2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市耒陽市洲陂中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市耒陽市洲陂中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={-1,-2,0,1}，B={x|ex<1}，則集合C=A∩B的元素的個(gè)數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B因?yàn)榧螩=A∩B={-1,-2}，所以其元素的個(gè)數(shù)為2.2.設(shè)i為虛部單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A.1 B. C.2 D.參考答案：B【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3.已知命題，命題.下面結(jié)論正確的是（

）A．命題“”是真命題

B.命題“”是假命題C．命題“”是真命題

D．命題“”是假命題參考答案：D略4.如圖是一個(gè)程序框圖，則輸出的值是（

）A．5

B．7

C．9

D．11參考答案：C考點(diǎn)：程序框圖．5.△ABC中，“角A，B，C成等差數(shù)列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)等差數(shù)列和兩角和的正弦公式，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若A，B，C成等差數(shù)列，則A+C=2B，∴B=60°，若，則sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差數(shù)列是成立的充分不必要條件．故選：A．6.已知曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與拋物線相切，則a的值為（）A.0 B.0或8 C.8 D.1參考答案：C【分析】求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再聯(lián)立切線方程和拋物線方程并消去，利用判別式為零可求的值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，切線的斜率，切線方程為，因?yàn)樗c拋物線相切，有唯一解即故，解得，故選C.【點(diǎn)睛】對(duì)于曲線的切線問題，注意“在某點(diǎn)處的切線”和“過某點(diǎn)的切線”的差別，切線問題的核心是切點(diǎn)的橫坐標(biāo).一般地，曲線在處的切線方程為.7.在△中，若，，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B根據(jù)正弦定理，，則.8.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,則該雙曲線的離心率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C由題意得，因?yàn)?，所以，選C

9.設(shè)集合M={x∈R|x2+x﹣6＜0}，N={x∈R||x﹣1|≤2}．則M∩N=(

) A．（﹣3，﹣2] B．[﹣2，﹣1） C．[﹣1，2） D．[2，3）參考答案：C考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：求出集合的等價(jià)條件，利用集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解．解答： 解：M={x∈R|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}，N={x∈R||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}．則M∩N={x|﹣1≤x＜2}=[﹣1，2），故選：C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．10.已知全集U={1,2,3,4}，若A={1,3}，則CUA=（

）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________．參考答案：

12.已知點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），=2+m，若點(diǎn)P在y袖上，則實(shí)數(shù)m=．參考答案：【分析】利用坐標(biāo)來表示平面向量的運(yùn)算，又因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上，所以它的橫坐標(biāo)為0，從而得到答案．【解答】解：∵O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），∴=（﹣1，3），=（3，﹣7），∵P在y袖上，∴可設(shè)=（0，y），∵=2+m，∴（0，y）=2（﹣1，3）+m（3，﹣7）=（3m﹣2，6﹣7m），∴3m﹣2=0，解得m=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用坐標(biāo)來表示平面向量的運(yùn)算，屬于最基本的題目．13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足，且，則

．參考答案：18解得，即，則

14.若滿足約束條件則

.參考答案：015.參考答案：4略16.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直徑為1的圓，那么該幾何體的側(cè)面積為

。參考答案：

17.若關(guān)于的不等式的解集為，則________.參考答案：(二)必做題（14-16題）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax2﹣1，且f′（1）=﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值；（Ⅲ）證明：函數(shù)y=f（x）﹣xex+x2的圖象在直線y=﹣2x﹣1的下方．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=﹣1，求出a的值，從而求出函數(shù)的表達(dá)式即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx﹣x≤m，設(shè)g（x）=lnx﹣x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的最小值即可；（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為證xlnx﹣xex+2x＜0，即只要證lnx＜ex﹣2，根據(jù)g（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，問題轉(zhuǎn)化為只要證明當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x﹣1＜ex﹣2即可，設(shè)h（x）=（ex﹣2）﹣（x﹣1）=ex﹣x﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：對(duì)f（x）求導(dǎo)，得f′（x）=1+lnx+2ax，所以f′（1）=1+2a=﹣1，解得a=﹣1，所以f（x）=xlnx﹣x2﹣1；（Ⅱ）解：由f（x）﹣mx≤﹣1，得xlnx﹣x2﹣mx≤0，因?yàn)閤∈（0，+∞），所以對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx﹣x≤m，設(shè)g（x）=lnx﹣x，則g′（x）=﹣1，令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）max=g（1）=﹣1，因?yàn)閷?duì)于任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≤m成立，所以m≥﹣1所以m的最小值為﹣1；（Ⅲ）證明：“函數(shù)y=f（x）﹣xex+x2的圖象在直線y=﹣2x﹣1的下方”等價(jià)于“f（x）﹣xex+x2+2x+1＜0”，即要證xlnx﹣xex+2x＜0，所以只要證lnx＜ex﹣2．由（Ⅱ），得g（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）．所以只要證明當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x﹣1＜ex﹣2即可，設(shè)h（x）=（ex﹣2）﹣（x﹣1）=ex﹣x﹣1，所以h′（x）=ex﹣1，令h′（x）=0，解得：x=0由h′（x）＞0，得x＞0，所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．，所以h（x）＞h（0）=0，即x﹣1＜ex﹣2，所以lnx＜ex﹣2，故函數(shù)y=f（x）﹣xex+x2的圖象在直線y=﹣2x﹣1的下方．19.已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值三角不等式．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，即可求f（x）的最小值；（2）x∈R時(shí)，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，∴f（x）的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤3時(shí)取得最小值．（2）∵x∈R時(shí)，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，∴0≤a≤6．20.如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，為等邊三角形，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角大小的余弦值.參考答案：（1)如圖取的中點(diǎn)，連接，依題，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，故，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以所以平行四邊形為菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平?(2)由（1)知，平面，平面平面，所以如圖，以為軸，為軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo).設(shè)，則，，所以，所以.設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以.同理可得平面的法向量，所以，所以二面角大小的余弦值為.21.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若關(guān)于x的不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1）不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，解得，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上所述，不等式的解集為或.（2）由不等式可得.∵，∴，即解得或.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.

22.已知函數(shù)．（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．參考答案：（1）見解析；（2）見解析分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.詳解：（1）的定義域?yàn)椋?（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值