2022年河北省廊坊市三河齊心莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022年河北省廊坊市三河齊心莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，所得函數(shù)g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律可得所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴由，∴，令．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，屬于中檔題．2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A．i B．﹣i C． D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)===﹣+i的虛部為．故選：C．3.從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機(jī)等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選得一名男醫(yī)生和一名女醫(yī)生的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：D4.用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則1不在首位，3不在百位的五位數(shù)共有（

）A.54

B.72

C.96

D.78參考答案：D5.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（σ＞0），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知某隨機(jī)變量Y近似服從正態(tài)分布N（2，σ2），若P（Y＞3）=0.1587，則P（Y＜0）=（）A．0.0013 B．0.0228 C．0.1587 D．0.5參考答案：B【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)3σ原則，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵P（Y＞3）=0.1587，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，∴P（Y＜0）=（1﹣0.9544）=0.0228，故選B．6.設(shè)函數(shù)f(x)=logax（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)椋ǎ?∞），則在整個(gè)定義域上，f(x)＜2恒成立的充要條件充是（

）A．0＜a＜

B．0＜a≤

C．a(chǎn)＞且a≠1

D．a(chǎn)≥且a≠1參考答案：B7.

若

=,

=,其中,則一定有(

)

A.

^

B.與共線C.與的夾角為

D.|

|=|

|參考答案：答案:A8.若集合M={y|y=}，集合,則下列各式正確的是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.已知直線l1：（1﹣a）x+ay﹣2=0，l2：ax+（2a+1）y+3=0，則“a=﹣2”是“l(fā)1⊥l2”成立的（）A．充分不變要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件得到（1﹣a）a+a（2a+1）=0，然后利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解答：解：若l1⊥l2，則（1﹣a）a+a（2a+1）=0，即a2+2a=0，解得a=0或a=﹣2，則“a=﹣2”是“l(fā)1⊥l2”成立的充分不必要條件，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．10.在△ABC中，BC：AB=2：，∠B=30°，則∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用余弦定理與勾股定理的逆定理即可得出．【解答】解：∵BC：AB=2：，不妨取a=2，c=．∴b2=﹣2×=1．∴b2+c2=a2，∴∠A=90°．∴∠C=60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理與勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

參考答案：12.曲線y=2x﹣lnx在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是．參考答案：x﹣y+1=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題．【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)（1，2）和斜率寫出切線的方程即可．【解答】解：由函數(shù)y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切線的斜率k=2﹣=1則切線方程為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案為：x﹣y+1=0【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)根據(jù)曲線的導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，從而利用切點(diǎn)和斜率寫出切線的方程．13.已知向量與的夾角為,且,,若,且,則實(shí)數(shù)的值為__________.參考答案：14.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心,并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

參考答案：略15.已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等，且則_______________________________。參考答案：16.函數(shù)的圖像在處的切線方程為_______.參考答案：

17.在正三角形ABC的底邊BC上取中點(diǎn)M，在與底邊BC相鄰的兩條邊BA和CA上分別取點(diǎn)P、Q，若線段PQ對(duì)M的張角∠PMQ為銳角，則稱點(diǎn)P、Q親密．若點(diǎn)P、Q在BA、CA上的位置隨機(jī)均勻分布，則P、Q親密的概率稱為正三角形的親密度．則正三角形的親密度為．參考答案：【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】設(shè)AB=BC=CA=2，設(shè)BP=x，0≤x≤2，過M作PM的垂線，交AC于R，當(dāng)Q落在線段AR內(nèi)部及A點(diǎn)上時(shí)，P與Q是親密的，記AR的長(zhǎng)度為y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得y=，由此利用定積分能求出正三角形的親密度．【解答】解：設(shè)AB=BC=CA=2，設(shè)BP=x，0≤x≤2，過M作PM的垂線，交AC于R，當(dāng)Q落在線段AR內(nèi)部及A點(diǎn)上時(shí)，P與Q是親密的，記AR的長(zhǎng)度為y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得：（x2﹣x+1）+[（2﹣y）2+（2﹣y）+1]=（2﹣x）2﹣（2﹣x）y+y2，整理，得：y=，∴正三角形的親密度為：==[]=[x﹣ln（x+1）]=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)第1小題滿分6分,第2小題滿分8分

如圖,直線y=x與拋物線y=x2－4交于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí),求ΔOPQ面積的最大值.

參考答案：

解析：(1)解方程組y=x得X1=－4,

x2=8y=x2－4y1=－2,

y2=4

即A(－4,－2),B(8,4),從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).

由kAB==,直線AB的垂直平分線方程y－1=(x－2).

令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)

(2)直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,x2－4).

∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d==,

,∴SΔOPQ==.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn),且P不在直線OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.

∵函數(shù)y=x2+8x－32在區(qū)間[－4,8]上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=8時(shí),ΔOPQ的面積取到最大值30.19.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等邊三角形，已知，M是SD上任意一點(diǎn)，，且m＞0．（1）求證：平面SAB⊥平面MAC；（2）試確定m的值，使三棱錐S﹣ABC體積為三棱錐S﹣MAC體積的3倍．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）在△ABC中，由已知可得AB2+AC2=BC2，得到AB⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)可得AC⊥平面SAB，進(jìn)一步得到平面SAB⊥平面MAC；（2）由，可得VS﹣MAC=VM﹣SAC=，轉(zhuǎn)化為三角形的面積比，可得m=2．【解答】（1）證明：在△ABC中，由于，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC；（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=，AC=4，∴，．又∵，∴VS﹣MAC=VM﹣SAC=，∴=，即m=2．故m的值為2．20.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（）．參考答案：【考點(diǎn)】：絕對(duì)值不等式的解法；不等式的證明．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）根據(jù)f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分類討論求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要證的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根據(jù)|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，從而得到所證不等式成立．解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，f（x）≤8不成立；當(dāng)x＞1時(shí)，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）≤4的解集為{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因?yàn)閨a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所證不等式成立．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.在△ABC中，.（1）求cos2C；（2）若，求△ABC的周長(zhǎng).參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先求，由二倍角公式