第六章 抽樣分布及總體平均數(shù)估計(jì)

第六章

抽樣分布及總體平均數(shù)的推斷一抽樣分布與平均數(shù)抽樣分布1、三種不同性質(zhì)的分布及抽樣分布

總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布；

樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布；

抽樣分布：某一統(tǒng)計(jì)量的概率分布。例：將某市600名學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的分?jǐn)?shù)作為一個(gè)總體，600個(gè)考分的頻數(shù)分布是總體分布。若從中隨機(jī)抽取40個(gè)考分作為樣本，這40個(gè)考分的頻數(shù)分布是樣本分布。若對所抽取的40個(gè)考分計(jì)算其平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差（方差）后還回總體中去，再隨機(jī)抽40個(gè)考分并計(jì)算其平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差（方差）。反復(fù)抽下去，將獲得一個(gè)n=40的一切可能個(gè)樣本的平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差（方差），若將這一切可能個(gè)樣本的平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差（方差）分別進(jìn)行頻數(shù)分布，就形成一個(gè)平均數(shù)抽樣分布或標(biāo)準(zhǔn)差抽樣分布。一抽樣分布與平均數(shù)抽樣分布2、平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理（1）從總體中隨機(jī)抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根。（3）從服從正態(tài)分布的總體中，隨機(jī)抽取的容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。（4）若總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體μ和σ的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。

對上述定理的理解：1）反映了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)；2）表達(dá)了平均數(shù)抽樣分布的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與總體平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系；3）抽樣分布是統(tǒng)計(jì)推論的理論依據(jù)；4）標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越近。一抽樣分布與平均數(shù)抽樣分布3、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差的形態(tài)（1）總體方差已知總體正態(tài)，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈Z分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）；總體非正態(tài)，但滿足n>30這一條件，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量近似Z分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）。一抽樣分布與平均數(shù)抽樣分布3、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差的形態(tài)（2）總體方差未知總體正態(tài)，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布；

總體非正態(tài)，但滿足n>30這一條件，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量近似t分布。t分布

t分布（t-distribution)是統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用較多的一種隨機(jī)變量函數(shù)的分布，是統(tǒng)計(jì)學(xué)者高賽特1908年以筆名“Student”發(fā)表的論文中推導(dǎo)出來的一種分布，又叫學(xué)生氏分布。這種分布是一種左右對稱，峰態(tài)比較高狹，分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一組分布。t分布與σ無關(guān)，而與n-1有關(guān)，t分布的自由度用df

表示，一般為n-1，即樣本容量減1。自由度（degreeoffreedom）是指任何變量中可以自由變化的數(shù)目，它代表任何變量中可以自由變化的數(shù)目。t分布t分布分布特點(diǎn)：平均值為0。以平均值0左右對稱的分布左側(cè)t為負(fù)值，右側(cè)t為正值。變量取值在－∞~+∞之間。當(dāng)樣本容量趨于∞時(shí)，t分布為正態(tài)分布，方差為1；當(dāng)n-1>30以上時(shí)，接近正態(tài)分布，方差大于1，隨n-1的增大而方差漸趨于1；當(dāng)n-1<30時(shí)，t分布與正態(tài)分布相差較大，隨n-1減少，離散程度（方差）越大，分布圖中間變低尾部變高。二總體平均數(shù)的估計(jì)引言：何謂參數(shù)估計(jì)？

當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過這組信息，對總體特征進(jìn)行估計(jì)，也就是從局部結(jié)果推論總體的情況，稱為總體參數(shù)估計(jì)?？傮w參數(shù)大都未知，要對它進(jìn)行估計(jì)，就需要前述的抽樣分布理論進(jìn)行推論?？傮w參數(shù)估計(jì)問題分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。對參數(shù)模型下的估計(jì)稱為參數(shù)估計(jì)，對非參數(shù)模型下的估計(jì)稱為非參數(shù)估計(jì)。二總體平均數(shù)的估計(jì)1、總體參數(shù)估計(jì)的基本原理（1）點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）

用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)的結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示，所以稱為點(diǎn)估計(jì)。例如，對總體平均數(shù)的估計(jì)可以用樣本平均數(shù)，當(dāng)已知一個(gè)樣本的觀測值時(shí)，就可得到總體參數(shù)的估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的估計(jì)值。

從某市某年高三會考語文成績中隨機(jī)抽取550個(gè)考分，算出=62分，則這62分就是全市11000個(gè)考生語文成績平均分?jǐn)?shù)的估計(jì)值。

二總體平均數(shù)的估計(jì)（2）良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性

用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)一定會有誤差，好的統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該是一個(gè)無偏估計(jì)量，即用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為0。如果用某個(gè)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體的誤差平均數(shù)大于或小于0，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量就是有偏的估計(jì)量。例如，用樣本平均數(shù)作為總體μ的估計(jì)值，就具有無偏性，因?yàn)闊o限多個(gè)樣本的平均值與μ的偏差之和為零。二總體平均數(shù)的估計(jì)（2）良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)有效性

當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好（minimumvariance）。一致性

當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值應(yīng)能夠越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)，估計(jì)值越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)，估計(jì)值越來愈精確，逐漸趨近于真值。即當(dāng)N∞時(shí)，x的平均值μ，

二總體平均數(shù)的估計(jì)（3）區(qū)間估計(jì)（interval

estimation)

根據(jù)估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍，用數(shù)軸上一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍，雖不具體指出總體參數(shù)等于什么，但能指出未知總體參數(shù)落入某一區(qū)間的概率有多大。（4）置信區(qū)間（confidence

interval）

是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度，也稱置信間距。置信區(qū)間的上下二端點(diǎn)值稱為置信界限。二總體平均數(shù)的估計(jì)（5）顯著性水平（significance

level）

是指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間，可能犯錯(cuò)誤的概率，用α表示。1-α為置信度或置信水平（confidence

level）。

例如0.95置信區(qū)間是指總體參數(shù)落在該區(qū)間之內(nèi)，估計(jì)正確的概率為95%，而出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率為5%，即0.95置信區(qū)間=0.05顯著性水平的置信區(qū)間。

此外，顯著性水平在假設(shè)檢驗(yàn)中，還能拒絕虛無假設(shè)時(shí)可能出現(xiàn)的犯錯(cuò)誤的概率水平。二總體平均數(shù)的估計(jì)（6）區(qū)間估計(jì)的原理區(qū)間估計(jì)是根據(jù)樣本分布理論，用樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤（SE）計(jì)算區(qū)間長度，解釋總體參數(shù)落入某置信區(qū)間可能的概率。區(qū)間估計(jì)存在成功估計(jì)的概率大小及估計(jì)范圍大小兩個(gè)問題。（二者是一對矛盾）在保證置信度的前提下，盡可能提高精確度。二總體平均數(shù)的估計(jì)2總體平均數(shù)估計(jì)的步驟根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤σx

。當(dāng)總體方差已知時(shí)，參見公式2。當(dāng)總體方差未知時(shí)，樣本的無偏估計(jì)量即方差，參見公式3

。如果計(jì)算是樣本的有偏估計(jì)方差，則參見公式4。二總體平均數(shù)的估計(jì)確定置信水平或顯著性水平在對總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)之前，根據(jù)需要確定，統(tǒng)計(jì)學(xué)上一般規(guī)定顯著性水平為0.05，即置信水平為0.95，或顯著性水平為0.01，即置信水平為0.99。根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)表。

一般當(dāng)總體方差已知時(shí)，查正態(tài)表;當(dāng)總體方差未知時(shí)，查t值表。二總體平均數(shù)的估計(jì)計(jì)算置信區(qū)間如果查正態(tài)分布表，置信區(qū)間可寫作（參見公式5）如果查t值表，置信區(qū)間可寫作（參見公式6）解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。估計(jì)總體平均數(shù)落入該區(qū)間的正確可能性概率為1-α，犯錯(cuò)誤的可能性概率為α。

二總體平均數(shù)的估計(jì)二總體平均數(shù)的估計(jì)3總體方差σ2已知時(shí)，總體平均數(shù)μ的估計(jì)（1）當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)，不論樣本n的大小，其標(biāo)準(zhǔn)誤都是σX，查正態(tài)表，確定Zα/2值，一般顯著性水平為0.05或0.01，因此其Zα/2為1.96或2.58。（2）當(dāng)總體分布為非正態(tài)分布時(shí)，只有當(dāng)樣本容量n>30以上，才能根據(jù)樣本分布對總體平均數(shù)μ進(jìn)行估計(jì)，否則不能。二總體平均數(shù)的估計(jì)4總體方差σ2未知時(shí)，總體平均數(shù)μ的估計(jì)用樣本的無偏方差作為總體方差的估計(jì)值，樣本平均數(shù)的分布為t分布，應(yīng)查t值表，包括以下兩種情況：（1）總體的分布為正態(tài)時(shí)，可不管n值大小。（2）總體分布為非正態(tài)，只有n>30，才能用概率對其樣本分布進(jìn)行解釋。三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)與假設(shè)檢驗(yàn)

1、什么是假設(shè)？對總體參數(shù)的一種看法

總體參數(shù)包括總體均值、比例、方差等

分析之前必需陳述三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理2、什么是假設(shè)檢驗(yàn)？1）概念事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否成立。2）

類型參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)3）特點(diǎn)

采用邏輯上的反證法

依據(jù)統(tǒng)計(jì)上的小概率原理三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)中的小概率原理：隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小，若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05，0.01，0.001稱之為小概率事件。小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中，看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件，稱為小概率事件不可能性原理，此原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理3、如何作出統(tǒng)計(jì)假設(shè)？假設(shè)檢驗(yàn)背后的基本邏輯是：總存在兩個(gè)假設(shè):

虛無假設(shè)（nullhypothesis）

備擇假設(shè)（alternativehypothesis）虛無假設(shè)(H0)預(yù)測總體中自變量(處理)對于因變量不產(chǎn)生效應(yīng)。備擇假設(shè)(H1)預(yù)測總體中自變量(處理)對于因變量產(chǎn)生效應(yīng)。假設(shè)檢驗(yàn)的邏輯是假定我們嘗試拒絕虛無假設(shè)，即我們要嘗試證明備擇假設(shè)。三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理4、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟1）作出假設(shè)，選擇一個(gè)決策標(biāo)準(zhǔn)；2）

收集一個(gè)樣本（從總體中隨機(jī)選取個(gè)體）；3）計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如z值、t值、F值等；4）將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比較，以得出有關(guān)參數(shù)的推論，然后作出結(jié)論，所觀察到的差別有多大可能性是因?yàn)槿诱`差？給出這個(gè)概率，

如何下結(jié)論？三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理5、假設(shè)驗(yàn)證的可能結(jié)果實(shí)際情況是怎樣？

-H0

正確

-H0

錯(cuò)誤研究結(jié)論是怎樣？

-H1

正確-H1錯(cuò)誤這就構(gòu)成了4種可能性(2*2):

-2種錯(cuò)誤方式-2種正確方式三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理兩類錯(cuò)誤兩類錯(cuò)誤反映的情形不同，它們有不同的名稱：

α錯(cuò)誤（typeIerror）-拒絕H0時(shí)所犯的錯(cuò)誤，即偵察到不存在的差異。β錯(cuò)誤（typeIIerror）-接受H0時(shí)所犯的錯(cuò)誤，即未能偵察到存在的差異。H0:無罪假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤（決策結(jié)果）陪審團(tuán)審判裁決實(shí)際情況無罪有罪無罪正確錯(cuò)誤有罪錯(cuò)誤正確H0檢驗(yàn)決策實(shí)際情況H0為真H0為假接受H01-a第二類錯(cuò)誤(b)拒絕H0第一類錯(cuò)誤(a)功效(1-b)假設(shè)檢驗(yàn)就好像一場審判過程統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)過程三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

兩類錯(cuò)誤的關(guān)系α＋β不一定等于1在其他條件不變的情況下，α和β不可能同時(shí)減小或增大統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力（1－β）三假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

影響錯(cuò)誤的因素1）

總體參數(shù)的真值隨著假設(shè)的總體參數(shù)的減少而增大2）顯著性水平

當(dāng)減少時(shí)增大3）

總體標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)增大時(shí)增大4）

樣本容量n當(dāng)n減少時(shí)增大

雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)

(假設(shè)的形式)雙側(cè)檢驗(yàn)

（原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定）雙側(cè)檢驗(yàn)屬于決策中的假設(shè)檢驗(yàn)。也就是說，不論是拒絕H0還是接受H0，我們都必需采取相應(yīng)的行動措施例如，某種零件的尺寸，要求其平均長度為10厘米，大于或小于10厘米均屬于不合格建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

=10H1:

10

雙側(cè)檢驗(yàn)

（原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定）

例1

（見教材）某小學(xué)畢業(yè)生漢語拼音測驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為66分，標(biāo)準(zhǔn)差為11.7分?，F(xiàn)已同樣的試驗(yàn)測驗(yàn)應(yīng)屆畢業(yè)生（假定應(yīng)屆畢業(yè)生與歷屆畢業(yè)生條件基本相同），并從中隨機(jī)抽取18份試卷，算得平均分為69分，問該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗(yàn)成績是否一樣？步驟：從統(tǒng)計(jì)角度陳述問題(=66)從統(tǒng)計(jì)角度提出相反的問題(66)必需互斥和窮盡提出原假設(shè)(=66)提出備擇假設(shè)(

66)有符號雙側(cè)檢驗(yàn)

（顯著性水平與拒絕域）

抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域拒絕域接受域1-置信水平單側(cè)檢驗(yàn)

（原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定）檢驗(yàn)研究中的假設(shè)將所研究的假設(shè)作為備擇假設(shè)H1。將認(rèn)為研究結(jié)果是無效的說法或理論作為原假設(shè)H0。或者說，把希望(想要)證明的假設(shè)作為備擇假設(shè)。先確立備擇假設(shè)H1。單側(cè)檢驗(yàn)

（原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定）檢驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)聲明的有效性將所作出的說明(聲明)作為原假設(shè)對該說明的質(zhì)疑作為備擇假設(shè)先確立原假設(shè)H0除非我們有證據(jù)表明“聲明”無效，否則就應(yīng)認(rèn)為該“聲明”是有效的單側(cè)檢驗(yàn)

（原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定）例2（見教材）某市高中入學(xué)考試平均分?jǐn)?shù)為68分，標(biāo)準(zhǔn)差為8.6，其中某所中學(xué)參加此次考試的46名學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為63。過去的資料表明，該校教學(xué)成績低于全市平均水平，問此次考試該校數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)是否仍顯著低于全市的平均水平？建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

≥68H1:<68單側(cè)檢驗(yàn)

（顯著性水平與拒絕域）

H0值臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域接受域抽樣分布1-置信水平四、總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)的步驟：

提出原假設(shè)和備擇假設(shè)

確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量規(guī)定顯著性水平計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值

作出統(tǒng)計(jì)決策什么檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量？

1. 用于假設(shè)檢驗(yàn)問題的統(tǒng)計(jì)量

2. 選擇統(tǒng)計(jì)量的方法與參數(shù)估