對偶單純形法

對偶單純形法第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容安排對偶單純形法的求解思路對偶單純形法的求解步驟第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日

對偶單純形法是根據(jù)對偶原理和單純形法的原理而設(shè)計出來求解原LP的一種方法。采用的技術(shù)是在原問題的單純形表格上進行對偶處理。注意:對偶單純形法不是求解對偶問題的單純形法。一對偶單純形法的求解思路（一）什么是對偶單純形法第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日1單純形法中原問題(max)的最優(yōu)解滿足的條件:

（1）是基本解（2）可行解（XB=B-1b≥0);

（3)檢驗數(shù)C－CBB-1A0，-CBB-1≤0

即YAC，Y0即對偶解可行

（二）普通單純形法第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日2普通單純形法的求解思路:

從滿足（1），（2）的一個初始基本可行解出發(fā)

(此時原LP問題中，b列保持≥0，對偶的解一般為非可行基解），通過逐步迭代，增大原目標函數(shù)值，每一步迭代，都得到一個基本可行解，并且逐步迭代實現(xiàn)檢驗數(shù)行≤0(對偶解可行)。0迭代到（3）得到滿足，即所有檢驗數(shù)≤0，此時，原問題的基可行解達到最優(yōu)時，對偶的基解由不可行達到可行，得到的這個基可行解也是對偶問題的最優(yōu)解。第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日3普通單純型法的求解過程：對原問題的一個基可行解，判別是否所有檢驗數(shù)非正cj-zj0(j=1,…,n)；若是，又基變量中無非零人工變量，即找到問題最優(yōu)解，基變量中含有非零人工變量，則無最優(yōu)解；若否，再迭代，找出相鄰的目標函數(shù)值更大的基可行解，并繼續(xù)判別，只要最優(yōu)解存在，就一直迭代下去，直到找出最優(yōu)解為止.第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

1對偶單純形法求解思路：換個角度考慮LP求解過程從滿足（1）（3）的一個非可行基解（檢驗數(shù)行保持≤0）出發(fā)，（此時對偶問題的解一般為可行解），通過逐步迭代直至（2）得到滿足，即直到實現(xiàn)到b列所有的值≥0，原問題的解在迭代過程中從非可行解變成可行解，最終達到最優(yōu)解，此時，對偶問題也達到最優(yōu)解。單純形法中原問題的最優(yōu)解滿足的條件:（1）是基本解；（2）可行解（XB=B-1b≥0);（3)檢驗數(shù)C－CBB-1A0，-CBB-1≤0

即YAC，Y0即對偶解可行（三）對偶單純形法第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日普通單純形法對偶單純形法前提是原問題可行

優(yōu)化條件兩種方法都從原問題的基解出發(fā)前提是對偶可行

優(yōu)化條件2兩種方法的聯(lián)系：YAC，Y0第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日原問題基可行解最優(yōu)解判斷對偶問題的可行解對偶問題最優(yōu)解判斷對偶單純形法基本思路普通單純形法基本思路第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日3對偶單純形法的使用條件：①原問題的初始基解的檢驗數(shù)全部≤0；②b列至少一個元素<0；

4實施對偶單純形法的基本原則：

在保持對偶可行的前提下進行基變換——

每一次迭代過程中取出基變量中的一個負分量作為換出變量去替換某個非基變量(作為換入變量),

使原始問題的非可行解向可行解靠近。第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日

第一步：構(gòu)造初始單位陣，確定原問題（max)的初始基B，使所有檢驗數(shù)

Cj-Zj=σj=Cj-CBB-1Pj≤0，即Y=CBB-1

（b列的值）是對偶可行解，建立初始單純形表。第二步：可行性檢驗。檢驗b列和σj行（即檢查基變量的取值）若bi≥0

（XB=B-1b≥0）,σj≤0,

則原問題得到最優(yōu)解，計算停;

若bi<0,σj≤0,

則用對偶單純形法進行換基迭代.

二對偶單純形法的步驟：第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日

第三步

先確定換出變量解答列（b列）中的負元素對應(yīng)的基變量出基，相應(yīng)的行為主元行。一般選最小的負元素出基，即若min{(B-1b)i|(B-1b)I<0}=(B–1b)l

則選取xl為換出變量.

檢驗第l

行中非基變量xj的系數(shù)αlj,

若所有的αlj≥0，則LP問題無可行解，（下面進行說明），此時計算結(jié)束。否則轉(zhuǎn)下步第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日當bl<0，而對所有j=1,…,n，有alj0，則原問題無可行解。證明：xl+al,m+1xm+1+…+al,nxn=bl

因alj0(j=m+1,…,n)，又bl<0，故有xl<0，即不可能存在xj0(j=1,…,n)的解，故原問題無可行解，此時對偶問題的目標函數(shù)值無界。第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日若有：Min{cj–zj/αlj|αlj<0,xj為非基變量}=ck–zk/αlk則確定xk為換入變量，相應(yīng)的列為主元列，標出主元素αlk

,

應(yīng)用矩陣的初等行變換得到新的單純形表。第四步：若對于bl<0,且有alj<0,

則確定換入變量應(yīng)用最小比值原則目的：是在保持下一個對偶問題的基解可行的前提下，減少原始問題的不可行性。下面進行說明根據(jù)最小比值原則：第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日alk為主元素xk為進基變量［］設(shè)下一個表中的檢驗數(shù)為(cj-zj)，則第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日(1)對alj0，因cj－zj0，故，又因主元素alk<0，故有，所以(cj－zj)

0；(2)對alj<0，因，故有(cj－zj)

0；所以，(cj－zj)0(j=1，…，n)則有：第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

第五步：用換入變量替換換出變量，得到一個新的基，對新的基再檢查是否所有

如果是，得原問題的最優(yōu)解；如果否，回到第一步再重復計算，直到檢驗數(shù)行非正，基列非負，得到最終表.第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例6

應(yīng)用對偶單純型法求解下面的線性規(guī)劃問題第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日CBXBbx1x2x3x4x5cj-2-3-400-1-2-110-21-301x4x500-2-3-400cj-zj-3-4min{σj/αlj|αlj<0}x5換出變量x1換入變量0-5/21/21-1/21-1/23/20-1/2x4x10-20-4-10-1-12bx5x4x3x2x1XBCBcj00-4-3-2cj-zjmin{σj/αlj|αlj<0}x2換入變量8/52x4換出變量第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日bx5x4x3x2x1XBCBcj00-4-3-2-2/5-1/57/5011/5-2/5-1/510x1x2-2-3-1/5-8/5-3/500cj-zj11/52/5bi≥0,σj≤0得到最優(yōu)解為：X*=(11/5,2/5,0,0,0）T對偶問題最優(yōu)解為：第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例:

用對偶單純形法求解下面線性規(guī)劃

解:

構(gòu)造對偶單純形表進行迭代，第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日從最后的表可以看到，B-1b列元素中有-2<0，并且，-2所在行各元素皆非負，因此，原問題沒有可行解。第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日原問題可以從非可行解開始（即初始解可以是非可行解），在構(gòu)造初始單位陣時,不需要加人工變量，簡化計算．

對偶單純形法的特點：靈敏度分析和整數(shù)規(guī)劃常借助于對偶單純形法分析.使問題處理簡單.變量多，約束條件少的問題,在迭代過程中計算工作量小,

因此,可以把變量少，約束條件多的LP問題轉(zhuǎn)化成變量多，約束條件少的對偶問題,再用對偶單純形法求解.第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日

對偶單純形法的局限性:很難找到初始可行基,很少單獨使用.初始單純形表的檢驗數(shù)行很難滿足小于或等于零的要求，即滿足檢驗數(shù)行對應(yīng)的對偶問題的解是可行解．第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日對于原問題為最小化時,選取換出變量的原則不變,選取換入變量時作相應(yīng)改變:

σj≥0

min{σj/αlj|αlj>0,xj為非基變量}=σk/αlk注意：若xl為換出變量，所有αlj≤0，則原問題無可行解。第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日初始可行基例:

用對偶單純形法求解線性規(guī)劃問題：對偶問題的初始可行基第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

換出換出min{σj/αlj|αlj<0}45y2換入變量第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日最優(yōu)解第二十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日對偶單純形法與原始單純形法內(nèi)在的對應(yīng)關(guān)系原始單純形法對偶單純形法前提條件所有bi≥0所有bi≥0?最優(yōu)性檢驗所有所有換入、出基變量的確定先確定換入基變量