第十一章振動(dòng)和機(jī)械波(上)

§11-1諧振動(dòng)§11-2阻尼自由振動(dòng)§11-3受迫振動(dòng)共振§11-4一維諧振動(dòng)的合成第十一章振動(dòng)與機(jī)械波（上）隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)生共振而斷塌1940年華盛頓的塔科曼大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生振動(dòng)振動(dòng)與波動(dòng)是與人類生活和科學(xué)技術(shù)密切相關(guān)的一種基本運(yùn)動(dòng)形式。機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。問：廣義地說什么是振動(dòng)？任一物理量在某一定值附近周期性變化的現(xiàn)象稱振動(dòng)。力學(xué)量（如位移）機(jī)械振動(dòng)電磁振動(dòng)電磁量（如I、V、E、B）實(shí)例:心臟的跳動(dòng)，鐘擺，樂器，地震等

振動(dòng)分類非線性振動(dòng)線性振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)周期和非周期振動(dòng)

簡諧運(yùn)動(dòng)最簡單、最基本、最重要的振動(dòng)諧振子作簡諧運(yùn)動(dòng)的物體簡諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解★彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)

平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律

物體—可看作質(zhì)點(diǎn)

§11-1簡諧振動(dòng)一、簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式受力特點(diǎn)：線性回復(fù)力

動(dòng)力學(xué)特征令彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析得即具有加速度與位移的大小x成正比,而方向相反特征的振動(dòng)稱為簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)的微分方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程設(shè)初始條件為:解得簡諧運(yùn)動(dòng)方程簡諧振動(dòng)表達(dá)式簡諧振動(dòng)（simpleharmonicmotion,SHM）：

物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。vm=A

稱為速度幅

；am=2A

稱為加速度幅

。簡諧振動(dòng)的速度和加速度：由初始條件(x0，

v0)求解振幅和初位相：設(shè)t=0時(shí)，振動(dòng)位移：x=x0振動(dòng)速度：v=v0圖圖圖取簡諧運(yùn)動(dòng)方程二、描述諧振動(dòng)的特征量2.周期（period）

T：完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。1.振幅（amplitude）：A

（即最大位移，x=±A

）角頻率（或稱圓頻率）

：頻率（frequency）

：單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。=1/T(Hz)AxtOT相位差：=(2

t+20

)-(1t+10)對兩同頻率的諧振動(dòng)=20-

10初相差

當(dāng)

=2k

，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱同相。初相位（initialphase）

：0

（t+0

）—描述振動(dòng)狀態(tài)3.相位（phase）：

當(dāng)

=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相反，稱反相。

若0<

20-

10<，稱x2比x1超前

(或x1比x2落后)。x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1速度相位比位移相位超前/2。加速度與位移反位相。初相位：是t=0時(shí)刻的相位0

。(t=0稱時(shí)間零點(diǎn)，是開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻，不一定是開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻)。x0=Acos0注：0是由時(shí)間原點(diǎn)的選擇所決定的，所以叫做振動(dòng)的初相位。對于一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)，A，ω和0都知道了，就可以寫出它的完整的表達(dá)式?！镆煊浀湫?值所相應(yīng)的振動(dòng)情況和振動(dòng)曲線(如圖)。

常數(shù)和的確定初始條件對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.已知求討論圖取1、解釋法（由振動(dòng)表達(dá)式）已知表達(dá)式

A、T、0

已知A、T、0

表達(dá)式由x=Acos(t+0)２、曲線法(由振動(dòng)曲線)已知曲線

A、T、0

已知

A、T、0

曲線三、簡諧振動(dòng)的描述方法旋轉(zhuǎn)矢量自O(shè)x軸的原點(diǎn)O作一矢量，使它的模等于振動(dòng)的振幅A，并使矢量在Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)O作逆時(shí)針方向的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度與振動(dòng)頻率相等，這個(gè)矢量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量.３、旋轉(zhuǎn)矢量－振幅矢量－法(可優(yōu)先選用)以O(shè)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).以O(shè)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).

以O(shè)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).諧振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量的對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量A0t+0T振幅初相相位圓頻率諧振動(dòng)周期半徑初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度圓周運(yùn)動(dòng)周期利用旋轉(zhuǎn)矢量求簡諧振動(dòng)的相位和初相位★已知相位求狀態(tài)如：相位，問狀態(tài)？,且向負(fù)向運(yùn)動(dòng)。位相，問狀態(tài)？，且向正向運(yùn)動(dòng)?！镆阎獱顟B(tài)求相位（特別是初相位）,,,求？如：>0或如：，，<0,求？如：oo相位差與兩振動(dòng)的步調(diào)——超前與落后★相位差和初相位

對兩同頻率的簡諧振動(dòng)，相位差等于初相差。

=(t+20)-(t+10)=20

-10

★同相和反相

當(dāng)=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相當(dāng)=(2k+1)

,k=0,±1,±2...，兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱反相★領(lǐng)先和落后

若

=20-10

>0，稱x2比x1領(lǐng)先(或x1比x2落后)。用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相xt+0O·A由圖可見a超前v

：π/2v超前x

：π/2例

已知某簡諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示試求其振動(dòng)方程。解：方法1設(shè)振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t時(shí)刻相位由圖知例一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為0.08m，周期為4s，起始時(shí)刻物體在x=0.04m處，向ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）.試求（1）t=1.0s時(shí)，物體所處的位置和所受的力；（2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的最短時(shí)間.代入解已知代入上式得可求（1）（2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的最短時(shí)間.法一設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的最短時(shí)間為t法二起始時(shí)刻時(shí)刻例

一物體沿x

軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向x

軸正向運(yùn)動(dòng)。求：(1)簡諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解：(1)設(shè)簡諧振動(dòng)表達(dá)式為由初始條件：簡諧振動(dòng)表達(dá)式：(2)或T=2s，t=T/4=0.5s設(shè)在某一時(shí)刻t1，x=-0.06m(3)且向x

軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)t2時(shí)刻第一次回到平衡位置解法2四、幾種常見的諧振動(dòng)1.單擺重物所受合外力矩：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律令(q很小時(shí))振動(dòng)表式：角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期T與角振幅的關(guān)系為

T0為很小時(shí)單擺的周期。當(dāng)q不是很小時(shí)：2.復(fù)擺q很小時(shí)一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。例

一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。船靜止時(shí)浮力與重力平衡，

船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下的坐標(biāo)軸為y

軸，船的位移用y

表示。解：船的位移為y

時(shí)船所受合力為：船在豎直方向作簡諧振動(dòng)，其角頻率和周期為：★以彈簧振子為例諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢能是時(shí)間的周期性函數(shù)五、諧振動(dòng)的能量動(dòng)能情況同動(dòng)能。機(jī)械能簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒勢能簡諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量第一周作業(yè)：

課后習(xí)題

10-2，10-6，10-9，10-15§11-2阻尼振動(dòng)

振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動(dòng)，稱為無阻尼自由振動(dòng)。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。對在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳播，使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。阻尼種類：摩擦阻尼，輻射阻尼摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。以彈簧一維振動(dòng)為例由牛頓第二定律有整理得令系統(tǒng)固有頻率式中阻尼振動(dòng)方程為阻尼振動(dòng)微分方程，為二階常系數(shù)齊次微分方程。上述方程的解是什么形式呢？從物理上考慮：如果無阻尼，是諧振動(dòng)的形式；如果存在阻尼，能量會(huì)衰減。稱阻尼因子在小阻尼條件下，微分方程的解為：其中

和為積分常數(shù)，由初始條件決定。所以方程解的形式必定是在簡諧振動(dòng)的基礎(chǔ)上乘上一衰減因子.阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)；—減幅振動(dòng)反映了阻尼對振幅的影響。阻尼振動(dòng)的周期：阻尼振動(dòng)的三種情形：

欠阻尼

過阻尼

臨界阻尼三種阻尼的比較★

欠阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期欠阻尼★臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來★過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置臨界阻尼x

(t)t過阻尼x(t)t§11-3受迫振動(dòng)共振一、受迫振動(dòng)

物體在周期性外力（驅(qū)動(dòng)力）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)（forcedvibration）。設(shè)驅(qū)動(dòng)力：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)欠阻尼諧振子系統(tǒng)在驅(qū)動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程當(dāng)阻尼較小(欠阻尼),<0時(shí),方程的解：暫態(tài)項(xiàng)穩(wěn)定項(xiàng)穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)：第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長時(shí)衰減為0。第二項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的周期振動(dòng)。開始時(shí)運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)衰減為0后，只作受迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率為驅(qū)動(dòng)力的頻率。穩(wěn)定項(xiàng)(1)頻率:等于驅(qū)動(dòng)力的頻率d

(2)振幅:(3)初相:特點(diǎn):穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡諧振動(dòng)的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度：

在受迫振動(dòng)中，周期性的驅(qū)動(dòng)力對振動(dòng)系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。二、共振

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振（displacementresonance）。

受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振（velocityresonance）。在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。速度共振時(shí)，速度與驅(qū)動(dòng)力同相，一周期內(nèi)策動(dòng)力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)輸入的能量最大。

1）位移共振--共振時(shí)振幅最大。2）速度共振--共振時(shí)速度最大3）能量共振--共振時(shí)能量最大共振---最強(qiáng)烈的強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象★共振現(xiàn)象的應(yīng)用

核內(nèi)的核磁共振被利用來進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究以及醫(yī)療診斷等等。

一些樂器利用共振來提高音響效果；

收音機(jī)利用電磁共振進(jìn)行選臺(tái)；㊣共振現(xiàn)象的危害華盛頓的塔科曼大橋1940年§11-4一維諧振動(dòng)的合成

當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)諧振動(dòng)時(shí)，就需考慮振動(dòng)的合成問題。本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況。本節(jié)所討論的同頻率的諧振動(dòng)合成結(jié)果

是波的干涉和偏振光干涉的重要基礎(chǔ)。本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動(dòng)合成結(jié)果可以給出重要的實(shí)際應(yīng)用。一、同一直線上兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的合成

某一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的、同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)。振動(dòng)合成可用三角函數(shù)法、矢量法、復(fù)數(shù)法求合振動(dòng)。利用旋轉(zhuǎn)矢量法（向量圖法）求合振動(dòng)兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡諧運(yùn)動(dòng)，角速度不變。A1和A2用同樣的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在旋轉(zhuǎn)過程中平行四邊形的形狀保持不變，因而合矢量A的長度保持不變，并以同一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。所以合矢量A就是相應(yīng)的合振動(dòng)的振幅矢量。注意合振幅A不僅與兩個(gè)分振動(dòng)的振幅有關(guān)，還與它們的初相差有關(guān)。

(1)若兩分振動(dòng)同相

2010=2k

(k=0,±1,±2,…)則，合振幅最大。討論：兩種特殊情況

(2)若兩分振動(dòng)反相