數(shù)學(xué)同步練習(xí)題考試題試卷教案華杯賽經(jīng)典試題(三)

華杯賽經(jīng)典試題〔三〕華杯賽經(jīng)典試題〔三〕1.請將算式的結(jié)果寫成最簡分數(shù)。[分析]這一道題，主要是檢查同學(xué)們將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的熟練程度。[解法]原式＝＝＝2.將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體。求這個物體的外表積。[分析]我們知道，底面半徑r、高h的圓柱體外表積是S=2πr2＋2πrh．此題的物體由三個圓柱組成，如果分別求出三個圓柱的外表積，還得注意減去重疊局部的面積，算起來便麻煩多了。但是仔細觀察后會發(fā)現(xiàn)，向上的三塊外表積之和恰好是大圓柱的一個底面面積，這樣便想到了簡單的解法。[解法]物體的外表積恰好等于一個大圓柱的外表積加上中、小圓柱的側(cè)面積。2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1=4.5π+3π＋2π＋π=10.5π〔平方米〕取π值為3，上式等于41.5〔平方米〕。答：這個物體的外表積是41.5平方米。[注]因為三個圓柱的高都是1米，所以求三個圓柱側(cè)面積之和時，還可以再簡便些：2π×〔1.5＋1+0.5〕＝6π。中學(xué)生學(xué)過提取公因子知識，更應(yīng)該想到這樣簡化的算法。這小小的簡化可以使計算時間縮短幾秒鐘，這在初賽時可是很有用的哩！3.有甲、乙兩個同樣的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛滿了含50％酒精的溶液。先將乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，攪勻后，再將甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。問這時乙杯中的酒精是溶液的幾分之幾？[分析]對這類關(guān)于濃度計算的問題，只要能搞清楚溶質(zhì)〔這里是酒精〕含量和溶液總量的變化，便很容易解決。[解法]列出每一次變化時二杯中溶液總量和酒精含量的數(shù)值最后，乙杯酒精量是溶溶液總量的。答：乙杯的酒精是溶液的。、4.電子跳蚤每跳一步，可從一個圓圈跳到相鄰的圓圈?，F(xiàn)在，一只紅跳蚤從標有數(shù)字“0〞的圓圈按順時針方向跳了1991步，落在一個圓圈里。一只黑跳蚤也從標有數(shù)字“0〞的圓圈起跳，但它是沿著逆時針方向跳了1949步，落在另一個圓圈里。問：這兩個圓圈里數(shù)字的乘積是多少？[分析]認真讀兩遍題，仔細研究一下右邊的圖，便不難發(fā)現(xiàn)：不管是紅跳蚤、還是黑跳蚤，不管它們是從哪一個圓圈起跳，只要是沿著一個方向跳，每一步都跳到相鄰的圓圈中，那么，一共12個圓圈，跳12步就回到開始起跳位置，又重復(fù)進行前面的過程，這樣，不管它跳的步數(shù)有多么大，只要算出跳了多少圈〔這個圈是指大圓圈〕又多少步，就知道它落在標有數(shù)字多少的圓圈中了。當(dāng)然，要注意它跳的方向。[解]電子跳蚤每跳12步就回到了原來位置。∵1991=165×12＋11∴紅跳蚤從標有數(shù)字“0〞的圓圈出發(fā)，按順時針方向跳了1991步時，是跳了165個12步后跳到了標有數(shù)字“11〞的圓圈。同理，由1949=165×12+5知道黑跳蚤從標有數(shù)字“0〞的圓圈按順時針方向跳了162個12步后跳到了標有數(shù)字“7〞的圓圈。∴所求的乘積是11×7=77。答：乘積是77。[思考]電子跳蚤“每跳12步回到原來位置〞，這是一種周期變化。在日常生活中有周期現(xiàn)象的事物還有許多，如：一周是7天，一天是24小時，一年是12個月，又如：鐘擺的運動，日、月的運動等，研究周期現(xiàn)象，也是數(shù)學(xué)的一個重要任務(wù)呢！這個題目，還可以變得更復(fù)雜一些，如：電子跳蚤跳步時有這樣的周期性：第一步跳1個小圓圈〔即到相鄰圈〕，第二步跳2個小圓圈〔即到隔1個圈的小圓圈處〕，第三步跳3個小圓圈〔即到隔2個圈的小圓圈處〕，如此重復(fù)下去，……其它條件同原題一樣，那么，怎么解呢？相信少年讀者們能自己解決。5.：S＝求：S的整數(shù)局部。〔分析〕這個題目看起來是不好下手的，顯然不能對分母中的12個分數(shù)進行通分求和，那實在是太繁了。由于題目只要求S的整數(shù)局部，所以只要知道S在哪兩個整數(shù)之間就可以了。困難在于S的分母含有12個分數(shù)，太多了！必須設(shè)法減少分數(shù)的個數(shù)！我們發(fā)現(xiàn)：＞＞＞…＞于是＜＝＝并且＞＝這樣，就知道S的分母在和之間，也就知道S在165和之間，于是，到達了目的！〔解〕根據(jù)“一個分數(shù)，當(dāng)分子不變而分母變大時，分數(shù)值變??；如果分子不變而分母變小時，分數(shù)值變大。〞這個原理，可以知道＜并且＞∴S＞＝165并且S＜∴S的整數(shù)局部是165?！菜伎肌成厦娴慕夥ㄖ?，主要是運用了“放〞、“縮〞的思想，這個思想很有用。此題中是用來進行數(shù)值估計。下面是兩個類似的題，讀者自己練習(xí)：〔1〕S＝，求S的整數(shù)局部。〔2〕請在下面等式的方框中填上相同的一個自然數(shù)，使等式成立：□□□□□6．某玩具廠生產(chǎn)大小一樣的正方體形狀的積木，每個面分別涂上紅、黃、藍3種顏色中的1種，每色各涂2個面。當(dāng)兩個積木經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆瓌右院?，能使各種顏色的面所在位置相同時，它們就被看作是同一種積木塊。試說明：最多能涂成多少種不同的積木塊？〔解〕我們先注意正方體上的兩個面，或者處于相對的位置〔如頂面和底面〕或者處于相鄰的位置〔如頂面和一個側(cè)面〕。按題意，每種顏色各涂兩個面，因此我們可以根據(jù)同一顏色的兩個面所處的位置將所有積木塊分成以下兒種不同的情形。〔Ⅰ〕同色的兩個面均為相對面，即紅紅相對，黃黃相對，藍藍相對．這種情形只有一種。其理由是：首先可以將紅色面放在頂面和底面的位置上，然后．可以將黃色面放在正面和反面的位置上，這樣，左面和右面就只是藍色面了。岡為所有這樣的積木〔同色面相對〕都可以放成上面這種位置，所以只有1種?！并颉?種顏色中有兩種顏色，其同色的兩面為相對面。這時，第三種顏色的兩個面也必然相對，因此這就是第一種情形。〔Ⅲ〕3種顏色中，只有1種領(lǐng)色的兩個面為相111對面。這種情形共有3種不同的積木塊。理由如下：首先不妨設(shè)紅色的兩個面為相對面。將這兩個面置于頂面和底面，這樣4個側(cè)面就為黃色和藍色，并且同1種顏色的兩個面相鄰。我們通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)動，總可以將黃色面放在正面和右面，而藍色面放在左面和反面，因此只有1種積木塊。但是相對的面也可能黃色或藍色，因此又各有1種積木塊，顯然這3種積木塊是不相同的〔因為任何轉(zhuǎn)動都不能將相鄰面變成相對面，也不能將相對面變成相鄰面〕，所以共有3種不同的積木塊。〔Ⅳ〕最后一種情形，每種顏色的兩個面均為相鄰面。這種情形有兩種不同的積木塊。這是比擬困難的一種情形。首先我們可以看出積木塊的3組相對面的顏色只能是〔紅、黃〕，〔紅、藍〕，〔黃、藍〕。為了使積木塊固定不動。我們先通過適當(dāng)轉(zhuǎn)動使得頂面為紅色，底面為黃色。然后再將側(cè)面適當(dāng)轉(zhuǎn)動使得正面為紅色，反面為藍色，這樣積木塊就不能再動了。這時積木的左面和右面可以分別是黃色和藍色，也可以是藍色和黃色，這代表了兩種不同的積木塊．總結(jié)上述討論，總共有6種不同的積木。答：共有6種不同的積木塊．〔分析與討論〕這是在決賽題中大家認為比擬難的一道題，只有一個同學(xué)給出了比擬滿意的解答。也有一些同學(xué)的思路接近正確的解答．同學(xué)們以往可能很少碰到這類問題，特別是在書本上很少接觸到．但是在日常生活中肯定已屢次見過類似的情況，只是沒有太留心罷了．例如：工廠生產(chǎn)的鋼珠，一般只以直徑來區(qū)分。同一直徑的都看成一種，而并不關(guān)心放成什么位置。同樣道理，一盒乒乓球總是看成一樣的．球是最簡單的圖形，而立方體那么是比球稍稍復(fù)雜一點的圖形，也是可以“翻來倒去〞的．這道題的主要目的是看看同學(xué)們的空間想象力，這是數(shù)學(xué)中最根本的能力之一．如果在每個參賽的小朋友面前放一個積木塊．讓大家看著實物做，也許會有不少小朋友能得到正確的答案，但憑空想象就難多了。有興趣的同學(xué)們不妨找一些舊木塊〔或舊紙盒子〕，自己在桌上擺擺看，一邊擺一邊想，對提高空間想象力是頗有好處的．在弄明白了這道題以后，如果再有興趣，可以將題目中的限制“每色各涂兩個面〞這句話去掉，也就是說，每種顏色涂的面數(shù)不限，問有多少種不同的積木塊？祝你成功！如圖是一塊黑白格子布。白色大正方形的邊長是14厘米，白色小正方形的邊長是6厘米。問：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？【解法】格子布的面積是圖36面積的9倍，格子布白色局部的面積也是圖36上白色面積的9倍。這樣，我們只需計算圖36中白色局部所占面積的百分比就行了。這個計算很簡單：答：格子布中白色局部的面積是總面積的58％?！痉治雠c討論】這個題目的關(guān)鍵是看到格子布可以分割成9塊如圖35的正方形。這實質(zhì)上是利用了格子布的“對稱性〞：格子布圖案是由一塊圖案重復(fù)地整齊排列而成的?！皩ΨQ〞不僅是數(shù)學(xué)中的重要概念，而且是自然界構(gòu)成的一條根本規(guī)律。因此，自古以來，在各個不同領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、甚至美學(xué)等，都把“對稱性〞與“不對稱性〞作為重要的課題來研究。著名數(shù)學(xué)家H·魏爾曾專門寫過一本名為?對稱?的書〔有中譯本〕，內(nèi)容非常豐富，思想極其深刻，很值得一讀。圖378.有一個電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點響一次鈴。中午12點整，圖37【解法】因為電子鐘每到整點響鈴，所以我們只要考慮哪個整點亮燈就行了。從中午12點起，每9分鐘亮一次燈，要過多少個9分鐘才到整點呢？由于1小時＝60分鐘，這個問題換句話說就是：9分鐘的多少倍是6O分鐘的整數(shù)倍呢？這樣一來問題的實質(zhì)就清楚了：是求9分和60最小公倍數(shù)。不難算出9和60的最小公倍數(shù)是180。這就是說，從正午起過180分鐘，也就是3小時，電子鐘會再次既響鈴又亮燈。答：下一次既響鈴又亮燈時是下午3點鐘?！痉治雠c討論】這樣的問題在生活中到處都會遇到。同學(xué)們能不能再舉些例子呢？9．一副撲克牌有四種花色，每種花色有13張。從中任意抽牌。問：最少要抽多少張牌，才能保證有四張牌是同一花色的？【解法】這里“保證〞的意思就是無論怎樣抽牌，都一定有4張牌為同一花色。我們先看抽12張牌是否能保證有4張同花的？雖然有時12張牌中可能有4張同花，甚至4張以上同花，但也可能每種花色正好3張牌，因此不能保證一定有4張牌同花。那末，任意抽13張牌是否保證有4張同花呢？我們說可以。證明如下：如果不行的話，那末每種花色最多只能有3張，因此四種花色的牌加起來最多只能有12張，與抽13張牌相矛盾。所以說抽13張牌就可以了。這種證明的方法稱為反證法。答：至少要抽13張牌，才能保證有四張牌是同一花色的?！痉治雠c討論】這個題目用的是所謂“抽屜原那么〞。比方說有4個抽屜，要在里面放13本書，那么至少有一個抽屜要放4本。這個原那么也被稱作“鴿子籠原那么〞或“重迭原那么〞。抽屜原那么雖然簡單，在數(shù)學(xué)上卻有很多巧妙的應(yīng)用。有興趣的同學(xué)可以閱讀常庚哲著的?抽屜原那么及其他?這本書。10．有5塊圓形的花圃，它們的直徑分別是3米、4米、5米、8米、9米；請將這5塊花圃分成兩組，分別交給兩個班管便兩班所管理的面積盡可能接近。[解法]我們知道，每個圓的面積等于直徑的平方乘以〔π/4〕。現(xiàn)在要把5個圓分組，兩組的總面積累盡可能接近或者說；兩組總面積的比盡可能接近！由于每個圓面積都有因子〔π/4〕。而我們關(guān)心的只是面積的比，所以不把這個共同的因索都去掉，而把問題簡化為：將5個圓公成兩組，使兩組圓的直徑的個方和盡可能接近。5個圓的直徑的平方分別是：9，16，25，64，81。這5個數(shù)的和是195。由于195是奇數(shù)，所以不可能把這5個數(shù)分成兩組，使它們的和相等。另一方面.81+16=97，9+25+24=98天者僅相差1，這當(dāng)是我樣期望的最正確分配了。答：應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個花圃交給一個班管理，其余三個花圃交給另一個班管理。[分析與討論]這個題目和“華羅庚金杯〞賽第一屆初賽第18題屬于同一類型。做這個題目時，如果先每花圃的面積、再根據(jù)面積來分組，計算量就太大了。將這個因數(shù)去掉，只考慮直徑的平方，就使問題大大簡化。11．一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時間之比次依是4∶5∶6。他上坡時速度為每小時3公里.路程全長50公里。問此人走完全程用了多少時間？［解法］上坡時間是〔上坡路程〕÷〔上坡的速度〕＝50×÷3＝〔小時〕上坡時間占全程時間的所以，全程時間＝〔小時〕＝＝〔小時〕答：此人走完全程共用了小時。[分析與討論]這是一道比例題。比例問題在代數(shù)和幾何中都很重要。在小學(xué)算術(shù)課本中也有不少比例問題，主要是搞清楚局部與整體的關(guān)系。在進一步學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們會不斷得到有關(guān)知識與技能。12.有一對緊貼的傳動膠輪，每個輪子上都畫有一條通過軸心的標志線。主動輪的半徑是105厘米，從動輪的半徑是90厘米。開始轉(zhuǎn)動時，兩個輪子上的標志線在一條直線上。問：主動輪至少轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)后，兩輪的標志線又在一條直線上？[分析]我們將兩輪緊貼的點叫做接觸點。通過觀察不難看出，當(dāng)兩輪各有一個標志線端點在接觸點相遇時，兩輪的標志線便會在同一直線上。所以這道題是問：在開始轉(zhuǎn)動后，第一次出現(xiàn)有兩個標志線端點同時到達接觸點時，主動輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？[解法1]兩個傳動膠輪的轉(zhuǎn)數(shù)與它們的半徑成反比，所以為了表達方便，用n1和n2分別代表主動輪和從動輪標志線端點通過接觸點的次數(shù)。因為主動輪和從動輪都是每轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)就有一個標志線端點通過接觸點，所以當(dāng)主動輪標志線第6次通過接觸點時，從動輪標志線端點恰好通過接觸點7次，這時主動輪轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。[解法2]