhì)，實現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)換。流體在葉輪機(jī)械中，一方面沿葉片間的通道作相對運(yùn)動，另一方面，流體又隨葉輪一起以等角速度旋轉(zhuǎn)。如果采用與葉輪一起轉(zhuǎn)動的動坐標(biāo)，則在此坐標(biāo)上觀察到的流體運(yùn)動是定常的。不考慮重力（定常流動）u為沿流線的相對速度，流體不可壓縮對流線上的兩點１和２將點選在內(nèi)外輪，用H表示總水頭H2>H1

總水頭增加，表示葉輪對流體作功5-6動量方程和動量矩方程及其應(yīng)用在工程實際中，常常需要求物體所受的流體作用力或者力矩。解決這類問題的方法有兩種：一種是利用流體運(yùn)動的微分方程式，再根據(jù)邊界條件求出速度和壓強(qiáng)的分布。用這種方法的困難很大。另一種辦法則是利用動量方程和動量矩方程求解，這種方法往往不需要知道流動的細(xì)節(jié)，只要根據(jù)一些邊界上的流動狀況就可以解決問題。

下面我們詳細(xì)介紹定常流動的動量方程和動量矩方程。::是單位時間內(nèi)通過截面A的流體所攜帶的動量::稱為動量修正系數(shù)，在大多數(shù)工程問題中，β≈1一般地說，在截面上，點速度的分布是不均勻的。我們用u表示速度，V表示平均速度，令稱為總流的動量方程它的物理意義是：在定常流動中，單位時間內(nèi)，從控制面流出的動量減去流入的動量，等于作用在控制體上的外力和。稱為總流的動量矩方程它的物理意義是：在定常流動中，單位時間內(nèi)，從控制面流出的動量矩減去流入的動量矩，等于作用在控制體上所有的外力矩之和。對某點取矩有多個出口和入口情況非慣性坐標(biāo)系中的動量矩方程為應(yīng)用動量方程和動量短方程時，要注意以下幾點：擇一個適宜的坐標(biāo)系，求出各項的投影值。選擇一個合適的控制體。方程的未知數(shù)較多，要聯(lián)立連續(xù)性方程和伯努利方程才能得以求解。下面舉例說明方程的應(yīng)用。動量和動量矩方程的應(yīng)用1、水流對彎管的作用力上圖是一段彎管，截面1—1和2—2的過流面積分別為A1、A2，彎管的轉(zhuǎn)角為θ。設(shè)水流量為Q，求固定此段彎管所需的力F。水流對彎管的作用力先分析彎管管壁的受力。設(shè)彎管在水平面上，取如圖示的水平面坐標(biāo)xy。彎管內(nèi)壁受水流壓強(qiáng)p的作用，外壁受大氣壓pa作用。設(shè)表面積為A0，外法線n0。在水流和大氣壓的作用下，管壁受到的合力F′為:水流對彎管的作用力控制體受到的外力(大氣壓pa在任意封閉面的積分為零)：分析控制體所受的外力。由于彎管在水平面上，不必考慮重力影響。選取控制體如右圖取動量修正系數(shù)β＝1，投影到x，y方向，為：上式最后一項就表示水流對物體的合力為了固定彎管，必需施加的外力為F＝－F′。由上面的分析可以看到，在應(yīng)用總流的動量方程時，控制面上的壓強(qiáng)一律采用表壓強(qiáng)，如果用絕對壓強(qiáng)，勢必引起錯誤，因為這樣就得不出合力F′。2、水流對噴嘴的作用力下圖是消防水龍頭的噴嘴。高速水流從管道經(jīng)過一個噴嘴射入大氣。管嘴截面從A1收縮至A2，如果截面A1處中心的表壓強(qiáng)為p1—pa，求水流給噴嘴的合力F。分析截面l—l和2—2之間的控制體受力。在截面1上，表壓強(qiáng)為p1—pa，截面2的表壓強(qiáng)為零。水流給噴嘴壁面的合力F向右，噴嘴壁面給水流控制體的合力向左。由連續(xù)性方程由伯努利方程p2=pa由動量方程由連續(xù)性方程由伯努利方程由動量方程3、水流對水壩的作用力溢流壩是水電工程的水工建筑物。壩面上的動水壓強(qiáng)分布很復(fù)雜。我們用動量方程求水流對壩體的合力。動量方程由連續(xù)性方程由伯努利方程得由上面4、射流對平板的作用力如圖所示，平面射流射向一平板(單位寬度)，射流的流量為Q，速度為V，求射流對于平板的作用力，不計重力影響。由連續(xù)性方程x方向動量方程y方向動量方程得取如圖控制體。進(jìn)口截面和兩出口截面上的壓強(qiáng)近似地都等于大氣壓，如果射流處在水平面上，高程都相同，根據(jù)伯努利方程，得V1＝V2＝V。水壓強(qiáng)對板面的合力為F′，與板面垂直。板給控制體的合力F，方向如圖示。射流與平板的夾角為θ。yV0FxFyxA0V05、射流對固定葉片的作用力列y方向動量方程列x方向動量方程已知:V0A0

，葉片對流體的作用力為FxFy

yFxFyxA0V0V0-uuV0-u