2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計案例1.2回歸分析（一）學(xué)案1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.2回歸分析（一）明目標(biāo)、知重點1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系。2.能通過相關(guān)系數(shù)判斷兩個變量間的線性相關(guān)程度。1.回歸直線方程在回歸直線方程eq\o（y,\s\up6(^)）＝eq\o(a，\s\up6（^）)＋eq\o(b,\s\up6（^）)x中，eq\o(b,\s\up6（^)）＝eq\f(\o(∑,\s\up6（n）,\s\do4(i＝1))xi－\x\to（x)yi－\x\to(y）,\o(∑,\s\up6(n）,\s\do4（i＝1）)xi－\x\to（x)2）＝eq\f(\o（∑，\s\up6（n),\s\do4（i＝1）)xiyi－n\x\to(x）\x\to(y),\o(∑，\s\up6（n），\s\do4(i＝1)）x\o\al（2，i)－n\x\to(x)2)，eq\o（a,\s\up6(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6(^））eq\x\to（x).其中eq\x\to（x）＝eq\f（1,n）eq\o（∑，\s\up6(n)，\s\do4(i＝1)）xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n）eq\o(∑，\s\up6（n）,\s\do4（i＝1））yi。（eq\x\to(x），eq\x\to(y))稱為樣本點的中心，回歸直線過樣本點的中心.2.相關(guān)系數(shù)(1)對于變量x與y隨機抽到的n對數(shù)據(jù)（x1，y1)，（x2，y2），…，(xn,yn)，檢測統(tǒng)計量是樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f（\o(∑，\s\up6(n），\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to（y)，\r(\o(∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1)）xi－\x\to(x）2\o（∑，\s\up6（n）,\s\do4（i＝1)）yi－\x\to（y）2）)＝eq\f(\o（∑，\s\up6（n）,\s\do4(i＝1）)xiyi－n\x\to（x）\x\to(y）,\r（\o（∑，\s\up6(n），\s\do4（i＝1))x\o\al（2，i)－n\x\to(x）2\o（∑，\s\up6(n),\s\do4(i＝1）)y\o\al(2,i)－n\x\to(y）2）).（2)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是[－1，1］，|r|值越大，變量之間的線性相關(guān)程度越高；|r|值越接近0,變量之間的線性相關(guān)程度越低。當(dāng)|r｜>r0。05時,表明有95％的把握認(rèn)為兩個變量之間有線性相關(guān)關(guān)系。［情境導(dǎo)學(xué)］“名師出高徒”這句諺語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學(xué)生嗎？這兩者之間是否有關(guān)？探究點一回歸直線方程思考1兩個變量之間的關(guān)系分幾類？答分兩類：①函數(shù)關(guān)系，②相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。上面所提的“名師"與“高徒”之間的關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系。思考2什么叫回歸分析？答回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法。思考3對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行回歸分析有哪幾個步驟？答基本步驟為畫散點圖，求回歸直線方程,用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報.例1若從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生,其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。解(1）畫散點圖選取身高為自變量x，體重為因變量y，畫出散點圖，展示兩個變量之間的關(guān)系，并判斷二者是否具有線性關(guān)系。由散點圖可以發(fā)現(xiàn),樣本點呈條狀分布,身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸直線y＝bx＋a來近似刻畫它們之間的關(guān)系。（2)建立回歸方程由計算器可得eq\o（b,\s\up6（^））＝0.849，eq\o(a,\s\up6（^）)＝－85.712。于是得到回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^）)＝0。849x－85.712.（3）預(yù)報和決策當(dāng)x＝172時，eq\o(y，\s\up6(^）)＝0.849×172－85。712＝60.316(kg)。即一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重預(yù)報值為60.316kg。反思與感悟在使用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報時要注意：(1）回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體；(2）我們所建立的回歸直線方程一般都有時間性;(3）樣本取值的范圍會影響回歸直線方程的適用范圍；(4)不能期望回歸直線方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值。跟蹤訓(xùn)練1某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖（要求：點要描粗)；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a，\s\up6（^））;（3)試根據(jù)求出的回歸直線方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力。解（1）如圖：(2）eq\o(∑,\s\up6（n），\s\do4(i＝1）)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f（6＋8＋10＋12，4）＝9，eq\x\to(y）＝eq\f（2＋3＋5＋6，4）＝4，eq\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4(i＝1）)xeq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f（158－4×9×4，344－4×92）＝eq\f（14,20）＝0.7，eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6（^）)eq\x\to（x)＝4－0。7×9＝－2.3，故線性回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝0.7x－2。3。（3)由(2）中回歸直線方程,當(dāng)x＝9時，eq\o（y，\s\up6(^)）＝0。7×9－2。3＝4，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4。探究點二相關(guān)性檢驗思考1給出n對數(shù)據(jù),按照公式求出的回歸直線方程，是否一定能反映這組成對數(shù)據(jù)的變化規(guī)律？答如果數(shù)據(jù)散點圖中的點都大致分布在這條直線附近,這條直線就能反映這組成對數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，否則求出的方程沒有實際意義。思考2怎樣定量確定兩個變量的相關(guān)關(guān)系？答可以通過計算相關(guān)系數(shù)r來確定,若|r｜〉r0。05,可以有95％的把握認(rèn)為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；若｜r|≤r0。05,則沒有理由認(rèn)為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，此時尋找回歸直線方程毫無意義。例2維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量，這個指標(biāo)越高,耐熱水性能也越好,而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素,在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x（g/L)去控制這一指標(biāo)，為此必須找出它們之間的關(guān)系，現(xiàn)安排一批實驗，獲得如下數(shù)據(jù):甲醛濃度(g/L)18202224262830縮醛化度(克分子％)26.8628.3528。7528.8729.7530。0030.36(1)畫散點圖；（2)求回歸直線方程;（3）求相關(guān)系數(shù)r，并進(jìn)行相關(guān)性檢驗。解(1）散點圖如下圖：（2）可以看出，兩變量之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，下面用列表的方法計算eq\o(a,\s\up6（^）)，eq\o（b,\s\up6（^））。ixiyixi2xiyi11826。86324483.4822028.3540056732228。75484632。542428。87576692。8852629。75676773。562830.0078484073030。36900910。80∑168202。9441444900.16eq\x\to(x）＝eq\f（168,7)＝24,eq\x\to(y）＝eq\f（202。94，7),eq\o（b,\s\up6(^）)＝eq\f（\o（∑，\s\up6（7),\s\do4(i＝1））xiyi－7\x\to（x）\x\to（y),\o(∑，\s\up6(7),\s\do4（i＝1))xi2－7\x\to（x)2）＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202。94,7）,4144－7×242）≈0。2643，eq\o(a，\s\up6（^)）＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝eq\f（202.94，7）－0。2643×24≈22.648，∴回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6（^）)＝22。648＋0。2643x.(3）eq\o(∑,\s\up6(7）,\s\do4（i＝1))yi2≈5892，r＝eq\f(\o（∑，\s\up6(7),\s\do4(i＝1）)xiyi－7\x\to（x）\x\to(y），\r（\o（∑,\s\up6(7），\s\do4（i＝1）)xi2－7\x\to（x)2\o(∑,\s\up6(7），\s\do4（i＝1））yi2－7\x\to(y）2)）＝eq\f（4900。16－7×24×\f（202.94,7),\r（4144－7×242×[5892－7×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(202。94,7）))2]))≈0.96.∵r＝0.96〉r0.05＝0.754?！嘤?5％的把握認(rèn)為“甲醛濃度與縮醛化度有關(guān)系”，求得的回歸直線方程有意義.反思與感悟根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得回歸直線方程后，可以利用相關(guān)系數(shù)和臨界值r0。05比較，進(jìn)行相關(guān)性檢驗.跟蹤訓(xùn)練2為了研究3月下旬的平均氣溫(x）與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(y)的關(guān)系，某地區(qū)觀察了2007年至2012年的情況,得到了下面的數(shù)據(jù)：年份200720082009201020112012x（℃）24.429。632.928.730.328。9y（日)19611018(1）對變量x、y進(jìn)行相關(guān)性檢驗；（2）據(jù)氣象預(yù)測，該地區(qū)在2013年3月下旬平均氣溫為27℃,試估計2013年4月化蛹高峰日為哪天.解由已知條件可得下表:i123456xi24。429。632。928.730.328.9yi19611018eq\x\to（x）≈29。13，eq\x\to(y）＝7。5,eq\i\su（i＝1,6，x）i2＝5130。92，eq\i\su(i＝1,6，y)i2＝563，eq\i\su（i＝1,6,x)iyi＝1222.6（1）r＝eq\f(\i\su(i＝1，6，x)iyi－6\x\to(x)\x\to(y)，\r(\i\su（i＝1,6,x）i2－6\x\to（x)2\i\su(i＝1，6，y)i2－6\x\to(y）2）)≈－0。9341.查表知：r0。05＝0。811.由|r|>r0。05，可知變量y和x存在線性相關(guān)關(guān)系.（2)eq\o(b,\s\up6(^））＝eq\f（1222。6－6×29。13×7。5,5130.92－6×29。132)≈－2。23,eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y）－eq\o（b，\s\up6（^）)eq\x\to（x）≈72.46。所以回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6（^))＝－2.23x＋72.46。當(dāng)x＝27時，eq\o(y，\s\up6(^）)＝－2.23×27＋72。46≈12.據(jù)此,可估計該地區(qū)2013年4月12日為化蛹高峰日.1.下列各組變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是()A.出租車費與行駛的里程B.學(xué)習(xí)成績與學(xué)生身高C.身高與體重D.鐵的體積與質(zhì)量答案C2。對變量y和x進(jìn)行相關(guān)性檢驗，已知n為數(shù)據(jù)的對數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，且已知①n＝3,r＝0.9950;②n＝7，r＝0。9533；③n＝15,r＝0.3012；④n＝17，r＝0。4991。則變量y和x具有線性相關(guān)關(guān)系的是(）A。①和② B。①和③C。②和④ D.③和④答案C解析①n＝3時，r0.05＝0。997，所以|r|〈r0。05，我們沒有理由拒絕原來的假設(shè)，這時尋找回歸直線方程是毫無意義的.②n＝7時，r0.05＝0.754，所以｜r|>r0。05，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。③n＝15時，r0.05＝0。514,所以|r｜<r0.05，我們沒有理由拒絕原來的假設(shè)，這時尋找回歸直線方程是毫無意義的.④n＝17時，r0。05＝0.482，所以｜r｜〉r0。05,表明有95％的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.所以②和④滿足題意.3。某商品銷售量y(件)與銷售價格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其回歸直線方程可能是（）A。eq\o(y,\s\up6(^））＝－10