第二章 信號描述及其分析

第二章信號描述及其分析通過測量裝置變成容易測量、記錄、和分析的變化量電信號工程測試信號分析和處理有用信息信號分析：研究信號的構(gòu)成和特征。信號處理：把信號經(jīng)過必要的變換過程以獲得所需信息的過程。信號分析和信號處理的基本方法：將信號抽象為變量之間的函數(shù)關(guān)系，特別是時間函數(shù)或空間函數(shù)，從數(shù)學(xué)上加以研究。信號的頻譜分析，是最重要的信號分析技術(shù)之一。本章主要講述信號的分類、信號的描述和信號的分析等方面的知識第一節(jié)信號及分類信號有各種形式，可以不同的角度對其進行分類。一.確定性信號能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，因而可確定其任何時刻的量值的信號。有周期信號和非周期信號。按一定時間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)，無始無終的信號。1.周期信號：如其周期、頻率、角頻率關(guān)系為其表達式的形式為簡單周期信號復(fù)雜周期信號2.非周期信號確定性信號中不具有周期重復(fù)性的信號。非周期信號中包含準周期信號和瞬變非周期信號。瞬態(tài)信號：除準周期信號以外的非周期信號，是一些或在一定的時間區(qū)間內(nèi)存在，或隨著時間的增長而衰減至零的信號。準周期信號：由兩個以上的周期信號合成的，但其組成分量間無法找到公共周期，無法按某時間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)的信號。不能準確預(yù)測未來瞬時值，也無法用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。如汽車行駛時的震動和環(huán)境噪聲等。隨機信號可以用數(shù)理統(tǒng)計的方法進行描述。二.隨機信號（非確定性信號）噪聲信號(平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異噪聲信號(非平穩(wěn))連續(xù)信號的幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。幅值連續(xù)的連續(xù)信號稱模擬信號。三.連續(xù)信號和離散信號確定性信號的數(shù)學(xué)表達式中的獨立變量取值是連續(xù)的。特點：1.連續(xù)信號確定性信號的數(shù)學(xué)表達式中的獨立變量取值是離散的信號。2.離散信號特點：離散信號的幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。在所有時間點上有定義的信號（幅值連續(xù)）稱為采樣信號，幅值離散的信號稱為數(shù)字信號。在非電量測量中，把被測信號轉(zhuǎn)換為電流或電壓信號來處理。若電壓信號加在電阻R

(R=1Ω)上，四、能量信號和功率信號信號的功率為：信號的能量為:此時；信號的能量是信號的功率對時間的積分。

1.能量信號在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。若能量無限,即2.功率信號：一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號:但它在有限區(qū)間(t1,t2)內(nèi)的平均功率是有限的，簡稱功率信號。即注意：在這里的信號的功率和能量，不一定具有真實功率和能量的量綱。第二節(jié)周期信號與離散頻譜抽象為以時間為自變量表達的函數(shù)，稱為信號的時域描述。求取信號幅值的特征參數(shù)以及信號波形在不同時刻的相似性和關(guān)聯(lián)性，稱為信號的時域分析。時域描述只能反映信號的幅值隨時間的變化的特征，而不能明顯表示出信號的頻率構(gòu)成，即信號中蘊含的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系。描述信號的獨立變量是頻率，稱為信號的頻域描述。以頻率作為獨立變量建立信號與頻率的函數(shù)關(guān)系，稱為頻域分析或頻譜分析。頻譜分析的主要方法之一是傅里葉變換。時域描述和頻域描述是可以相互轉(zhuǎn)換的。一．傅立葉級數(shù)與周期信號的頻譜周期函數(shù)，若在有限區(qū)間內(nèi)，滿足“狄里赫利”條件，則可展成傅立葉三角級數(shù)，其展開式為1．傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式“狄里赫利”條件：周期函數(shù)在一個周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點，至多只有有限個極值點。其中，常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值式中T——周期——角頻率上式中令上式表明，任何滿足狄里赫利條件的周期信號，均可在一個周期內(nèi)表示成一個常值分量和一系列正弦分量之和的形式。其中，n=1的那個正弦分量稱為基波，相應(yīng)的頻率稱為基頻；當n=2，3，…時，依次稱為二次、三次…n次諧波，相應(yīng)的頻率稱為二次、三次…n次諧波頻率。2.周期信號的頻譜從上式可見，周期信號是由一個或幾個、乃至無窮多個不同頻率的諧波疊加而成的。以圓頻率為橫坐標，幅值

或相角為縱坐標作圖，則分別得其幅頻圖和相頻圖。幅頻譜、相頻譜統(tǒng)稱頻譜。對信號進行變換，獲得頻譜的過程也就是對信號進行頻譜分析的過程。例2-1：求如圖所示的周期方波的頻譜。解：該方波在一個周期內(nèi)的表達式為常值分量：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：相頻圖其相頻譜中基波和各次諧波的初相位都為零。例2-2：求如圖所示的三角波的頻譜。解：在一個周期中可表示為常值分量：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：因此，周期三角波的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)展開式為：周期信號的頻譜的特點：（1）離散性頻譜是離散的。（2）諧波性頻譜中的譜線只出現(xiàn)在基頻的整數(shù)倍頻率處，即各次諧波頻率都是基頻的整數(shù)倍。（3）收斂性各次諧波分量隨頻率增加，其總的趨勢是衰減的。因此在實際頻譜分析中，根據(jù)精度要求決定所取諧波的次數(shù)。通過頻譜分析可以把一個復(fù)雜的時間信號分解成一系列簡單的正弦諧波分量來研究，以獲得信號的頻譜結(jié)構(gòu)以及各次諧波幅值和相位信息。動態(tài)測試中具有重要的意義。以上分析可以看出，時域波形變化劇烈的，其頻譜成分中高頻成分多，反之低頻成分多。此圖表明時域描述、頻域描述是對同一信號的不同描述方法，并沒有改變信號本身的特性，它們只是通過不同的描述方法表征了不同特征。二、傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式根據(jù)歐拉公式：上兩個式代入傅里葉級數(shù)三角函數(shù)展開式，可得令得為縱坐標，為橫坐標畫圖，得到的和圖分別稱為幅頻譜圖和相頻譜圖。Cn的實部CnI和虛部CnR與頻率ω的關(guān)系作的幅頻圖，分別稱為實頻譜圖和虛頻譜圖。當取負值時，為“負頻率”。其意是旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向為正，順時針方向為負。例2-3：求例2-1中周期方波的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。解：該方波在一個周期內(nèi)的表達式為把此式代入上式可得所以，周期方波的復(fù)指數(shù)傅里葉展開式為三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜(ω從0到+∞),復(fù)數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜(ω從-∞到+∞)。2.兩種頻譜各諧波幅值在量值上有確定的關(guān)系，即傅立葉級數(shù)的兩種展開式有以下聯(lián)系：3.雙邊頻譜為偶函數(shù)，雙邊相頻譜為奇函數(shù)。第三講第三節(jié)傅里葉變換及非周期信號的頻譜非周期信號：可分為準周期信號和瞬變非周期信號。準周期信號：兩個以上簡諧信號組成，但各簡諧信號的頻率比不是有理數(shù)。頻譜也具有離散性，從表達式便可知其頻率結(jié)構(gòu)。如x(t)=sin(t)+sin(√2t)。非周期信號是時間上不會重復(fù)出現(xiàn)的信號，一般為時域有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號的頻域分析手段是傅立葉變換。瞬變非周期信號如下圖所示。一、傅里葉變換周期函數(shù)x(t)的周期為T，在（-T/2，T/2）區(qū)間進行傅里葉級數(shù)展開式為上式中代入得周期信號頻譜譜線的間隔，當T趨向于無窮大時，其頻率間隔區(qū)域無窮小，譜線無限靠近，離散變量演變?yōu)檫B續(xù)變量，導(dǎo)致離散頻譜線的頂點演變?yōu)檫B續(xù)的曲線，求和符號變?yōu)榉e分符號了。這就是傅里葉積分。上式括號里面的積分，積分變量是時間t，故積分之后只是ω的函數(shù)，記作X（ω），得到上式可以改寫為在數(shù)學(xué)中，稱為的傅里葉變換，稱為的傅里葉逆變換，兩者互稱為傅里葉變換對。表示為，簡寫為。記作。將代入可以得到以f為變量的傅里葉變換對。一般是實變量的復(fù)函數(shù)，可以寫成為信號的連續(xù)幅值譜，的頻譜函數(shù)。稱為為信號的連續(xù)相位譜。這樣在傅里葉變換中避免出現(xiàn)的常數(shù)因子。其關(guān)系是其中：例2-4求如圖所示的矩形窗的頻譜，該函數(shù)為其中，T為時間寬度，稱為窗寬。解：sinc

x的函數(shù)值從專門的數(shù)學(xué)表可查到，它以2π為周期，并隨x的增加而做衰減振蕩。其譜線如下圖所示。二、傅里葉變換的性質(zhì)以及應(yīng)用信號的時域、頻域分析，從不同的角度揭示了信號的物理特性，兩者通過傅里葉變換來確立相互一一對應(yīng)關(guān)系。

時域分析變得困難時，可通過傅里葉變換到頻域分析，因此要熟悉傅里葉變換的主要性質(zhì)。1．線性疊加性如果則其中a、b均為常數(shù)。它表明兩個信號線性組合的傅里葉變換是單個信號傅里葉變換的線性組合。2．對稱性該性質(zhì)表明，信號的時域波形和頻域波形有著互相對應(yīng)的關(guān)系。證明：以-t代替t，并將t與f互換，得到即為實偶函數(shù)，為實奇函數(shù)。3．奇偶虛實性一般X(f)是實變量f的復(fù)變函數(shù)?？蓪懗缮鲜礁膶懗墒穷l率的偶函數(shù)。幅頻譜a.為實偶函數(shù)，則，b.為實奇函數(shù)，則，為虛奇函數(shù)。為實偶函數(shù)。討論幾種特殊情況：相頻譜是頻率的奇函數(shù)。為虛偶函數(shù)。為實奇函數(shù)。c.為虛偶函數(shù)，則，d.為虛奇函數(shù)，，了解這個性質(zhì)有助于估計傅立葉變換對的相應(yīng)圖形性質(zhì)，減少不必要的變換。4．時間尺度改變特性證明：在（2—30）中若a＞1時，時域波形在時間軸上被壓縮a倍，導(dǎo)致頻域波形在頻率軸上被擴展a倍；若a＜1時，時域波形在時間軸上被擴展1/a倍，導(dǎo)致頻域波形在頻率軸上被壓縮1/a倍。時域壓縮（a>1)頻域擴展（幅值降低）時域擴大（a<1）頻域壓縮（幅值增加）如：記錄磁帶慢錄快放，即使時間尺度壓縮。尺度改變特性說明了時間和頻率兩個資源之間的關(guān)系，在時域中壓縮信號的持續(xù)時間，則對應(yīng)于在頻域中擴展了它的頻率帶寬，反之亦然。所以，在時域中提高信息的處理速度，必須以犧牲帶寬為代價，如果降低處理效率，則在信號的處理過程中，對后續(xù)設(shè)備的通頻帶要求可以降低。5．時延特性信號在時域中沿時間軸前后移動，產(chǎn)生時移，則變換到頻率域中，其幅值譜保持不變，其頻譜相應(yīng)產(chǎn)生附加相移。其相角的改變量和頻率成正比：時域移動對應(yīng)于頻域相移。上式表明，X（f）在頻域中沿頻率軸移動，則對應(yīng)于x（t）在時域中產(chǎn)生一相位因子。反過來，函數(shù)x（t）乘以，可使整個頻譜X（f）搬移±f0。在無線廣播和通信技術(shù)中，經(jīng)常需要將低頻信號搬移到高頻段發(fā)射，就是采用這一特性，將信號與正（余）弦信號相乘實現(xiàn)，這個過程稱為幅度調(diào)制。6.頻移特性7．微分和積分特性推廣到n階微分：（上式中如果，則）在振動測試中，如果測得系統(tǒng)的位移、速度、或加速度中的任意參數(shù)的頻譜，利用微分、積分特性就可以獲得其它參數(shù)的頻譜。若對時間積分在頻域中微分也存在類似的性質(zhì)，即8．卷積特性若時域卷積對應(yīng)于頻域乘積；時域乘積對應(yīng)于頻域卷積。兩個函數(shù)x1(t)和x2(t)，定義為x1(t)和x2(t)的卷積。9．能量積分在很多情況下，卷積積分用直接積分的方法來計算是有困難的，但它可以利用變換的方法來解決，從而使分析工作大為簡化。上式稱為巴塞伐爾定理，也叫能量等式。它表明在時域中計算信號的總能量等于頻域中計算的總能量。稱為能量譜密度，它決定信號沿頻率軸能量密度的分布。時域頻域?qū)?yīng)關(guān)系頻域時域性質(zhì)線性疊加線性對稱對稱性壓縮與擴展尺度變換表2-1傅里葉變換的基本性質(zhì)時移與相移時移時域頻域?qū)?yīng)關(guān)系頻域時域性質(zhì)調(diào)制與頻移頻移時域微分頻域微分時域積分頻域卷積乘積和卷積時域卷積時域頻域?qū)?yīng)關(guān)系頻域時域性質(zhì)三、典型信號的頻譜1.矩形窗函數(shù)的頻譜其中，T為時間寬度，稱為窗寬。譜線如下圖所示。其頻譜函數(shù)為由圖可知，一個在時域有限區(qū)間內(nèi)有值的信號，其頻域卻延伸至無線頻率。若在時域中截取信號的一段記錄，則相當于原信號和窗函數(shù)之乘積，因而所得頻域?qū)⑹窃盘栴l域函數(shù)和sinc函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的、頻率無限延伸的頻譜。主瓣其它為旁瓣主瓣寬度為2/T，與時域窗寬度T成反比?？梢姇r域窗寬愈大，截取信號時長愈大，主瓣寬度愈小。2．單位脈沖信號（狄拉克函數(shù)、δ函數(shù)）①定義：在ε時間內(nèi)激發(fā)一個矩形脈沖Sε(t)，其面積為1。當ε趨近于0時，Sε(t)的極限就稱為狄拉克函數(shù)。a．從函數(shù)值極限角度看b．從面積（也稱為函數(shù)強度）角度來看由定義記作：實際應(yīng)用中，常用瞬時沖擊來近似實現(xiàn)δ信號，如圖2-11所示。圖2-11②函數(shù)的性質(zhì)1）采樣性質(zhì)如果任意連續(xù)函數(shù)與函數(shù)相乘，其乘積在t=0處得到，其余各點（t≠0）之乘積為零。如果任意連續(xù)函數(shù)與函數(shù)相乘，在（-∽，∽）區(qū)間中積分，則得同理，對于延時t0的δ函數(shù)，它與連續(xù)函數(shù)的乘積只有時刻不為零，δ函數(shù)的采樣性質(zhì)是對連續(xù)信號進行離散采樣的理論依據(jù)。在（-∽，∽）區(qū)間中積分，則得2）卷積性質(zhì)兩個函數(shù)與的卷積定義為；因此任意函數(shù)和的卷積表示為同理可得可見函數(shù)和卷積的結(jié)果，就是在函數(shù)的坐標位置上（以此作為坐標原點）簡單地將重新構(gòu)圖。代入卷積式得例③δ函數(shù)的頻譜逆變換為因此，時域的δ函數(shù)具有無限寬廣的頻譜，而且在所有頻段上都是等強度的。常稱為“均勻譜”。根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)，可得到幾對重要的傅里葉變換對。時域頻域3.周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）及其頻譜其圖像為......周期單位脈沖序列的數(shù)學(xué)表達式為用傅里葉指數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式表示，comb(t,T)在一個周期內(nèi)δ函數(shù)只有一個。其系數(shù)為而當時，所以根據(jù)復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換對comb(t，T)的頻譜也是梳狀函數(shù)，其圖形為............若時域周期為，則頻域脈沖序列的周期為；由圖可以看出時域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列。時域脈沖強度為1，則頻域中脈沖強度為。4．正、余弦信號的頻譜由于正、余弦函數(shù)不滿足絕對可積，不能用傅里葉變換公式直接進行，而需要引入δ函數(shù)。根據(jù)歐拉公式可表示為根據(jù)傅里葉變換的頻移特性可得正、余弦函數(shù)的傅里葉變換為其頻譜圖如下第四節(jié)數(shù)字信號的離散化數(shù)字信號的優(yōu)點：有較高的抗干擾性；易于存儲；可以使用計算機處理。已成為現(xiàn)代測試技術(shù)的一個重要組成部分。模擬信號通過A/D轉(zhuǎn)換可變?yōu)閿?shù)字信號，在這一過程中涉及采樣間隔與頻率的混淆、采樣長度與頻率分辨率、量化與量化誤差、泄露與窗函數(shù)等諸多方面。這些內(nèi)容涉及的參數(shù)在使用某些測試設(shè)備或編制測試軟件時需要進行設(shè)置。設(shè)模擬信號的傅里葉變換為。為了利用計算機，必須使x(t)變換成有限長的離散時間序列。為此對x(t)進行采樣和截斷。采樣就是用一個等時距的周期脈沖序列s(t)去乘x(t)。等時距的周期脈沖序列s(t)的傅里葉變換S(f)也是周期脈沖序列，其頻率間距為fs=1/Ts，如下圖所示。圖中；時距Ts稱為采樣間隔；1/Ts=fs稱為采樣頻率。時間域中，采樣后的信號如下圖所示。頻率域中，其圖形為下圖所示。由于計算機只能進行有限長序列的運算，采樣后的信號的時間序列截取有限長的一段來計算，其余部分視為零而不予考慮。這就是把采樣后信號（時間序列）乘上一個矩形窗函數(shù)w(t)，窗寬為T。所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)N=T/Ts也稱序列長度。窗函數(shù)w(t)的傅里葉變換W(f)如圖所示。因此進入計算機的信號

是長度為N的離散信號。時域相乘對應(yīng)著頻域卷積。它的頻譜函數(shù)是，是一個頻域連續(xù)函數(shù)。在卷積中，的旁瓣引起新頻譜的皺波。如圖所示。計算機按照一定算法，比如離散傅里葉變換（DFT）將N點長的離散時間序列變換成N點的離散頻率序列，并輸出。DFT不僅算出的“頻譜”，而卻同時對其頻譜實施了頻域的采樣處理，使其離散化。相當于在頻域中乘上圖下所示的采樣函數(shù)。計算機實際輸出是（左圖）。時域函數(shù)（周期函數(shù)）頻域采樣形成頻域函數(shù)離散化，相應(yīng)地把其時域函數(shù)周期化了。原來希望獲得模擬信號的頻域函數(shù)。輸入計算機的數(shù)據(jù)卻是序列長度為N的離散采樣后信號，計算機輸出是用來近似。1.采樣與采樣定律（1）采樣將連續(xù)的時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的時間序列的過程。實質(zhì)上是將模擬信號按一定的時間間隔Ts逐點取其瞬時值，使之成為離散信號。Ts稱為采樣間隔，fs=1/Ts稱為采樣頻率。（2）采樣（香農(nóng)）定律帶限信號不丟失信息的最低采樣頻率為。其中:fc—為原信號的最高頻率。不滿足采樣定律，將會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。理論上是將模擬信號與時間間隔為Ts的周期單位脈沖序列函數(shù)相乘，即。頻域圖b中用過大的采樣間隔Ts對不同頻率的正弦波采樣，得到一組相同的采樣值無法辨認兩者的差異，將其中的高頻信號誤認為某種相應(yīng)的低頻信號，出現(xiàn)所謂的混疊現(xiàn)象。（3）頻率混疊由于采樣頻率選取不當而出現(xiàn)高低頻率成分發(fā)生混疊的一種現(xiàn)象。時域中若圖a所示的Ts采樣，將得點1、2、3、4等的采樣值，無法分清曲線A、B、C的差別，并把B、C誤認為A。圖a是信號x(t)及其傅里葉變換X(f)，其頻率范圍是-fc~fc。圖b是采樣信號xs(t)及其傅里葉變換，它的頻譜是根據(jù)δ函數(shù)的卷積性質(zhì)，將X(f)在頻域重新構(gòu)圖。圖中表明當滿足采樣定律時，譜圖是分離的。而圖c是不滿足采樣定律時，譜圖相互重疊，使信號復(fù)原時產(chǎn)生混疊。1）提高采樣頻率以滿足采樣定律，一般取。2）用低通濾波器濾掉不必要的高頻成分以防頻率混疊的產(chǎn)生，此時的低通濾波器也稱為抗混疊濾波器。解決頻率混疊的方法有：2.采樣頻率和頻率分辨率當差樣間隔Ts一定時，采樣長度T越長，數(shù)據(jù)的點數(shù)N越大。為了減少計算量T不宜過長。但是若T過短，則不能反映信號的全貌，因為在作傅里葉分析時，頻率分辨率Δf與采樣長度成反比，即若分析頻率取各檔頻率分辨率為若采樣頻率為；當時，。當時，。3.量化及量化誤差量化：采樣得到的離散信號的電壓幅值，用二進碼組表示，就是離散信號變成數(shù)字信號的過程。一般在工程信號分析中，采樣點N選取2的整數(shù)冪，使用較多的有512、1024、2048等。量化是從一組有限個離散電平中取一個來近似代表采樣點的信號實際幅值電平。這些離散電平稱為量化電平，每個量化電平對應(yīng)一個二進制數(shù)碼。例：A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)是一定的。一個b位（數(shù)據(jù)字長）的二進制數(shù)，共有L=2b個數(shù)碼。如果A/D的工作范圍為D（±5V或0~10V）。其中采用2(b-1)而不用2b，是應(yīng)為實際字長的第一位用作符號位。則兩相鄰量化電平之間之差為Δx，即用有限位的二進制數(shù)只能表示Δx的整數(shù)倍的電平值，如果實際幅值電平落在這些離散的量化電平之間就要采用四舍五入的方法歸到相近的量化電平上。量化誤差：量化誤差=量化電平－實際電平量化誤差均在(-Δx,+Δx)區(qū)間，各點出現(xiàn)的概率是相等的。例：假定字長，峰值電平等于峰值電平與誤差標準差值比為A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)選擇應(yīng)視信號的具體情況和量化的精度要求而定。4.泄露及窗函數(shù)（1）泄露現(xiàn)象數(shù)字信號處理只能對有限長的信號進行分析運算，因此需要去合理的采樣長度T對信號進行截斷。截斷是在時域?qū)⒃撔盘柡?/p>