第一章軸向拉伸和壓縮

第一章軸向拉伸和壓縮§1-1工程實際中的軸向拉伸和壓縮問題§1-2拉伸和壓縮時的內(nèi)力§1-3截面上的應(yīng)力§1-4拉伸和壓縮時的變形§1-5拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能§1-6拉伸和壓縮時的強度計算§1-7拉伸和壓縮超靜定問題§1-8應(yīng)力集中的概念§1-9變形能的概念§1-1工程實際中的軸向拉伸和壓縮問題

拉伸或壓縮桿件大多數(shù)是等截面直桿，其特點是：

一、受力特點在桿兩端受一對大小相等、方向相反的力，力的作用線與桿的軸線重合，若兩端的兩個力向外，則是拉伸，向內(nèi)則是壓縮；

有一些桿受到兩個以上的軸向外力作用，仍屬于拉壓桿。二、變形特點桿件沿軸線方向伸長或縮短。§1-2拉伸和壓縮時的內(nèi)力

一、內(nèi)力的概念定義：所研究物體內(nèi)部一部分對另一部分之間的作用力。

特點二、軸力和軸力圖軸力:

作用線與桿件軸線重合的內(nèi)力。軸力背離截面時稱為軸向拉力，規(guī)定為正值，指向截面時稱為軸向壓力，規(guī)定為負值。同一截面兩側(cè)的軸力大小相等，符號相同。N'NPPPP軸力N(N')的符號為正N'NPPPP軸力N(N')的符號為負軸力圖:

在平面坐標(biāo)系用橫坐標(biāo)表示桿件橫截面位置，縱坐標(biāo)表示軸力大小，并標(biāo)明其符號的圖形。三、截面法1.概念：用任意一截面假想地把桿件截成兩個單元體，以顯示并確定內(nèi)力的方法。2.步驟截：欲求某一截面的軸力，就假想用一截面把桿截成兩個單元體，取其中的一個單元體為研究對象，移去另一個單元體；代：用軸力代替移去單元體對保留單元體的作用，一般假定其符號為正(即拉向軸力)；平：建立平衡方程，由已知外力確定未知軸力。

3.【例1-1】求桿的軸力并畫出軸力圖NABAPA=PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=P【解】1)根據(jù)載荷“突變”情況，采用截面法從左至右分段列平衡方程求各段的軸力:

AB段:

BC段:

NBCAPA=PBPB=2PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=PCD段:

DE段:APA=PBPB=2PCPC=4PNCDAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PNDE2)畫軸力圖:ABCDE+?+單元體上背離截面的外力在截面上產(chǎn)生正的軸力，指向截面的外力在截面上產(chǎn)生負的軸力;軸力的大小等于外力的大小;截面上總的軸力等于單元體上的所有外力單獨作用產(chǎn)生的軸力的代數(shù)和。P3PPP§1-3截面上的應(yīng)力

一、應(yīng)力的概念ΔAΔNΔTΔPσ

τ

p內(nèi)力在截面上的密集程度稱為應(yīng)力。即：將ΔP沿截面分解成法向內(nèi)力ΔN和切向內(nèi)力ΔT

。稱為正應(yīng)力，它垂直于截面，并規(guī)定拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負值。稱為剪應(yīng)力，并規(guī)定使單元體繞其上任一點順時針轉(zhuǎn)的為正，反之為負。σσ+σσ-ττ+ττ-PP單位：國際單位為帕[斯卡]，簡稱帕，用表示Pa。其常用單位有兆帕(MPa)、吉帕(GPa)等。換算關(guān)系：二、橫截面(與軸線垂直的截面)上的應(yīng)力取等截面直桿作拉伸實驗。

拉伸前:

ab、cd為直線且均垂直于軸線。abcda'b'c'd'拉伸后:a'b'、c'd'仍為直線且均垂直于軸線，a'b'與c'd'間距離變大，桿變細。

1)變形前的橫截面，變形后仍保持為垂直于桿軸的平面，即平面假設(shè)。2)任意兩橫截面間縱向纖維伸長量(或縮短量)是相等的，即應(yīng)力是均布的。故：PPabcd§1-4拉伸和壓縮時的變形

一、絕對變形和相對變形1.拉壓試驗引起桿件尺寸變化情況Pl1d1ldP拉伸試驗絕對變形PP壓縮試驗絕對變形2.相對變形(線應(yīng)變)——縱向線應(yīng)變，無量綱，拉伸為正，壓縮為負。

——橫向線應(yīng)變，無量綱，拉伸為負，壓縮為正。ldl1d13.泊松比μ

當(dāng)拉壓桿件的應(yīng)力不超過材料比例極限時，橫向線應(yīng)變ε'與縱向線應(yīng)變ε之比為一常數(shù)，其絕對值稱為泊松比，用μ表示。

即：或二、虎克定律即：構(gòu)件的應(yīng)力未超過材料的比例極限時，其應(yīng)力與應(yīng)變成正比。E—材料的彈性模量，與應(yīng)力量綱相同。虎克定律的另一表達式EA—構(gòu)件的抗拉(壓)剛度若構(gòu)件在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Ei、Ai、Ni為常數(shù)，則變形為若構(gòu)件E(x)、A(x)

、N(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則變形為：§1-5拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能

這里僅研究材料在常溫靜載下的機械性質(zhì)。

一、低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能1.標(biāo)距l(xiāng)0：試樣中段用于測量拉伸變形的部分。

2.試樣技術(shù)要求：對圓截面試樣要求其標(biāo)距滿足l0=10d0或l0=5d0

。l0d03.拉伸實驗圖ABσPσfOσε彈性階段ＯAＢ段特征：在OAB段任何處御除載荷后，曲線能沿原路返回。其中OA段為一直線，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例系數(shù)為彈性模量E，且E為直線OA的斜率；與A點對應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限，即是材料應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力。

應(yīng)力超過比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變不再成正比關(guān)系即AB段是微彎曲線。B點對應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限。

CDσs(不連續(xù))屈服階段BCDE段特征：在過B點至試樣斷裂的整個過程的任何地方卸除載荷后曲線均不能沿原路返回，只能沿與OA平行的直線返回。試樣表面將出現(xiàn)與軸線成45o左右的滑痕，材料發(fā)生永久變形稱為塑性應(yīng)變。如果此時再加載，曲線將沿與OA平行的直線上升至原卸載點。

過B點后變形增加較快而應(yīng)力增加不顯著，對應(yīng)于C點的應(yīng)力稱為上屈服點。過C點后不計初始瞬時效應(yīng)時的最低點D稱為下屈服點。從D點后曲線上將出現(xiàn)近乎水平的微小波動段。一般取D點對應(yīng)的應(yīng)力為屈服極限。ABσPσfOσεE強化階段EFG段特征：與彈性階段相比，應(yīng)力增加緩慢，變形增加較快，變形大部分屬于塑性變形，曲線最高點G對應(yīng)的應(yīng)力稱為強度極限。如果此時卸載，曲線將沿FO1下降，再加載，曲線將沿O1F上升，比例極限和塑性極限都將增大，該過程稱為冷作硬化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后可消除。

FGσbO1EABCDσPσfσsOσε局部變形(頸縮)階段GH段ABCDFEGσPσf

σsO1σbOσεHO2δ特征：過G點后，變形集中在試樣的薄弱地方，橫向尺寸急劇縮小，出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象，雖然曲線下降但由于橫截面尺寸較名義值變小，實驗證明頸縮截面上的實際應(yīng)力卻是一直在增加，最后沿橫截面斷裂。

此時的殘余應(yīng)變OO2(δ)稱為延伸率。4.延伸率δ與截面收縮率ψ

延伸率與截面收縮率反映材料塑性性能指標(biāo)。

延伸率l0——試件原來的標(biāo)距段長度。

l1——試件拉斷的標(biāo)距段長度。n——試樣標(biāo)距直徑比。截面收縮率A0——試件原來橫截面積。A1——試件斷裂后斷口處的橫截面積。一般稱δ≥5％的材料為塑性材料，如低合金鋼、碳素鋼、青銅等；δ<5％的為脆性材料，如鑄鐵、混凝土、石料等。二、其它材料拉伸時的力學(xué)性能

低合金鋼、碳素鋼、青銅等塑性材料，其σ-ε曲線特征

有明顯彈性階段，延伸率較大，沒有明顯屈服階段(即連續(xù)屈服)，直接由不太明顯的直線部分過渡到曲線部分。對這些沒有明顯屈服階段的塑性材料，國家標(biāo)準規(guī)定，取對應(yīng)試樣產(chǎn)生0.2℅塑性應(yīng)變時的應(yīng)力值作為屈服極限，稱為名義屈服極限。以σ0.2表示。σ0.20.2%σεO鑄鐵等脆性材料σ-ε曲線特征

無明顯屈服階段，也無頸縮現(xiàn)象，當(dāng)變形很小(σ僅為0.4%～0.5%)時就達到強度極限，試件沿橫截面斷裂。三、材料壓縮時的力學(xué)性能

金屬材料壓縮時試樣通常做成短圓柱形，其高度與直徑之比為1.5~3.0；混凝土、石料等一般做成立方體。低碳鋼等塑性材料壓縮時的力學(xué)性能

特征：應(yīng)力在屈服極限以內(nèi)時，與拉伸時得到的各種技術(shù)指標(biāo)完全相同。在屈服以后，試樣將產(chǎn)生顯著塑性變形，試樣愈壓愈扁，受壓面積不斷增大，抗壓能力繼續(xù)提高，無法測定其強度極限。Oεσ拉伸壓縮鑄鐵等脆性材料壓縮時的力學(xué)性能

特征：與拉伸時σ-ε曲線相似，有一定的塑性變形，在小變形時突然破壞，破壞截面大約成45o；強度極限與延伸率都比拉伸時大得多，是抗拉強度的4~5倍。Oεσσbtσbc*四、影響材料力學(xué)性能的主要原因

1.溫度

低碳鋼在短期靜載下機械性能總趨勢是隨溫度升高，σs(塑性極限)、σb(強度極限)和E都下降，而δ(延伸率)、ψ(截面收縮率)增加，說明材料強度降低而塑性增加，但在300℃以前反而增大而δ減小。在低溫情況下，碳鋼的σf(彈性極限)和σb(強度極限)都有提高，但延伸率則相應(yīng)降低。表明碳鋼在低溫下強度提高而塑性降低，傾向于變脆。2.工作時間

蠕變：載荷不變而變形隨時間不斷增加的現(xiàn)象。應(yīng)力松弛：總變形不變而應(yīng)力隨時間而降低的現(xiàn)象。3.加載速度

一般塑性材料，常溫下加載速度增加，σs、σb將增大而δ減小，塑性材料在低溫狀態(tài)下受沖擊載荷，就會變脆。§1-6拉伸和壓縮時的強度計算

即一、許用應(yīng)力和安全因數(shù)

1.極限應(yīng)力：構(gòu)件產(chǎn)生過大塑性變形或斷裂的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。用σu表示。對塑性材料：

σu=σs或σu=σ0.2

對脆性材料：σu=σb2.許用應(yīng)力：桿件拉伸或壓縮時允許達到的最大應(yīng)力，用[σ]表示，稱為許用正應(yīng)力。n>1——安全因數(shù)

對塑性材料：對脆性材料：ns、nb分別為按屈服極限和強度極限規(guī)定的安全因數(shù)，一般地ns<nb。*3.影響安全系數(shù)的因素確定安全系數(shù)一般應(yīng)考慮的因素:材料的均勻程度；載荷估計的準確性；計算方法方面的簡化和近似程度；構(gòu)件加工工藝，構(gòu)件工作條件；構(gòu)件的重要性。一般在常溫靜載情況下，塑性材料的安全系數(shù)ns=1.5~2.0，脆性材料安全系數(shù)nb=2.5~3.0。二、強度計算

1.強度條件:

σ——桿件橫截面上的工作應(yīng)力；N——橫截面上的軸力；A——橫截面面積；[σ]——材料的許用應(yīng)力。2.應(yīng)用

強度校核設(shè)計截面：最大工作應(yīng)力是否超過材料的許用應(yīng)力。求許可載荷：

3.例題

【例1-2】圖示等厚度直桿，BC段加工有一槽。已知：彈性模量E=200GPa，許用應(yīng)力[σ]=220MPa，l=200。尺寸單位為mm，力的單位為kN。1)作該桿的軸力圖；2)計算伸長量lAE；3)校核桿的強度?！窘狻?)根據(jù)桿上的載荷“突變”情況分段畫軸力圖：20

kN10

kNCDEAB+?10102010llllABCD103020E2)計算伸長量lAE

3)校核強度因故該桿安全。【例1-3】圖示結(jié)構(gòu)中，圓桿AB直徑dAB=30mm，許用應(yīng)力[σAB]=120MPa，圓桿BC直徑dBC=20mm，許用應(yīng)力[σBC]=160MPa，不考慮結(jié)構(gòu)自重。(1)求其所能承受的最大載荷W？(2)若載荷的最大值W=100kN，求兩桿的最小直徑?！窘狻?)設(shè)AB桿、BC桿的內(nèi)力如圖示。ABC60°WNBC60°WNAB2)AB桿、BC桿能承受的最大載荷：故最大載荷為73.5kN。3)AB桿、BC桿的最小直徑：【例1-4】圖示蒸氣機氣缸內(nèi)徑D=560mm，蒸汽壓力p=2.5MPa，活塞桿直徑d=100mm，許用應(yīng)力[σ]=76MPa。氣缸和缸蓋用螺栓連接，螺栓內(nèi)徑d1=30mm，許用應(yīng)力[σt]=60MPa。校核活塞桿強度并計算缸蓋所需螺栓個數(shù)n。Dppd1d【解】1)校核活塞桿強度DdppN活塞桿的工作應(yīng)力為：2)計算螺栓個數(shù)n

螺栓在工作中受拉伸，總拉力等于氣缸蓋所受的總推力P，則每個螺栓的軸力。由螺栓的強度條件得：ppd1dDN1【例1-5】圖示均質(zhì)正圓錐臺密度為ρ，高為h，上、下底面直徑分別為d、D。寫出其在自重作用下的軸力、應(yīng)力和變形公式。xdxhdxN(x)N(x)+d

N(x)【解】取單元體作受力分析設(shè)x橫截面變形為Δ(x)，(x+dx)橫截面變形為:Δ(x)+d(Δ(x))由線應(yīng)變的定義得：由虎克定律得：dxΔ(x)Δ(x)+d(Δ(x))§1-7拉伸和壓縮超靜定問題

一、相關(guān)概念

靜定問題：

能用靜力平衡方程完全求解的問題。超靜定問題：未知力個數(shù)多于獨立的靜力平衡方程數(shù)目，僅僅根據(jù)平衡方程尚不能全部求解的問題。超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與獨立方程個數(shù)之差。該差為一則為一次超靜定，為二則為二次超靜定等。二、超靜定問題的解法

平衡方程：靜力學(xué)平衡方程；物理方程：變形與內(nèi)力等的關(guān)系；變形協(xié)調(diào)方程：指保持結(jié)構(gòu)連續(xù)的變形幾何條件。這是重點和難點?！纠?-6】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，桿3的抗拉剛度為E3A3，求各桿件的內(nèi)力?！窘狻?)以節(jié)點O'為研究對象。2)物理方程。3)變形協(xié)調(diào)方程。4)求解。Δl3123ααOPΔl1PO'θθδΔlll由所求結(jié)果知：超靜定問題中桿件內(nèi)力(或構(gòu)件約束反力)不僅與載荷有關(guān)，還與桿件的抗拉(壓)剛度有關(guān)?！纠?-7】已知桿AB、AC、DE的長度為LAB、LAC、LDE，桿AB、AC的抗拉剛度為EABAAB、EACAAC。求桿AB、AC的內(nèi)力。A【解】1)靜力平衡方程。NABPECBβαDFDxFDy2)物理方程。3)變形協(xié)調(diào)方程。4)解方程得：DBCEB’C’E’AαβNAC三、裝配應(yīng)力、溫度應(yīng)力裝配應(yīng)力

在超靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件由于制造的幾何誤差，裝配成結(jié)構(gòu)后雖然未承受外載荷，但在各構(gòu)件中也存在內(nèi)力。這種內(nèi)力引起的應(yīng)力稱裝配應(yīng)力。計算裝配應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程?！纠?-8】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，桿3的抗拉剛度為E3A3，制造誤差為Δ。求各桿裝配內(nèi)力。ααO'13O0O2Δl1Δl3Δ【解】1)以節(jié)點O'為研究對象，建立方程：2)物理方程。3)變形協(xié)調(diào)方程。4)求解。【思考】裝配好后若在O'點垂直向下作用一力P，該如何求各桿件的內(nèi)力？【答】令平衡方程右邊等于P即可。ααO'13O0O2Δl1Δl3Δ溫度應(yīng)力在超靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件的長度互相牽制，不能自由收縮，因此溫度變化將導(dǎo)致各構(gòu)件的長度的變化，使得構(gòu)件產(chǎn)生內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為溫度內(nèi)力。由溫度內(nèi)力引起的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。計算溫度應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程和寫出正確的物理方程?！纠?-9】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，線膨脹系數(shù)為α1=α2，桿3的抗拉剛度為E3A3，線膨脹系數(shù)為α3。設(shè)升溫為ΔT，求各桿的溫度內(nèi)力。Δl3123ααOΔl1O'【解】1)以節(jié)點O'為研究對象，建立靜力平衡方程：Δl3123ααOΔl1O'2)物理方程。設(shè)二力桿1、桿2受壓，桿3受拉，則變形滿足：——由溫度升高和壓縮內(nèi)力引起的變形——由溫度升高和拉伸內(nèi)力引起的變形3)變形協(xié)調(diào)方程。4)求解。桿1、桿2受壓，桿3受拉的假定成立與否由的符號確定?！舅伎肌咳粼贠'點垂直向下作用一力P，該如何求各桿件的內(nèi)力？【答】令平衡方程右邊等于P即可。【思