中考數(shù)學(xué)不等式與不等式組復(fù)習(xí)全面版

第9課不等式與不等式組1．定義：(1)用

連接起來(lái)的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做

；(3)一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做

；(4)求不等式的解集的過(guò)程或證明不等式無(wú)解的過(guò)程，叫做解不等式．要點(diǎn)梳理不等號(hào)不等式的解不等式的解集2．不等式的基本性質(zhì)：

(1)不等式兩邊都

同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等式仍然成立；若a>b，則a±c>b±c.(2)不等式兩邊都

同一個(gè)正數(shù)，不等式仍然成立；若a>b，c>0，則ac>bc，>.(3)不等式兩邊都

同一個(gè)負(fù)數(shù)，改變不等號(hào)的方向，改變后不等式仍能成立；若a>b，c<0，則

ac<bc，<.加上(或減去)乘以(或除以)乘以(或除以)3．解一元一次不等式的步驟及程序：除了“當(dāng)用一個(gè)負(fù)數(shù)去乘或除不等式的兩邊時(shí)，必須改變不等號(hào)的方向”這個(gè)要求之外，與解一元一次方程相同．4．解不等式組：一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集并表示在數(shù)軸上，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集．由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集有四種情況，其口訣為“兩大取其大、兩小取其小、大小小大中間找、大大小小無(wú)處找(無(wú)解)”．1.正確理解不等式與不等式組的解與解集與方程的解一樣，不等式的一個(gè)解也是滿足不等式的一個(gè)未知數(shù)的值，但不等式的解常常會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)，所以只有一個(gè)解的意義不大，要找的是不等式的所有解，也就是要找不等式的解集．如果對(duì)不等式的解、解集的意義理解不透徹，兩者容易混淆．所謂不等式的解是指使不等式成立的每一個(gè)數(shù)，而不等式的解集是指由全體不等式的解組成一個(gè)集合．因此，不等式的解可以是一個(gè)或多個(gè)值，而不等式的解集應(yīng)包含滿足不等式的所有解.[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]

不等式的解與不等式的解集的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的解則是使不等式成立的未知數(shù)的值，二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集．求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾個(gè)，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣或數(shù)軸求出它們的公共解集．利用數(shù)軸可以直觀地求出幾個(gè)不等式解集的公共部分，從而求得不等式組的解集，這既是一種準(zhǔn)確、快捷的做法，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．2.正確理解不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)不等式的三條性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)，也是解一元一次不等式的理論依據(jù)．性質(zhì)3是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在運(yùn)用不等式性質(zhì)對(duì)不等式變形時(shí)要特別注意，不等式兩邊同乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)不確定的數(shù)，則需要進(jìn)行分類討論．1．(2011·涼山)下列不等式變形正確的是(

)A．由a>b，得ac>bcB．由a>b，得－2a<－2bC．由a>b，得－a>－bD．由a>b，得a－2<b－2

解析：由a>b，又－2<0，得－2a<－2b，不等式的兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)必須改變方向．基礎(chǔ)自測(cè)B2．(2011·寧波)不等式x>1在數(shù)軸上表示正確的是(

)

解析：x>1不包括1，可排除B、D，而A表示x<1，故選C.C3．(2011·潛江)某不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式組可能是(

)A.B.C.D.

解析：觀察解集在數(shù)軸上的表示，可知x≥－2且x<3.B4．(2011·蘇州)不等式組的所有整數(shù)解之和是(

)

A．9B．12C．13D．15

解析：解之，得3≤x<6，整數(shù)x＝3或4或5，其和為3＋4＋5＝12.B5．(2011·日照)若不等式2x＜4的解都能使關(guān)于x的一次不等式(a－1)x＜a＋5成立，則a的取值范圍是(

)A．1＜a≤7B．a(chǎn)≤7C．a(chǎn)＜1或a≥7D．a(chǎn)＝7

解析：由2x<4得x<2；由(a－1)x<a＋5，得，x<，其中a－1>0，a>1.

又x<2使(a－1)x<a＋5成立，所以2≤，2(a－1)≤a＋5，a≤7，故1<a≤7.A題型一不等式的性質(zhì)

【例1】若a<b<0，則下列式子：①a＋1<b＋2；②>1；③a＋b<ab；④<中，正確的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

解析：∵a<b<0，∴a＋1<b＋1<b＋2.∴>1.

而a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab.∴<<0.

正確的有①、②、③，應(yīng)選C.題型分類深度剖析C探究提高

將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)不確定的數(shù)，則需要進(jìn)行分類討論．知能遷移1

(1)若a<b，則下列各式中一定成立的是(

)A．a(chǎn)－1<b－1B.>C．－a<－bD．a(chǎn)c<bc

解析：∵a<b，∴a－1<b－1一定成立，應(yīng)選A.A(2)如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)＋b>0B．a(chǎn)b>0C．a(chǎn)－b>0D．|a|－|b|>0

解析：∵b<0<a，且|b|>|a|，∴a－b>0正確，應(yīng)選C.C題型二一元一次不等式解法【例2】解不等式5x－12≤2(4x－3)，并把它的解集在數(shù)軸上表示出．

解：5x－12≤2(4x－3)，

5x－12≤8x－6,5x－8x≤－6＋12，－3x≤6，∴x≥－2.

在數(shù)軸表示如下：探究提高

整個(gè)解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程極為相似，只是最后一步把系數(shù)化為1時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．知能遷移2解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：－1≤＋2x＋5.

解：－1≤＋2x＋5，

3(x＋1)－2≤x＋1＋4x＋10，

3x＋3－2≤x＋1＋4x＋10，

3x－x－4x≤1＋10－3＋2，－2x≤10，∴x≥－5.題型三一元一次不等式組的解法【例3】解不等式組并寫出該不等式組的整數(shù)解．解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！

解：由①得x≤1，[2分]

由②得x>－2，[4分]∴－2<x≤1，整數(shù)x＝－1或0或1.[5分]

答：原不等式組的整數(shù)解是－1,0,1.[6分]探究提高求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾個(gè)，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣“兩大取其大，兩小取其小，大小取其中，無(wú)中不相容”或利用數(shù)軸求出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解．知能遷移3(1)解不等式組并把它的解表示在數(shù)軸集上．解：∴－3<x<2.(2)解不等式：－1≤<6.

解：∵－1≤<6，∴－3≤2x－1<18，－2≤2x<19，－1≤x<9.5.(3)已知關(guān)于x的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：原不等式組的解集是a≤x<2，四個(gè)整數(shù)解指1,0,－1,－2,∴－3<a≤－2.題型四利用不等式組解一元二次不等式、分式不等式【例4】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：例題：解一元二次不等式x2－9>0.

解：∵x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴(x＋3)(x－3)>0.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得

(1)(2)

解不等式組(1)，得x>3，解不等式組(2)，得x<－3，故(x＋3)(x－3)>0的解集為x>3或x<－3，即一元二次不等式x2－9>0的解集為x>3或x<－3.

問(wèn)題：求分式不等式<0的解集．解：∵<0，∴①或②解不等式組①，無(wú)解；解不等式組②得－<x<.

即不等式<0的解集是－<x<.探究提高

本題應(yīng)用有理數(shù)的乘除法法則“兩數(shù)相乘除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)．”分類討論因式、分子、分母的正負(fù)，列出不等式組，解出不等式組，即得原不等式的解集．這里也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．知能遷移4

(1)已知方程組的解滿足不等式4x－5y＜9，求a的取值范圍．

解：∵∴又∵4x－5y<9，∴4(5a)－5(－a＋5)<9，∴20a＋5a－25<9,25a<34，a<.(2)設(shè)關(guān)于x的不等式組無(wú)解，求m的取值范圍．

解：∵∴∵不等式組無(wú)解，∴≥，3(m＋2)≥2(2m－1)，

3m＋6≥4m－2,3m－4m≥－2－6，－m≥－8，m≤8.5．明確不等式組解集的意義試題已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個(gè)，求a的取值范圍．學(xué)生答案展示

解：由不等式組得又因?yàn)椴坏仁浇M有5個(gè)整數(shù)解，所以a≤x<2，這5個(gè)整數(shù)解應(yīng)是－3,－2,－1,0,1，所以a≥－3.易錯(cuò)警示剖析本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思維法解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解，此例錯(cuò)在忽視了在a≤x<2中有5個(gè)整數(shù)解時(shí)，a雖不唯一，但也有一定限制，a的取值范圍在－3與－4之間的任一處，其中包括－3但不包括－4，所以在確定a的取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍．正解由得又因不等式組有5個(gè)整數(shù)解，所以a≤x<2.則知這5個(gè)整數(shù)解應(yīng)是－3,－2,－1,0,1，所以a的取值范圍是－4<a≤－3.批閱筆記

本題主要考查逆向思維，一定要明確不等式組解集的意義，可畫數(shù)軸直觀理解，如下圖：注意，包括－4則不等式組有6個(gè)整數(shù)解了．方法與技巧1.可以對(duì)照一元一次方程來(lái)學(xué)習(xí)一元一次不等式，比較它們之間的共同點(diǎn)和不同之處有助于準(zhǔn)確掌握概念，有助于花較少的精力較好地掌握解題技能．2.解一元一次不等式的全部過(guò)程，與解一元一次方程相比，只是最后一個(gè)步驟上有所變化．所以，在熟練了解一元一次方程的基礎(chǔ)上，解好一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力，細(xì)心完成好最后一步——用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊．在這一步的思考上，應(yīng)分三步：由(未知數(shù))系數(shù)的正負(fù)，確定原不等號(hào)的方向是否改變；由不等號(hào)兩邊的符號(hào)，確定商的符號(hào)；弄清誰(shuí)除誰(shuí)，而不弄錯(cuò)商的絕對(duì)值．思想方法感悟提高3.對(duì)于解得的一元一次不等式(組)的解集是否正確，可以用以下方法檢驗(yàn)：第一步，把解集的端點(diǎn)值分別代入原不等式的左邊和右邊，兩邊計(jì)算出來(lái)的數(shù)值應(yīng)當(dāng)相等；第二步，在所得解集中選一個(gè)，在代入原不等式的左邊或右邊后，計(jì)算比較簡(jiǎn)便的數(shù)，代入原不等式，原不等式應(yīng)當(dāng)成立．失誤與防范1.解一元一次不等式的一般步驟是：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類項(xiàng)；(5)系數(shù)化為1.首先在去分母時(shí)，容易漏乘了不含分母的項(xiàng)，其次是在最后一步利用不等式性質(zhì)將系數(shù)化為1時(shí)，不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)了相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變，這些都是常見的錯(cuò)誤．2.解不等式組，需要先解出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的公共部分．解不等式在作變形時(shí)，一定要使用同解變形，不然就會(huì)出錯(cuò)．3.“≥”、“≤”分別表示“大于或等于”、“小于或等于”的意思，二者只要其中一項(xiàng)成立，則由“≥”、“≤”連接的不等式即成立，它們都包括后面連接的數(shù)．“非負(fù)整數(shù)”即“不是負(fù)整數(shù)”，包含了0和正整數(shù)，此時(shí)0易被忽略，從而造成漏解．完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練9只要我們堅(jiān)持了，就沒(méi)有克服不了的困難。或許，為了將來(lái)，為了自己的發(fā)展，我們會(huì)把一件事情想得非常透徹，對(duì)自己越來(lái)越嚴(yán)，要求越來(lái)越高，對(duì)任何機(jī)會(huì)都不曾錯(cuò)過(guò)，其目的也只不過(guò)是不讓自己隨時(shí)陷入逆境與失去那種面對(duì)困難不曾屈服的精神。但有時(shí)，“千里之行，始于足下。”我們更需要用時(shí)間持久的用心去做一件事情，讓自己其中那小小的淺淺的進(jìn)步，來(lái)?yè)羝拼蚱仆黄谱约耗潜疽詾榭梢愿哒頍o(wú)憂十分舒適的區(qū)域，強(qiáng)迫逼迫自己一刻不停的馬不停蹄的一直向前走，向前看，向前進(jìn)。所有的未來(lái)，都是靠腳步去丈量。沒(méi)有走，怎么知道，不可能；沒(méi)有去努力，又怎么知道不能實(shí)現(xiàn)？幸福都是奮斗出來(lái)的。那不如，生活中、工作中，就讓這“幸福都是奮斗出來(lái)的”完完全全徹徹底底的滲入我們的心靈，著心、心平氣和的去體驗(yàn)、去察覺(jué)這一種靈魂深處的安詳，側(cè)耳聆聽這僅屬于我們自己生命最原始最動(dòng)人的節(jié)奏。但，這種聆聽，它絕不是僅限于、執(zhí)著于“我”，而是觀察一種生命狀態(tài)能夠擴(kuò)展和超脫到什么程度，也就是那“幸福都是奮斗出來(lái)的”深處又會(huì)是如何？生命不止，奮斗不息！又或者，對(duì)于很多優(yōu)秀的人來(lái)說(shuō)，我們奮斗了一輩子，拼搏了一輩子，也只是人家的起點(diǎn)?？墒牵@微不足道的進(jìn)步，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，卻是幸福的，也是知足的，因?yàn)槲覀兦迩宄闹雷约盒枰氖鞘裁?，隱隱約約的感覺(jué)到自己的人生正把握在自己手中，并且這一切還是通過(guò)我們自己勤勤懇懇努力，去積極爭(zhēng)取的!“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來(lái)?！碑?dāng)我們坦然接受這人生的終局，或許，這無(wú)所皈依的心靈就有了歸宿，這生命中覓尋處那真正的幸福、真正的清香也就從此真正的燦爛了我們的人生。一生有多少屬于我們的時(shí)光？陌上的花，落了又開了，開了又落了。無(wú)數(shù)個(gè)歲月就這樣在悄無(wú)聲息的時(shí)光里靜靜的流逝。童年的玩伴，曾經(jīng)的天真，只能在夢(mèng)里回味，每回夢(mèng)醒時(shí)分，總是多了很多傷感。不知不覺(jué)中，走過(guò)了青春年少，走過(guò)了人世間風(fēng)風(fēng)雨雨。愛過(guò)了，恨過(guò)了，哭過(guò)了，笑過(guò)了，才漸漸明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然規(guī)律。所以，面對(duì)生活中經(jīng)歷的一切順境和逆境都學(xué)會(huì)了坦然承受，面對(duì)突然而至的災(zāi)難多了一份從容和冷靜。這世上沒(méi)有什么不能承受的，只要你有足夠的堅(jiān)強(qiáng)！這世上沒(méi)有什么不能放下的，只要你有足夠的胸襟！一生有多少屬于我們的時(shí)光？當(dāng)你為今天的落日而感傷流淚的時(shí)候，你也將錯(cuò)過(guò)了明日的旭日東升；當(dāng)你為過(guò)去的遺憾郁郁寡歡，患得患失的時(shí)候，你也將忽略了沿途美麗的風(fēng)景，淡漠了對(duì)未來(lái)美好生活的憧憬。沒(méi)有十全十美的生活，沒(méi)有一帆風(fēng)順的旅途。波平浪靜的人生太乏味，抑郁憂傷的人生少歡樂(lè)，風(fēng)雨過(guò)后的彩虹最絢麗，歷經(jīng)磨礪的生命才豐盈而深刻。見過(guò)了各樣的人生：有的輕浮，有的踏實(shí)；有的喧嘩，有的落寞；有的激揚(yáng)，有的低回。肉體凡胎的我們之所以苦惱或喜悅，大都是緣于生活里的際遇沉浮，走不出個(gè)人心里的藩籬。也許我們能挺得過(guò)物質(zhì)生活的匱乏，卻不能抵擋住內(nèi)心的種種糾結(jié)。其實(shí)幸福和歡樂(lè)大多時(shí)候是對(duì)人對(duì)事對(duì)生活的一種態(tài)度，一花一世界，一樹一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我們終有一天會(huì)灰飛煙滅，一切象風(fēng)一樣無(wú)影亦無(wú)蹤，還去爭(zhēng)個(gè)什么？還去抱怨什么？還要煩惱什么？未曾生我誰(shuí)是我？生我之時(shí)我是誰(shuí)？長(zhǎng)大成人方是我，合眼朦朧又是誰(shuí)？一生真的沒(méi)有多少時(shí)光，何必要和生活過(guò)不去，和自己過(guò)不去呢。你在與不在，太陽(yáng)每天都會(huì)照常升起；你愁與不愁，生活都將要繼續(xù)。時(shí)光不會(huì)因你而停留，你卻會(huì)隨著光陰而老去。有些事情注定會(huì)發(fā)生，有的結(jié)局早已就預(yù)見，那么就改變你可以改變的，適應(yīng)你必須去適應(yīng)的。面對(duì)幸與不幸，換一個(gè)角度，改變一種思維，也許心空就不再布滿陰霾，頭上就是一片蔚藍(lán)的天。一生能有多少屬于我們的時(shí)光，很多事情，很多人已經(jīng)漸漸模糊。而能隨著歲月積淀下來(lái)，在心中無(wú)法忘卻的，一定是觸動(dòng)心靈，甚至是刻骨銘心的，無(wú)論是傷痛是歡愉。人生無(wú)論是得意還是失意，都不要錯(cuò)過(guò)了清早的晨曦，正午的驕陽(yáng)，夕陽(yáng)的絢爛，暮色中的朦朧。經(jīng)歷過(guò)很多世態(tài)炎涼之后，你終于能懂得：誰(shuí)會(huì)在乎你？你又何必要?jiǎng)e人去在乎？生于斯世，赤條條的來(lái)，也將身無(wú)長(zhǎng)物的離開，你在世上得到的，失去的，最終都會(huì)化作塵埃。原本就不曾帶來(lái)什么，所以也談不到失去什么，因此，對(duì)自己經(jīng)歷的幸與不幸都應(yīng)懷有一顆平常心有一顆平常心，面對(duì)人生小小的不如意或是飛來(lái)橫禍就能坦然接受，知道人有旦夕禍福，這和命運(yùn)沒(méi)什么關(guān)系；有一顆平常心，面對(duì)臺(tái)下的鮮花掌聲和頭上的光環(huán)，身上的浮名都能清醒看待?；ú怀ｉ_，人不常在。再熱鬧華美的舞臺(tái)也有謝幕的時(shí)候；再奢華的宴席，悠揚(yáng)的樂(lè)曲，總有曲