高中數(shù)學人教A版第四章圓和方程章末綜合測評2

章末綜合測評(二)點、直線、平面之間的位置關(guān)系(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若a，b是異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．異面或相交【解析】根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系和公理4可知c與b異面或相交，但不可能平行．【答案】D2．下列說法不正確的是()A．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B．同一平面的兩條垂線一定共面C．過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內(nèi)D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直【解析】A、B、C顯然正確．易知過一條直線有無數(shù)個平面與已知平面垂直．選D.【答案】D3．(2023·太原高二檢測)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面【解析】對于A，通過常見的圖形正方體判斷，從同一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，故A錯；對于B，因為l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因為l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B對；對于C，例如三棱柱中的三側(cè)棱平行，但不共面，故C錯；對于D，例如三棱錐的三側(cè)棱共點，但不共面，故D錯．故選B.【答案】B4．設(shè)a、b為兩條直線，α、β為兩個平面，則正確的命題是()【導(dǎo)學號：09960089】A．若a、b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b【解析】A中，a、b可以平行、相交或異面；B中，a、b可以平行或異面；C中，α、β可以平行或相交．【答案】D5．(2023·山西山大附中高二檢測)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點，則異面直線EF與圖1A．45° B．60°C．90° D．120°【解析】如圖，連接A1B、BC1、A1C1，則A1B＝BC1＝A1C且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于60°.【答案】B6．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【解析】選項A，平行于同一條直線的兩個平面也可能相交，故選項A錯誤；選項B，垂直于同一直線的兩個平面互相平行，選項B正確；選項C，由條件應(yīng)得α⊥β，故選項C錯誤；選項D，l與β的位置不確定，故選項D錯誤．故選B.【答案】B7．(2023·洛陽高一檢測)如圖2，△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列說法中錯誤的是()圖2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由題可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD與△ADC均為以D為直角頂點的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝eq\f(\r(2),2)AB.又∠BAC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，故BC＝AB＝eq\r(2)BD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.所以A、B、C項均正確．選D.【答案】D8．正四棱錐(頂點在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12，底面對角線的長為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角為()A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】由棱錐體積公式可得底面邊長為2eq\r(3)，高為3，在底面正方形的任一邊上，取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因為tanθ＝eq\r(3)(設(shè)θ為所求平面角)，所以二面角為60°，選C.【答案】C9．將正方形ABCD沿BD折成直二面角，M為CD的中點，則∠AMD的大小是()A．45° B．30°C．60° D．90°【解析】如圖，設(shè)正方形邊長為a，作AO⊥BD，則AM＝eq\r(AO2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a，又AD＝a，DM＝eq\f(a,2)，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.【答案】D10．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，則點P到對角線BD的距離為()\f(\r(29),2) \f(13,5)\f(17,5) \f(\r(119),5)【解析】如圖，過點A作AE⊥BD于點E，連接PE.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.∵AE＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，PA＝1，∴PE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).【答案】B11．(2023·大連高一檢測)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()【導(dǎo)學號：09960090】A．75° B．60°C．45° D．30°【解析】如圖所示，P為正三角形A1B1C1的中心，設(shè)O為△ABC的中心，由題意知：PO⊥平面ABC，連接OA，則∠PAO即為PA與平面ABC在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，則S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，VABC-A1B1C1＝S×PO＝eq\f(9,4)，∴PO＝eq\r(3).又AO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1，∴tan∠PAO＝eq\f(PO,AO)＝eq\r(3)，∴∠PAO＝60°.【答案】B12．正方體ABCD-A1B1C1D1中，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點HA．點H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延長線經(jīng)過點C1D．直線AH和BB1所成的角為45°【解析】因為AH⊥平面A1BD，BD?平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H?平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可證BH⊥A1D，所以點H是△A1BD的垂心，A正確．因為平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正確．易證AC1⊥平面A1BD.因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正確．因為AA1∥BB1，所以∠A1AH為直線AH和BB1所成的角．因為∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D錯誤．【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．設(shè)平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于點S，且點S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________.【解析】由面面平行的性質(zhì)得AC∥BD，eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，解得SD＝9.【答案】914．如圖3，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點，當點E滿足條件：________時，SC∥平面EBD.圖3【解析】當E是SA的中點時，連接EB，ED，AC.設(shè)AC與BD的交點為O，連接EO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點O是AC的中點．又E是SA的中點，∴OE是△SAC的中位線．∴OE∥SC.∵SC?平面EBD，OE?平面EBD，∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中點15．如圖4所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN圖4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN?平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝∴MN⊥平面MB1C1，又MC1?平面MB1C∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°16．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點E、F分別是棱PC、PD的中點，則①棱AB與PD所在直線垂直；②平面PBC與平面ABCD垂直；③△PCD的面積大于△PAB的面積；④直線AE與直線BF是異面直線．以上結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)【解析】由條件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正確；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，從而PA∥PB，這是不可能的，故②錯；S△PCD＝eq\f(1,2)CD·PD，S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正確；由E、F分別是棱PC、PD的中點，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE與BF共面，④錯．【答案】①③三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求證：AD⊥平面SBC.圖5【證明】∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.18．(本小題滿分12分)如圖6，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點D是AB圖6(1)求證：AC⊥B1C(2)求證：AC1∥平面CDB1.【證明】(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1而B1C?平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)連接BC1交B1C于O點，連接OD.如圖，∵O，D分別為BC1，AB的中點，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB119．(本小題滿分12分)(2023·德州高一檢測)某幾何體的三視圖如圖7所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．(1)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；(2)在直觀圖中，①證明：PD∥面AGC；②證明：面PBD⊥面AGC.圖7【解】(1)該幾何體的直觀圖如圖所示：(2)證明：①連接AC，BD交于點O，連接OG，因為G為PB的中點，O為BD的中點，所以O(shè)G∥PD.②連接PO，由三視圖知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因為AO?平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.20．(本小題滿分12分)(2023·濟寧高一檢測)如圖8，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.圖8(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.【導(dǎo)學號：09960091】【證明】(1)如圖，設(shè)AC與BD交于點G.因為EF∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f(1,2)AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG.因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG＝1，∴四邊形CEFG為平行四邊形，又∵CE＝EF＝1，∴?CEFG為菱形，∴EG⊥CF.在正方形ABCD中，AC⊥BD.∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，∴BD⊥平面CEFG.∴BD⊥CF.又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE.21．(本小題滿分12分)(2023·山東高考)如圖9，三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．圖9(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.【解】(1)證法一：連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則M為CD的中點．又H為BC的中點，所以MH∥BD.又MH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺DEF-ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)連接HE.因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四邊形EFCH是平行四邊形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC