第十一章 曲線積分及曲面積分(正式)

第十一章曲線積分與曲面積分教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)對弧長的曲線積分第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用第四節(jié)對面積的曲面積分第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分第六節(jié)高斯公式*通量與散度第七節(jié)斯托克斯公式*環(huán)流量與旋度教學(xué)目的與要求1.掌握：①計(jì)算兩類曲線積分的方法；②計(jì)算兩類曲面積分的方法；③格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。2.理解：兩類曲線積分的概念。3.了解：①兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。②兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，③高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分;教學(xué)重點(diǎn)1.兩類曲線積分的計(jì)算方法；2.格林公式及其應(yīng)用；3.兩類曲面積分的計(jì)算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)1.兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系；2.對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算；3.應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分；4.應(yīng)用高斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲面積分；5.應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分。積分學(xué)積分域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分第十一節(jié)曲線積分與曲面積分區(qū)間域平面域空間域定積分二重積分三重積分一.對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二.對弧長的曲線積分的計(jì)算法第一節(jié)對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB其線密度為“大化小，常代變，近似和，取極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè)是空間中一條有限長的光滑曲線，f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，若通過對的任意分割和對都存在,上對弧長的曲線積分,記作局部的任意取點(diǎn)，2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲線或第一類曲線積分。f(x,y,z)稱為被積函數(shù),

稱為積分弧段。曲線形構(gòu)件的質(zhì)量若L是xOy面上的曲線弧，則定義對弧長的曲線積如果L是閉曲線，則記為分為思考：(1)若在

L上

f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù)。問表示什么？3.性質(zhì)(L由L1,L2組成)(l

為曲線弧

的長度)(3)設(shè)在L上f(x,y)≤g(x,y)，則特別地，有將上以性質(zhì)推廣到三維空間有(l

曲線弧的長度)(由1,2組成)二.對弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路：計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理：存在，且上的連續(xù)函數(shù),設(shè)f(x,y)是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分若曲線L的方程為則有若方程為極坐標(biāo)形式：則推廣：設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例1.計(jì)算其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧。解：例2

計(jì)算其中L為雙紐線解：在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對稱性，得內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧的長度)(

由1,2組成)3.計(jì)算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧P190習(xí)題11-13(3)(4)(6)(7)，5

課外思考題思考與練習(xí)1.已知橢圓周長為a，求提示:原式=利用對稱性分析：2.

L為球面x2+y2+z2=R2在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)面的交線，求其形心。解：如圖所示，交線長度為由對稱性，形心坐標(biāo)為一.對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二.對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法三.兩類曲線積分之間的聯(lián)系第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分一.對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1)引例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xOy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B,求“大化小”

“常代變”“近似和”

“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:移動(dòng)過程中變力所作的功W。變力沿曲線所作的功。1)大化小2)常代變把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替，則有所做的功為沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在3)近似和4)取極限(其中為n個(gè)小弧段的最大長度)2)定義設(shè)L為xOy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧，若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn)，極限都存在,在有向曲線弧L上對坐標(biāo)的曲線積分，則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分。其中P(x,y)L稱為積分弧段或積分曲線。Q(x,y)稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)記作若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分；稱為對y的曲線積分.若記對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,3)性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧Li(i=1,2,…,k)(2)用L-表示L的反向弧，則則

定積分是第二類曲線積分的特例。說明:

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!二.對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有例1.計(jì)算其中L為沿拋物線y2=x從點(diǎn)解法1

取x

為參數(shù),則A(1,-1)到B(1,1)的一段。解法2：取y為參數(shù),則例1.計(jì)算其中L為沿拋物線y2=x從點(diǎn)A(1,-1)到B(1,1)的一段。例2.

計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系類似地,在空間曲線上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為例3

積分化為對弧長的積分，解：其中L沿上半圓周x2+y2-2x=0從O(0,0)到B(2,0)。1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧Li(i=1,2,…,k)(2)L－

表示

L

的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)3.計(jì)算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧4.兩類曲線積分的聯(lián)系?對空間有向光滑弧

:原點(diǎn)O的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x,y)處受恒指向原點(diǎn),此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a,0)沿橢圓沿逆時(shí)針移動(dòng)到B(0,b)，提示:F

的大小與M

到原F

的方向力F

的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM

垂直且與y

軸夾銳角,則2.

已知為折線

ABCOA(如圖)，計(jì)算提示:課外思考題P200習(xí)題11-23(2)(4)(6)，4，5一、格林公式第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件區(qū)域D分類單連通區(qū)域

(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域

(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向：域的內(nèi)部靠左定理1.

設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或一、格林公式推論：正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積例1

設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線，證明證:

令則利用格林公式,得例2.計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域。解:

令則利用格林公式，有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理2.

設(shè)D

是單連通域,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān)。函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)則以下四個(gè)條件等價(jià)：(3)Pdx+Qdy在D內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分即說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù)：或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)(x0,y0)∈D及動(dòng)點(diǎn)(x,y)∈D，1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑；例3.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)

到A(4,0)。解:

為了使用格林公式,添加輔助線段它與L所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無關(guān)。在D內(nèi)有對D內(nèi)任意閉曲線L有在D內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有P213習(xí)題11-32(1)，3，4(3)，5(1)，6(2)課外思考題思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問下列計(jì)算是否正確?提示:2.

設(shè)提示:求u(x,y)。一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計(jì)算法第四節(jié)對面積的曲面積分一.對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)量M.“大變小,常代變,近似和,取極限”的方法，其中，表示n小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).定義：“乘積和式極限”

都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義，曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為設(shè)為光滑曲面,f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對面積函數(shù)，叫做積分曲面。則對面積的曲面積分存在。?

對積分域的可加性?

線性性質(zhì)若f(x,y,z)在光滑曲面上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.?

積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面1,2，則有設(shè)k1,k2為常數(shù)，則定理：設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在，且有二.對面積的曲面積分的計(jì)算法則曲面積分說明:可有類似的公式。1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS

的表達(dá)式,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分.(見本節(jié)后面的例4,例5)或例1.計(jì)算曲面積分其中是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的頂部。解:思考:若是球面x2+y2+z2=a2被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則例2.計(jì)算其中是由平面x+y+z=1與坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面。解:

設(shè)上的部分,則原式=分別表示

在平面內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式簡化計(jì)算的技巧。P246

題2.

設(shè):x2+y2+z2=a2(z≥0),

1為在第一卦限中的部分,則有().課外思考題P219習(xí)題11-44(3)，5(2)，6(1)(3)(4)，8一.有向曲面及曲面元素的投影二.對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)三.對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四.兩類曲面積分的聯(lián)系第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)其方向用法向量指向表示：方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)

>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面，其面元△S在xOy面上的投影記為側(cè)的規(guī)定指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定二.對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為求單位時(shí)間流過有向曲面的流量。分析:

若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得則設(shè)設(shè)為光滑的有向曲面,在上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R叫做被積函數(shù);叫做積分曲面?；虻诙惽娣e分。下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A

在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義.引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q在有向曲面上對z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對x,y的曲面積分。稱為P在有向曲面上對y,z的曲面積分;若記正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式3.性質(zhì)(1)若且i之間無公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用ˉ表示的反向曲面，則三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),R(x,y,z)是上的連續(xù)函數(shù)，則?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面取下側(cè)，則例1.

計(jì)算其中是以原點(diǎn)為中心,邊長為a的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè)。解:利用對稱性.原式的頂部取上側(cè)的底部取下側(cè)解：把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考：下述解法是否正確：例2.計(jì)算曲面積分其中為球面x2+y2+z2=1外側(cè)在第一和第八卦限部分。四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫令向量形式(A

在

n

上的投影)例3.

計(jì)算曲面積分其中旋轉(zhuǎn)解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=拋物面介于平面z=0

及z=2

之間部分的下側(cè)。原式將代入，得內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個(gè)與的方向無關(guān),一個(gè)與2.常用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況。轉(zhuǎn)化當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yOz面及zOx面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式。課外思考題

P228習(xí)題11-53(1)(2)(4)，4(1)(2)練習(xí)題

求取外側(cè)。解:注意±號其中利用輪換對稱性Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件三、通量與散度第六節(jié)高斯公式*通量與散度一、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面所圍成,的方向取外側(cè),則有(Gauss公式)例1.

用Gauss公式計(jì)算閉域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。解:

這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標(biāo))其中為柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所圍空間思考：若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?例2

設(shè)為曲面z=2-x2-y2,1≤z≤2取上側(cè)，求解:作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型設(shè)有空間區(qū)域G,

若G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G為空間二維單連通域；

若G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于G的曲面,則稱G為空間一維單連通域。例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域。既是一維也是二維單連通區(qū)域；是二維但不是一維單連通區(qū)域；是一維但2.閉曲面積分為零的充要條件定理2

設(shè)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

在空間二維單連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),為G內(nèi)任一閉曲面,則①證明:“充分性”.

根據(jù)高斯公式可知②是①的充分條件。的充要條件是：②“必要性”.用反證法.已知①成立,假設(shè)存在M0∈G,使因P,Q,R

在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則存在鄰域則由高斯公式得與①矛盾,故假設(shè)不真.因此條件②是必要的.使在∪(M0)上,設(shè)∪(M0)的邊界為，取外側(cè)，*三、通量與散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設(shè)為場中任一有向曲面,單位時(shí)間通過曲面的流量為則由對坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為若為方向向外的閉曲面,

當(dāng)>0時(shí),說明流入的流體質(zhì)量少于當(dāng)<0時(shí),說明流入的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過的流量為當(dāng)=0時(shí),說明流入與流出的流體質(zhì)量相等.流出的,表明內(nèi)有泉;表明內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為③方向向外的任一閉曲面,記所圍域?yàn)?設(shè)是包含點(diǎn)M且為了揭示場內(nèi)任意點(diǎn)M處的特性,在③式兩邊同除以的體積V,并令以任意方式縮小至點(diǎn)M

(記作→M),則有此式反應(yīng)了流速場在點(diǎn)M的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.定義:設(shè)有向量場其中P,Q,R具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),是場內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A

通過有向曲面的通量(流量)。在場中點(diǎn)M(x,y,z)處稱為向量場A

在點(diǎn)M

的散度.記作表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度。若向量場A

處處有,則稱A

為無源場.例如,

勻速場故它是無源場。說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且(其中vx,vy,vz為常數(shù))，內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:*2.通量與散度設(shè)向量場P,Q,R在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場通過有向曲面的通量為G內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為課外思考題P236習(xí)題11-61(2)(4)(5)，2(2)，3，4思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)設(shè):x2+y2+z2=R2取外側(cè)，為練習(xí)題

設(shè)是一光滑閉曲面，所圍立體的體積為V，

是外法線向量與點(diǎn)(x,y,z)的向徑試證證明：設(shè)的單位外法向量為則的夾角,高斯(1777–1855)

德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家。他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，在對天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等。他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎,恪守這樣的原則:“問題在思想上沒有弄通之前決不動(dòng)筆”.*三、環(huán)流量與旋度第七節(jié)斯托克斯公式*環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件*四、向量微分算子一、斯托克斯(Stokes)公式定理1.

設(shè)光滑曲面的邊界分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),的側(cè)與的正向符合右手法則,P,Q,R在包含在內(nèi)的一則有注意:

如果是xOy面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作：或用第一類曲面積分表示：例1.

利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)解:

記三角形域?yàn)?取上側(cè),則邊界,方向如圖所示。利用對稱性例2.

為柱面x2+y2=2y與平面y=z的交線，從z軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解:

設(shè)為平面z=y上被所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.設(shè)G是空間一維單連通域,函數(shù)P,Q,R在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià):(1)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有與路徑無關(guān),并求函數(shù)解：積分與路徑無關(guān),因此例3.

驗(yàn)證曲線積分令P=y+z，Q=z+x，R=x+y。三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面的法向量為曲線單位切向量為則斯托克斯公式可寫為令引進(jìn)一個(gè)向量記作向量rotA

稱為向量場A

的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn)M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:向量場A

產(chǎn)生的旋度場穿過的通量注意與的方向形成右手系!

為向量場A

沿

的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例4

求電場強(qiáng)度的旋度。解:(除原點(diǎn)外)這說明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個(gè)電場無旋.為的外法向量，計(jì)算解:例5.

設(shè)*四、向量微分算子定義向量微分算子：它又稱為▽(Nabla)算子,或哈密頓(Hamilton)算子.(1)設(shè)u=u(x,y,z)，則則高斯公式與斯托克斯公式可寫成:內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有在內(nèi)處處有2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件設(shè)P,Q,R在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則3.場論中的三個(gè)重要概念設(shè)梯度:散度:旋度:則思考與練習(xí)則提示:三式相加即得設(shè)課外思考題P245習(xí)題11-72(1)(3)，3(1)，4(2)斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家。他是19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導(dǎo)出了著名的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念。他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式。他一生的工作先后分五卷出版。習(xí)題課一、曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法線面積分的計(jì)算一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類：下小上大第二類：下始上終解答提示:

計(jì)算其中L為圓周x2+y2=ax。提示:

利用極坐標(biāo),原式=說明:

若用參數(shù)方程計(jì)算,則P1843(1)P1843(3).計(jì)算其中L為擺線上對應(yīng)t從0

到2

的一段弧。提示:P1843(6).計(jì)算其中由平面y=z截球面提示:

因在上有x2+2y2=1，故原式=x2+y2+z2=1所得，從

z

軸正向看沿逆時(shí)針方向。(1)利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算；(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件；(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧)；(4)利用斯托克斯公式；(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式。2.基本技巧例1

計(jì)算其中為曲線解：利用輪換對稱性，有利用重心公式知(的重心在原點(diǎn))例2.

計(jì)算其中L

是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a

為半徑的上半圓周.解法2

它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計(jì)算下述積分:(1)若L改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段思考題解答:(1)(2)計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針方向.練習(xí)題:P184題3(5);P185題6;103(5).P1856.設(shè)在右半平面x>0

內(nèi),力構(gòu)成力場,其中k為常數(shù),證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:令易證F

沿右半平面內(nèi)任意有向路徑L

所作的功為P18510.