第一章軸向拉伸和壓縮

第一章軸向拉伸和壓縮§1-1工程實(shí)際中的軸向拉伸和壓縮問(wèn)題§1-2拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力§1-3截面上的應(yīng)力§1-4拉伸和壓縮時(shí)的變形§1-5拉伸和壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能§1-6拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算§1-7拉伸和壓縮超靜定問(wèn)題§1-8應(yīng)力集中的概念§1-9變形能的概念§1-1工程實(shí)際中的軸向拉伸和壓縮問(wèn)題

拉伸或壓縮桿件大多數(shù)是等截面直桿，其特點(diǎn)是：

一、受力特點(diǎn)在桿兩端受一對(duì)大小相等、方向相反的力，力的作用線與桿的軸線重合，若兩端的兩個(gè)力向外，則是拉伸，向內(nèi)則是壓縮；

有一些桿受到兩個(gè)以上的軸向外力作用，仍屬于拉壓桿。二、變形特點(diǎn)桿件沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短?！?-2拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力

一、內(nèi)力的概念定義：所研究物體內(nèi)部一部分對(duì)另一部分之間的作用力。

特點(diǎn)二、軸力和軸力圖軸力:

作用線與桿件軸線重合的內(nèi)力。軸力背離截面時(shí)稱為軸向拉力，規(guī)定為正值，指向截面時(shí)稱為軸向壓力，規(guī)定為負(fù)值。同一截面兩側(cè)的軸力大小相等，符號(hào)相同。N'NPPPP軸力N(N')的符號(hào)為正N'NPPPP軸力N(N')的符號(hào)為負(fù)軸力圖:

在平面坐標(biāo)系用橫坐標(biāo)表示桿件橫截面位置，縱坐標(biāo)表示軸力大小，并標(biāo)明其符號(hào)的圖形。三、截面法1.概念：用任意一截面假想地把桿件截成兩個(gè)單元體，以顯示并確定內(nèi)力的方法。2.步驟截：欲求某一截面的軸力，就假想用一截面把桿截成兩個(gè)單元體，取其中的一個(gè)單元體為研究對(duì)象，移去另一個(gè)單元體；代：用軸力代替移去單元體對(duì)保留單元體的作用，一般假定其符號(hào)為正(即拉向軸力)；平：建立平衡方程，由已知外力確定未知軸力。

3.【例1-1】求桿的軸力并畫(huà)出軸力圖NABAPA=PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=P【解】1)根據(jù)載荷“突變”情況，采用截面法從左至右分段列平衡方程求各段的軸力:

AB段:

BC段:

NBCAPA=PBPB=2PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=PCD段:

DE段:APA=PBPB=2PCPC=4PNCDAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PNDE2)畫(huà)軸力圖:ABCDE+?+單元體上背離截面的外力在截面上產(chǎn)生正的軸力，指向截面的外力在截面上產(chǎn)生負(fù)的軸力;軸力的大小等于外力的大小;截面上總的軸力等于單元體上的所有外力單獨(dú)作用產(chǎn)生的軸力的代數(shù)和。P3PPP§1-3截面上的應(yīng)力

一、應(yīng)力的概念ΔAΔNΔTΔPσ

τ

p內(nèi)力在截面上的密集程度稱為應(yīng)力。即：將ΔP沿截面分解成法向內(nèi)力ΔN和切向內(nèi)力ΔT

。稱為正應(yīng)力，它垂直于截面，并規(guī)定拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負(fù)值。稱為剪應(yīng)力，并規(guī)定使單元體繞其上任一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)的為正，反之為負(fù)。σσ+σσ-ττ+ττ-PP單位：國(guó)際單位為帕[斯卡]，簡(jiǎn)稱帕，用表示Pa。其常用單位有兆帕(MPa)、吉帕(GPa)等。換算關(guān)系：二、橫截面(與軸線垂直的截面)上的應(yīng)力取等截面直桿作拉伸實(shí)驗(yàn)。

拉伸前:

ab、cd為直線且均垂直于軸線。abcda'b'c'd'拉伸后:a'b'、c'd'仍為直線且均垂直于軸線，a'b'與c'd'間距離變大，桿變細(xì)。

1)變形前的橫截面，變形后仍保持為垂直于桿軸的平面，即平面假設(shè)。2)任意兩橫截面間縱向纖維伸長(zhǎng)量(或縮短量)是相等的，即應(yīng)力是均布的。故：PPabcd§1-4拉伸和壓縮時(shí)的變形

一、絕對(duì)變形和相對(duì)變形1.拉壓試驗(yàn)引起桿件尺寸變化情況Pl1d1ldP拉伸試驗(yàn)絕對(duì)變形PP壓縮試驗(yàn)絕對(duì)變形2.相對(duì)變形(線應(yīng)變)——縱向線應(yīng)變，無(wú)量綱，拉伸為正，壓縮為負(fù)。

——橫向線應(yīng)變，無(wú)量綱，拉伸為負(fù)，壓縮為正。ldl1d13.泊松比μ

當(dāng)拉壓桿件的應(yīng)力不超過(guò)材料比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變?chǔ)?與縱向線應(yīng)變?chǔ)胖葹橐怀?shù)，其絕對(duì)值稱為泊松比，用μ表示。

即：或二、虎克定律即：構(gòu)件的應(yīng)力未超過(guò)材料的比例極限時(shí)，其應(yīng)力與應(yīng)變成正比。E—材料的彈性模量，與應(yīng)力量綱相同?；⒖硕傻牧硪槐磉_(dá)式EA—構(gòu)件的抗拉(壓)剛度若構(gòu)件在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Ei、Ai、Ni為常數(shù)，則變形為若構(gòu)件E(x)、A(x)

、N(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則變形為：§1-5拉伸和壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

這里僅研究材料在常溫靜載下的機(jī)械性質(zhì)。

一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能1.標(biāo)距l(xiāng)0：試樣中段用于測(cè)量拉伸變形的部分。

2.試樣技術(shù)要求：對(duì)圓截面試樣要求其標(biāo)距滿足l0=10d0或l0=5d0

。l0d03.拉伸實(shí)驗(yàn)圖ABσPσfOσε彈性階段ＯAＢ段特征：在OAB段任何處御除載荷后，曲線能沿原路返回。其中OA段為一直線，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例系數(shù)為彈性模量E，且E為直線OA的斜率；與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限，即是材料應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力。

應(yīng)力超過(guò)比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變不再成正比關(guān)系即AB段是微彎曲線。B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限。

CDσs(不連續(xù))屈服階段BCDE段特征：在過(guò)B點(diǎn)至試樣斷裂的整個(gè)過(guò)程的任何地方卸除載荷后曲線均不能沿原路返回，只能沿與OA平行的直線返回。試樣表面將出現(xiàn)與軸線成45o左右的滑痕，材料發(fā)生永久變形稱為塑性應(yīng)變。如果此時(shí)再加載，曲線將沿與OA平行的直線上升至原卸載點(diǎn)。

過(guò)B點(diǎn)后變形增加較快而應(yīng)力增加不顯著，對(duì)應(yīng)于C點(diǎn)的應(yīng)力稱為上屈服點(diǎn)。過(guò)C點(diǎn)后不計(jì)初始瞬時(shí)效應(yīng)時(shí)的最低點(diǎn)D稱為下屈服點(diǎn)。從D點(diǎn)后曲線上將出現(xiàn)近乎水平的微小波動(dòng)段。一般取D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為屈服極限。ABσPσfOσεE強(qiáng)化階段EFG段特征：與彈性階段相比，應(yīng)力增加緩慢，變形增加較快，變形大部分屬于塑性變形，曲線最高點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為強(qiáng)度極限。如果此時(shí)卸載，曲線將沿FO1下降，再加載，曲線將沿O1F上升，比例極限和塑性極限都將增大，該過(guò)程稱為冷作硬化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后可消除。

FGσbO1EABCDσPσfσsOσε局部變形(頸縮)階段GH段ABCDFEGσPσf

σsO1σbOσεHO2δ特征：過(guò)G點(diǎn)后，變形集中在試樣的薄弱地方，橫向尺寸急劇縮小，出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象，雖然曲線下降但由于橫截面尺寸較名義值變小，實(shí)驗(yàn)證明頸縮截面上的實(shí)際應(yīng)力卻是一直在增加，最后沿橫截面斷裂。

此時(shí)的殘余應(yīng)變OO2(δ)稱為延伸率。4.延伸率δ與截面收縮率ψ

延伸率與截面收縮率反映材料塑性性能指標(biāo)。

延伸率l0——試件原來(lái)的標(biāo)距段長(zhǎng)度。

l1——試件拉斷的標(biāo)距段長(zhǎng)度。n——試樣標(biāo)距直徑比。截面收縮率A0——試件原來(lái)橫截面積。A1——試件斷裂后斷口處的橫截面積。一般稱δ≥5％的材料為塑性材料，如低合金鋼、碳素鋼、青銅等；δ<5％的為脆性材料，如鑄鐵、混凝土、石料等。二、其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

低合金鋼、碳素鋼、青銅等塑性材料，其σ-ε曲線特征

有明顯彈性階段，延伸率較大，沒(méi)有明顯屈服階段(即連續(xù)屈服)，直接由不太明顯的直線部分過(guò)渡到曲線部分。對(duì)這些沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，取對(duì)應(yīng)試樣產(chǎn)生0.2℅塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值作為屈服極限，稱為名義屈服極限。以σ0.2表示。σ0.20.2%σεO鑄鐵等脆性材料σ-ε曲線特征

無(wú)明顯屈服階段，也無(wú)頸縮現(xiàn)象，當(dāng)變形很小(σ僅為0.4%～0.5%)時(shí)就達(dá)到強(qiáng)度極限，試件沿橫截面斷裂。三、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能

金屬材料壓縮時(shí)試樣通常做成短圓柱形，其高度與直徑之比為1.5~3.0；混凝土、石料等一般做成立方體。低碳鋼等塑性材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能

特征：應(yīng)力在屈服極限以內(nèi)時(shí)，與拉伸時(shí)得到的各種技術(shù)指標(biāo)完全相同。在屈服以后，試樣將產(chǎn)生顯著塑性變形，試樣愈壓愈扁，受壓面積不斷增大，抗壓能力繼續(xù)提高，無(wú)法測(cè)定其強(qiáng)度極限。Oεσ拉伸壓縮鑄鐵等脆性材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能

特征：與拉伸時(shí)σ-ε曲線相似，有一定的塑性變形，在小變形時(shí)突然破壞，破壞截面大約成45o；強(qiáng)度極限與延伸率都比拉伸時(shí)大得多，是抗拉強(qiáng)度的4~5倍。Oεσσbtσbc*四、影響材料力學(xué)性能的主要原因

1.溫度

低碳鋼在短期靜載下機(jī)械性能總趨勢(shì)是隨溫度升高，σs(塑性極限)、σb(強(qiáng)度極限)和E都下降，而δ(延伸率)、ψ(截面收縮率)增加，說(shuō)明材料強(qiáng)度降低而塑性增加，但在300℃以前反而增大而δ減小。在低溫情況下，碳鋼的σf(彈性極限)和σb(強(qiáng)度極限)都有提高，但延伸率則相應(yīng)降低。表明碳鋼在低溫下強(qiáng)度提高而塑性降低，傾向于變脆。2.工作時(shí)間

蠕變：載荷不變而變形隨時(shí)間不斷增加的現(xiàn)象。應(yīng)力松弛：總變形不變而應(yīng)力隨時(shí)間而降低的現(xiàn)象。3.加載速度

一般塑性材料，常溫下加載速度增加，σs、σb將增大而δ減小，塑性材料在低溫狀態(tài)下受沖擊載荷，就會(huì)變脆。§1-6拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

即一、許用應(yīng)力和安全因數(shù)

1.極限應(yīng)力：構(gòu)件產(chǎn)生過(guò)大塑性變形或斷裂的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。用σu表示。對(duì)塑性材料：

σu=σs或σu=σ0.2

對(duì)脆性材料：σu=σb2.許用應(yīng)力：桿件拉伸或壓縮時(shí)允許達(dá)到的最大應(yīng)力，用[σ]表示，稱為許用正應(yīng)力。n>1——安全因數(shù)

對(duì)塑性材料：對(duì)脆性材料：ns、nb分別為按屈服極限和強(qiáng)度極限規(guī)定的安全因數(shù)，一般地ns<nb。*3.影響安全系數(shù)的因素確定安全系數(shù)一般應(yīng)考慮的因素:材料的均勻程度；載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性；計(jì)算方法方面的簡(jiǎn)化和近似程度；構(gòu)件加工工藝，構(gòu)件工作條件；構(gòu)件的重要性。一般在常溫靜載情況下，塑性材料的安全系數(shù)ns=1.5~2.0，脆性材料安全系數(shù)nb=2.5~3.0。二、強(qiáng)度計(jì)算

1.強(qiáng)度條件:

σ——桿件橫截面上的工作應(yīng)力；N——橫截面上的軸力；A——橫截面面積；[σ]——材料的許用應(yīng)力。2.應(yīng)用

強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面：最大工作應(yīng)力是否超過(guò)材料的許用應(yīng)力。求許可載荷：

3.例題

【例1-2】圖示等厚度直桿，BC段加工有一槽。已知：彈性模量E=200GPa，許用應(yīng)力[σ]=220MPa，l=200。尺寸單位為mm，力的單位為kN。1)作該桿的軸力圖；2)計(jì)算伸長(zhǎng)量lAE；3)校核桿的強(qiáng)度?！窘狻?)根據(jù)桿上的載荷“突變”情況分段畫(huà)軸力圖：20

kN10

kNCDEAB+?10102010llllABCD103020E2)計(jì)算伸長(zhǎng)量lAE

3)校核強(qiáng)度因故該桿安全。【例1-3】圖示結(jié)構(gòu)中，圓桿AB直徑dAB=30mm，許用應(yīng)力[σAB]=120MPa，圓桿BC直徑dBC=20mm，許用應(yīng)力[σBC]=160MPa，不考慮結(jié)構(gòu)自重。(1)求其所能承受的最大載荷W？(2)若載荷的最大值W=100kN，求兩桿的最小直徑。【解】1)設(shè)AB桿、BC桿的內(nèi)力如圖示。ABC60°WNBC60°WNAB2)AB桿、BC桿能承受的最大載荷：故最大載荷為73.5kN。3)AB桿、BC桿的最小直徑：【例1-4】圖示蒸氣機(jī)氣缸內(nèi)徑D=560mm，蒸汽壓力p=2.5MPa，活塞桿直徑d=100mm，許用應(yīng)力[σ]=76MPa。氣缸和缸蓋用螺栓連接，螺栓內(nèi)徑d1=30mm，許用應(yīng)力[σt]=60MPa。校核活塞桿強(qiáng)度并計(jì)算缸蓋所需螺栓個(gè)數(shù)n。Dppd1d【解】1)校核活塞桿強(qiáng)度DdppN活塞桿的工作應(yīng)力為：2)計(jì)算螺栓個(gè)數(shù)n

螺栓在工作中受拉伸，總拉力等于氣缸蓋所受的總推力P，則每個(gè)螺栓的軸力。由螺栓的強(qiáng)度條件得：ppd1dDN1【例1-5】圖示均質(zhì)正圓錐臺(tái)密度為ρ，高為h，上、下底面直徑分別為d、D。寫(xiě)出其在自重作用下的軸力、應(yīng)力和變形公式。xdxhdxN(x)N(x)+d

N(x)【解】取單元體作受力分析設(shè)x橫截面變形為Δ(x)，(x+dx)橫截面變形為:Δ(x)+d(Δ(x))由線應(yīng)變的定義得：由虎克定律得：dxΔ(x)Δ(x)+d(Δ(x))§1-7拉伸和壓縮超靜定問(wèn)題

一、相關(guān)概念

靜定問(wèn)題：

能用靜力平衡方程完全求解的問(wèn)題。超靜定問(wèn)題：未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)目，僅僅根據(jù)平衡方程尚不能全部求解的問(wèn)題。超靜定次數(shù)：未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立方程個(gè)數(shù)之差。該差為一則為一次超靜定，為二則為二次超靜定等。二、超靜定問(wèn)題的解法

平衡方程：靜力學(xué)平衡方程；物理方程：變形與內(nèi)力等的關(guān)系；變形協(xié)調(diào)方程：指保持結(jié)構(gòu)連續(xù)的變形幾何條件。這是重點(diǎn)和難點(diǎn)。【例1-6】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，桿3的抗拉剛度為E3A3，求各桿件的內(nèi)力?！窘狻?)以節(jié)點(diǎn)O'為研究對(duì)象。2)物理方程。3)變形協(xié)調(diào)方程。4)求解。Δl3123ααOPΔl1PO'θθδΔlll由所求結(jié)果知：超靜定問(wèn)題中桿件內(nèi)力(或構(gòu)件約束反力)不僅與載荷有關(guān)，還與桿件的抗拉(壓)剛度有關(guān)?！纠?-7】已知桿AB、AC、DE的長(zhǎng)度為L(zhǎng)AB、LAC、LDE，桿AB、AC的抗拉剛度為EABAAB、EACAAC。求桿AB、AC的內(nèi)力。A【解】1)靜力平衡方程。NABPECBβαDFDxFDy2)物理方程。3)變形協(xié)調(diào)方程。4)解方程得：DBCEB’C’E’AαβNAC三、裝配應(yīng)力、溫度應(yīng)力裝配應(yīng)力

在超靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件由于制造的幾何誤差，裝配成結(jié)構(gòu)后雖然未承受外載荷，但在各構(gòu)件中也存在內(nèi)力。這種內(nèi)力引起的應(yīng)力稱裝配應(yīng)力。計(jì)算裝配應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程?！纠?-8】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，桿3的抗拉剛度為E3A3，制造誤差為Δ。求各桿裝配內(nèi)力。ααO'13O0O2Δl1Δl3Δ【解】1)以節(jié)點(diǎn)O'為研究對(duì)象，建立方程：2)物理方程。3)變形協(xié)調(diào)方程。4)求解?！舅伎肌垦b配好后若在O'點(diǎn)垂直向下作用一力P，該如何求各桿件的內(nèi)力？【答】令平衡方程右邊等于P即可。ααO'13O0O2Δl1Δl3Δ溫度應(yīng)力在超靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件的長(zhǎng)度互相牽制，不能自由收縮，因此溫度變化將導(dǎo)致各構(gòu)件的長(zhǎng)度的變化，使得構(gòu)件產(chǎn)生內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為溫度內(nèi)力。由溫度內(nèi)力引起的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。計(jì)算溫度應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程和寫(xiě)出正確的物理方程?！纠?-9】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，線膨脹系數(shù)為α1=α2，桿3的抗拉剛度為E3A3，線膨脹系數(shù)為α3。設(shè)升溫為ΔT，求各桿的溫度內(nèi)力。Δl3123ααOΔl1O'【解】1)以節(jié)點(diǎn)O'為研究對(duì)象，建立靜力平衡方程：Δl3123ααOΔl1O'2)物理方程。設(shè)二力桿1、桿2受壓，桿3受拉，則變形滿足：——由溫度升高和壓縮內(nèi)力引起的變形——由溫度升高和拉伸內(nèi)力引起的變形3)變形協(xié)調(diào)方程。4)求解。桿1、桿2受壓，桿3受拉的假定成立與否由的符號(hào)確定。【思考】若在O'點(diǎn)垂直向下作用一力P，該如何求各桿件的內(nèi)力？【答】令平衡方程右邊等于P即可?！舅?/p>