高等數(shù)學(xué)第六版(下冊)第十章課后習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版(下冊)第十章課后習(xí)題答案習(xí)題10-11設(shè)在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L在點(xy)處它的線密度為(xy)用對弧長的曲線積分分別表達(1)這曲線弧對x軸、對y軸的轉(zhuǎn)動慣量IxIy(2)這曲線弧的重心坐標解在曲線弧L上任取一長度很短的小弧段ds(它的長度也記做ds)設(shè)(xy)為小弧段ds上任一點.曲線L對于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素分別為dIxy2(xy)dsdIyx2(xy)ds曲線L對于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為曲線L對于x軸和y軸的靜矩元素分別為dMxy(xy)dsdMyx(xy)ds曲線L的重心坐標為2利用對弧長的曲線積分的定義證明如果曲線弧L分為兩段光滑曲線L1和L2則證明劃分L使得L1和L2的連接點永遠作為一個分點則令max{si}0上式兩邊同時取極限即得3計算下列對弧長的曲線積分(1)其中L為圓周xacostyasint(0t2)解(2)其中L為連接(10)及(01)兩點的直線段解L的方程為y1x(0x1)(3)其中L為由直線yx及拋物線yx2所圍成的區(qū)域的整個邊界解L1yx2(0x1)L2yx(0x1)(4)其中L為圓周x2y2=a2直線yx及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界解LL1L2L3其中L1xxy0(0xa)L2xacostyasintL3xxyx因而(5)其中為曲線xetcostyetsintzet上相應(yīng)于t從0變到2的這段弧解(6)其中為折線ABCD這里A、B、C、D依次為點(000)、(002)、(102)、(132)解ABBCCD其中ABx0y0zt(0t1)BCxty0z2(0t3)CDx1ytz2(0t3)故.(7)其中L為擺線的一拱xa(tsint)ya(1cost)(0t2)解(8)其中L為曲線xa(costtsint)ya(sinttcost)(0t2)解4求半徑為a中心角為2的均勻圓弧(線密度1)的重心解建立坐標系如圖104所示由對稱性可知又所以圓弧的重心為5設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為xacostyasintzkt其中012它的線密度(xyz)x2y2z2求(1)它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz(2)它的重心解(1)(2)故重心坐標為習(xí)題10-21設(shè)L為xOy面內(nèi)直線xa上的一段證明證明設(shè)L是直線xa上由(ab1)到(ab2)的一段則Lxaytt從b1變到b2于是2.設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(a0)到(b0)的一段直線證明證明Lxxy0t從a變到b所以3計算下列對坐標的曲線積分(1)其中L是拋物線yx2上從點(00)到點(24)的一段弧解Lyx2x從0變到2所以(2)其中L為圓周(xa)2y2a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界(按逆時針方向繞行)解LL1L2其中L1xaacostyasintt從0變到L2xxy0x從0變到2a因此(3)其中L為圓周xRcostyRsint上對應(yīng)t從0到的一段弧解(4)其中L為圓周x2y2a2(按逆時針方向繞行)解圓周的參數(shù)方程為xacostyasintt從0變到2所以(5)其中為曲線xkyacoszasin上對應(yīng)從0到的一段弧解(6)其中是從點(111)到點(234)的一段直線解的參數(shù)方程為x1ty12tz13tt從0變到1(7)其中為有向閉折線ABCA這里的ABC依次為點(100)(010)(001)解ABBCCA其中ABxxy1xz0x從1變到0BCx0y1zzzz從0變到1CAxxy0z1xx從0變到1故(8)其中L是拋物線yx2上從(11)到(11)的一段弧解Lxxyx2x從1變到1故4計算其中L是(1)拋物線yx2上從點(11)到點(42)的一段弧解Lxy2yyy從1變到2故(2)從點(11)到點(42)的直線段解Lx3y2yyy從1變到2故(3)先沿直線從點(11)到(12)然后再沿直線到點(42)的折線解LL1L2其中L1x1yyy從1變到2L2xxy2x從1變到4故(4)沿曲線x2t2t1yt21上從點(11)到(42)的一段弧解Lx2t2t1yt21t從0變到1故5一力場由沿橫軸正方向的常力F所構(gòu)成試求當一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓周x2y2R2按逆時針方向移過位于第一象限的那一段時場力所作的功解已知場力為F(|F|0)曲線L的參數(shù)方程為xRcosyRsin從0變到于是場力所作的功為6設(shè)z軸與力方向一致求質(zhì)量為m的質(zhì)點從位置(x1y1z1)沿直線移到(x2y2z2)時重力作的功解已知F(00mg)設(shè)為從(x1y1z1)到(x2y2z2)的直線則重力所作的功為7把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分其中L為(1)在xOy面內(nèi)沿直線從點(00)到(11)解L的方向余弦故(2)沿拋物線yx2從點(00)到(11)解曲線L上點(xy)處的切向量為(12x)單位切向量為故(3)沿上半圓周x2y22x從點(00)到(11)解L的方程為其上任一點的切向量為單位切向量為故8設(shè)為曲線xtyt2zt3上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分解曲線上任一點的切向量為(12t3t2)(12x3y)單位切向量為習(xí)題10-31計算下列曲線積分并驗證格林公式的正確性(1)其中L是由拋物線yx2及y2x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線解LL1L2故而所以(2)其中L是四個頂點分別為(00)、(20)、(22)、和(02)的正方形區(qū)域的正向邊界解LL1L2L3L4故而所以2利用曲線積分求下列曲線所圍成的圖形的面積(1)星形線xacos3tyasin3t解(2)橢圓9x216y2144解橢圓9x216y2144的參數(shù)方程為x4cosy3sin02故(3)圓x2y22ax解圓x2y22ax的參數(shù)方程為xaacosyasin02故3.計算曲線積分其中L為圓周(x1)2y22L的方向為逆時針方向解當x2+y20時在L內(nèi)作逆時針方向的小圓周lxcosysin(02)在以L和l為邊界的閉區(qū)域D上利用格林公式得即因此4證明下列曲線積分在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)并計算積分值(1)解PxyQxy顯然P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)而且故在整個xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān)取L為點(11)到(23)的直線y2x1x從1變到2則(2)解P6xy2y3Q6x2y3xy2顯然P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且故積分與路徑無關(guān)取路徑(12)(14)(34)的折線則(3)解P2xyy43Qx24xy3顯然P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且所以在整個xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān)選取路徑為從(10)(12)(21)的折線則5.利用格林公式計算下列曲線積分:(1)其中L為三頂點分別為(00)、(30)和(32)的三角形正向邊界解L所圍區(qū)域D如圖所示P2xy4Q5y3x6故由格林公式得(2)其中L為正向星形線(a0)解由格林公式(3)其中L為在拋物線2xy2上由點(00)到的一段弧解所以由格林公式其中L、OA、OB、及D如圖所示故(4)其中L是在圓周上由點(00)到點(11)的一段弧解Px2yQxsin2y由格林公式有其中L、AB、BO及D如圖所示故6驗證下列P(xy)dxQ(xy)dy在整個xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(xy)的全微分并求這樣的一個u(xy):(1)(x2y)dx(2xy)dy證明因為所以P(xy)dxQ(xy)dy是某個定義在整個xOy面內(nèi)的函數(shù)u(xy)的全微分(2)2xydxx2dy解因為所以P(xy)dxQ(xy)dy是某個定義在整個xOy面內(nèi)的函數(shù)u(xy)的全微分(3)4sinxsin3ycosxdx–3cos3ycos2xdy解因為所以P(xy)dxQ(xy)dy是某個定義在整個xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(xy)的全微分(4)解因為所以P(xy)dxQ(xy)dy是某個定義在整個xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(xy)的全微分(5)解因為所以P(xy)dxQ(xy)dy是某個函數(shù)u(xy)的全微分7設(shè)有一變力在坐標軸上的投影為Xxy2Y2xy8這變力確定了一個力場證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時場力所做的功與路徑無關(guān)解場力所作的功為由于故以上曲線積分與路徑無關(guān)即場力所作的功與路徑無關(guān)習(xí)題1041設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面在點(xyz)處它的面密度為(xyz)用對面積的曲面積分表達這曲面對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量解假設(shè)(xyz)在曲面上連續(xù)應(yīng)用元素法在曲面上任意一點(xyz)處取包含該點的一直徑很小的曲面塊dS(它的面積也記做dS)則對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為dIx(y2z2)(xyz)dS對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量為2按對面積的曲面積分的定義證明公式其中是由1和2組成的證明劃分1為m部分S1S2Sm劃分2為n部分Sm1Sm2Smn則S1SmSm1Smn為的一個劃分并且令則當0時有3當是xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解的方程為z0(xy)D故4計算曲面積分其中為拋物面z2(x2y2)在xOy面上方的部分f(xyz)分別如下(1)f(xyz)1解z2(x2y2)Dxyx2y22因此(2)f(xyz)x2y2解z2(x2y2)Dxyx2y22因此(3)f(xyz)3z解z2(x2y2)Dxyx2y22因此5計算其中是(1)錐面及平面z1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解將分解為12其中1z1D1x2y21dSdxdy1D2x2y21提示(2)錐面z23(x2y2)被平面z0及z3所截得的部分解Dxyx2y23因而提示6計算下面對面積的曲面積分(1)其中為平面在第一象限中的部分解(2)其中為平面2x2yz6在第一象限中的部分解z62x2yDxy0y3x0x3(3)其中為球面x2y2z2a2上zh(0ha)的部分解Dxyx2y2a2h2(根據(jù)區(qū)域的對稱性及函數(shù)的奇偶性)提示(4)其中為錐面被x2y22ax所截得的有限部分解Dxyx2y22ax提示7求拋物面殼的質(zhì)量此殼的面密度為z.解Dxyx2y22故8求面密度為0的均勻半球殼x2y2z2a2(z0)對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量解Dxyx2y2a2提示習(xí)題1051按對坐標的曲面積分的定義證明公式解證明把分成n塊小曲面Si(Si同時又表示第i塊小曲面的面積)Si在yOz面上的投影為(Si)yz(iii)是Si上任意取定的一點是各小塊曲面的直徑的最大值則2當為xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解因為z0(xy)Dxy故當取的是上側(cè)時為正號取的是下側(cè)時為負號3計算下列對坐標的曲面積分(1)其中是球面x2y2z2R2的下半部分的下側(cè)解的方程為Dxyx2y2R于是(2)其中z是柱面x2y21被平面z0及z3所截得的第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)解在xOy面的投影為零故可表示為(yz)Dyz{(yz)|0y10z3}故可表示為(zx)Dzx{(zx)|0z30x1}故因此解法二前側(cè)的法向量為n(2x2y0)單位法向量為由兩種曲面積分之間的關(guān)系提示表示曲面的面積(3)其中f(xyz)為連續(xù)函數(shù)是平面xyz1在第四卦限部分的上側(cè)解曲面可表示為z1xy(xy)Dxy{(xy)|0x10yx1}上側(cè)的法向量為n(111)單位法向量為由兩類曲面積分之間的聯(lián)系可得(4)其中是平面x0y0z0xyz1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)解1234其中1x0Dyz0y10z1y2y0Dzx0z10x1z3z0Dxy0x10y1x4z1xyDxy0x10y1x于是由積分變元的輪換對稱性可知因此解1234其中1、2、3是位于坐標面上的三塊4z1xyDxy0x10y1x顯然在1、2、3上的曲面積分均為零于是4把對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積分(1)為平面在第一卦限的部分的上側(cè)解令上側(cè)的法向量為單位法向量為于是(2)是拋物面z8(x2y2)在xOy面上方的部分的上側(cè)解令F(xyz)zx2y28上側(cè)的法向量n(FxFyFz)(2x2y1)單位法向量為于是習(xí)題1061利用高斯公式計算曲面積分(1)其中為平面x0y0z0xayaza所圍成的立體的表面的外側(cè)解由高斯公式原式(這里用了對稱性)(2)其中為球面x2y2z2a2的外側(cè)解由高斯公式原式(3)其中為上半球體x2y2a2的表面外側(cè)解由高斯公式原式(4)其中界于z0和z3之間的圓柱體x2+y29的整個表面的外側(cè)解由高斯公式原式(5)其中為平面x0y0z0x1y1z1所圍成的立體的全表面的外側(cè)解由高斯公式原式2求下列向量A穿過曲面流向指定側(cè)的通量(1)Ayzi+xzj+xyk為圓柱xy2a2(0zh)的全表面流向外側(cè)解PyzQxzRxy(2)A(2xz)ix2yjxz2k為立方體0xa0ya0za的全表面流向外側(cè)解P2xzQx2yRxz2(3)A(2x3z)i(xzy)j(y22z)k是以點(312)為球心半徑R3的球面流向外側(cè)解P2x3zQ(xzy)Ry22z3求下列向量A的散度(1)A(x2yz)i(y2xz)j(z2xy)k解Px2+yzQy2xzRz2xy(2)Aexyicos(xy)jcos(xz2)k解PexyQcos(xy)Rcos(xz2)(3)Ay2zixyjxzk解Py2QxyRxz4設(shè)u(xyz)、v(xyz)是兩個定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)依次表示u(xyz)、v(xyz)沿的外法線方向的方向?qū)?shù)證明其中是空間閉區(qū)間的整個邊界曲面這個公式叫作林第二公式證明由第一格林公式(見書中例3)知將上面兩個式子相減即得5利用高斯公式推證阿基米德原理浸沒在液體中所受液體的壓力的合力(即浮力)的方向鉛直向上大小等于這物體所排開的液體的重力證明取液面為xOy面z軸沿鉛直向下設(shè)液體的密度為在物體表面上取元素dS上一點并設(shè)在點(xyz)處的外法線的方向余弦為coscoscos則dS所受液體的壓力在坐標軸xyz上的分量分別為zcosdSzcosdSzcosdS所受的壓力利用高斯公式進行計算得其中||為物體的體積因此在液體中的物體所受液體的壓力的合力其方向鉛直向上大小等于這物體所排開的液體所受的重力即阿基米德原理得證習(xí)題1071利用斯托克斯公式計算下列曲線積分(1)其中為圓周x2y2z2a2若從z軸的正向看去這圓周取逆時針方向解設(shè)為平面xyz0上所圍成的部分則上側(cè)的單位法向量為于是提示表示的面積是半徑為a的圓(2)其中為橢圓x2y2a2(a>0b>0)若從x軸正向看去這橢圓取逆時針方向解設(shè)為平面上所圍成的部分則上側(cè)的單位法向量為于是提示(即)的面積元素為(3)其中為圓周x2y22zz2若從z軸的正向看去這圓周是取逆時針方向解設(shè)為平面z2上所圍成的部分的上側(cè)則(4)其中為圓周x2y2z29z0若從z軸的正向看去這圓周是取逆時針方向解設(shè)為xOy面上的圓x2y29的上側(cè)則2求下列向量場A的旋度(1)A(2z3y)i(3xz)j+(2x)k解(2)A(siny)i(zxcosy)k解(3)Ax2sinyiy2sin(xz)jxysin(cosz)k解[xsin(cosz)xy2cos(xz)]iysin(cosz)j[y2zcos(xz)x2cosy]k3利用斯托克斯公式把曲面積分化為曲線積分并計算積分值其中A、及n分別如下(1)Ay2ixyjxzk為上半球面的上側(cè)n是的單位法向量解設(shè)的邊界x2y21z0取逆時針方向其參數(shù)方程為xcosysinz0(02由托斯公式(2)A(yz)iyzjxzk為立方體0x20y20z2的表面外側(cè)去掉xOy面上的那個底面n是的單位法向量解4求下列向量場A沿閉曲線(從z軸正向看依逆時針方向)的環(huán)流量(1)Ayixjck(c為常量)為圓周x2y21z0解(2)A(xz)i(x3+yz)j3xy2k其中為圓周z0解有向閉曲線的參數(shù)方程為x2cosy2sinz0(02)向量場A沿閉曲線的環(huán)流量為5證明rot(ab)rotarotb解令aP1(xyz)iQ1(xyz)j+R1(xyz)kbP2(xyz)iQ2(xyz)j+R2(xyz)k由行列式的性質(zhì)有6設(shè)uu(xyz)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求rot(gradu)解因為graduuxiuyjuzk故(uzyuyz)i(uzxuxz)j(uyxuxy)k0*7證明(1)(uv)uvvu解uvvu(2)解uvvu2uu(3)(AB)B(A)A(B)解BP2iQ2jR2k而所以(AB)B(A)A(B)(4)(A)(A)2a解令A(yù)PiQjRk則從而命題地證總習(xí)題十1填空(1)第二類曲線積分化成第一類曲線積分是____________其中、、為有向曲線弧上點(xyz)處的_____________的方向角解切向量(2)第二類曲面積分化成第一類曲面積分是_______其中、、為有向曲面上點(xyz)處的________的方向角解法向量2選擇下述題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論設(shè)曲面是上半球面x2y2z2R2(z0)曲面1是曲面在第一卦限中的部分則有________(A)(B)(C)(D)解(C)3計算下列曲線積分(1)其中L為圓周x2y2ax解L的參數(shù)方程為(02)故()(2)其中為曲線xtcostytsintzt(0tt0)解(3)其中L為擺線xa(tsint)ya(1cost)上對應(yīng)t從0到2的一段弧解(4)其中是曲線xtyt2zt3上由聽t1=0到t21的一段弧解(5)其中L為上半圓周(xa)2y2a2y0沿逆時針方向解這里Pexsiny2yQexcosy2令L1為x軸上由原點到(2a0)點的有向直線段D為L和L1所圍成的區(qū)域則由格林公式(6)其中是用平面yz截球面x2y2z21所得的截痕從z軸的正向看去沿逆時針方向解曲線的一般方程為其參數(shù)方程為t從0變到2于是4計算下列曲面積分(1)其中是界于平面z0及zH之間的圓柱面x2y2R2解12其中DxyRyR0zHDxyRyR0zH